منطقة

المساحة هي مقياس لحجم منطقة ما على سطح . تشير مساحة المنطقة المستوية أو المساحة المستوية إلى مساحة شكل أو صفيحة مستوية ، بينما تشير مساحة السطح إلى مساحة سطح مفتوح أو حدود جسم ثلاثي الأبعاد . يمكن فهم المساحة على أنها كمية المادة ذات السماكة المحددة اللازمة لتشكيل نموذج للشكل، أو كمية الطلاء اللازمة لتغطية السطح بطبقة واحدة. ^{[ 1 ]} وهي النظير ثنائي الأبعاد لطول منحنى ( مفهوم أحادي البعد) أو حجم مجسم (مفهوم ثلاثي الأبعاد). قد تتساوى مساحتان مختلفتان (كما في تربيع الدائرة )؛ وباستخدام المجاز ، تُستخدم كلمة "مساحة" أحيانًا للإشارة إلى المنطقة، كما في " مساحة مضلع ".

يمكن قياس مساحة أي شكل بمقارنته بمربعات ذات حجم ثابت. ^{[ 2 ]} في النظام الدولي للوحدات (SI)، وحدة المساحة القياسية هي المتر المربع (م² ⁾ ، وهي مساحة مربع طول ضلعه متر واحد . ^{[ 3 ]} شكل مساحته ثلاثة أمتار مربعة له نفس مساحة ثلاثة مربعات من هذا النوع. في الرياضيات ، يُعرَّف المربع الواحد بأنه مساحته واحد، ومساحة أي شكل أو سطح آخر هي عدد حقيقي بلا أبعاد .

توجد عدة صيغ معروفة لحساب مساحات الأشكال البسيطة كالمثلثات والمستطيلات والدوائر . وباستخدام هذه الصيغ، يمكن إيجاد مساحة أي مضلع بتقسيمه إلى مثلثات . [ ⁴^]^أما بالنسبة للأشكال ذات الحدود المنحنية، فعادةً ما يتطلب حساب مساحتها استخدام حساب التفاضل والتكامل . وبشكل عام، كانت مسألة تحديد مساحة الأشكال المستوية دافعًا رئيسيًا للتطور التاريخي لعلم حساب التفاضل والتكامل . ^[⁵^]

بالنسبة للأشكال الصلبة مثل الكرة أو المخروط أو الأسطوانة، تُسمى مساحة سطحها الخارجي مساحة السطح . ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} وقد وضع الإغريق القدماء صيغًا لحساب مساحات أسطح الأشكال البسيطة ، ولكن حساب مساحة سطح شكل أكثر تعقيدًا يتطلب عادةً حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات .

تُعدّ المساحة عنصرًا هامًا في الرياضيات الحديثة. فبالإضافة إلى أهميتها الواضحة في الهندسة والتفاضل والتكامل، ترتبط المساحة بتعريف المحددات في الجبر الخطي ، وهي خاصية أساسية للأسطح في الهندسة التفاضلية . ^{[ 8 ]} في التحليل ، تُعرَّف مساحة مجموعة جزئية من المستوى باستخدام مقياس ليبيغ ، ^{[ 9 ]} مع العلم أنه لا يمكن قياس كل مجموعة جزئية إذا افترضنا بديهية الاختيار. ^{[ 10 ]} عمومًا، تُعتبر المساحة في الرياضيات المتقدمة حالة خاصة من الحجم للمناطق ثنائية الأبعاد. ^{[ 1 ]}

يمكن تعريف المساحة باستخدام البديهيات، حيث تُعرَّف بأنها دالة لمجموعة من الأشكال المستوية المحددة على مجموعة الأعداد الحقيقية. ويمكن إثبات وجود مثل هذه الدالة.

التعريف الرسمي

يتمثل أحد أساليب تعريف المقصود بـ "المساحة" في استخدام البديهيات . يمكن تعريف "المساحة" على أنها دالة من مجموعة M من أنواع خاصة من الأشكال المستوية (تسمى المجموعات القابلة للقياس) إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي تحقق الخصائص التالية: ^{[ 11 ]}

لكل S في M ، a ( S ) ≥ 0 .
إذا كان S و T في M فإن S ∪ T و S ∩ T كذلك ، وكذلك a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) .
إذا كان S و T في M مع S ⊆ T فإن T − S في M و a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) .
إذا كانت المجموعة S تنتمي إلى M وكانت S متطابقة مع T فإن T تنتمي أيضًا إلى M و a ( S ) = a ( T ) .
كل مستطيل R ينتمي إلى M. إذا كان طول المستطيل h وعرضه k فإن a ( R ) = hk .
ليكن Q مجموعة محصورة بين منطقتين متدرجتين S و T. تتكون المنطقة المتدرجة من اتحاد محدود لمستطيلات متجاورة تستند على قاعدة مشتركة، أي S ⊆ Q ⊆ T. إذا وُجد عدد وحيد c بحيث يكون a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) لجميع المناطق المتدرجة S و T ، فإن a ( Q ) = c .

يمكن إثبات وجود دالة المساحة هذه بالفعل. ^{[ 12 ]}

الوحدات

مربع مصنوع من أنابيب PVC على العشب — مربع مساحته متر مربع مصنوع من أنبوب PVC

لكل وحدة طول وحدة مساحة مقابلة، وهي مساحة مربع طول ضلعه مُعطى. لذا، يمكن قياس المساحات بالمتر المربع (م² ⁾ ، والسنتيمتر المربع (سم² ⁾ ، والمليمتر المربع (مم²) ^، والكيلومتر المربع (كم² ⁾ ، والقدم المربع (قدم² ⁾ ، والياردة المربعة (ياردة² ⁾ ، والميل المربع ( ^ميل² )، وهكذا. ^{[ 13 ]} جبريًا، يمكن اعتبار هذه الوحدات مربعات وحدات الطول المقابلة لها.

وحدة المساحة في النظام الدولي للوحدات هي المتر المربع، والتي تعتبر وحدة مشتقة من النظام الدولي للوحدات . ^{[ 3 ]}

التحويلات

حساب مساحة مربع طوله وعرضه متر واحد:

1 متر × 1 متر = 1 متر ^مربع

وبالتالي، فإن المستطيل ذو الأضلاع المختلفة (على سبيل المثال، طوله 3 أمتار وعرضه متران) له مساحة بالوحدات المربعة يمكن حسابها على النحو التالي:

٣ أمتار × ٢ متر = ٦ أمتار ^مربعة . وهذا يعادل ٦ ملايين مليمتر مربع. ومن التحويلات المفيدة الأخرى:

كيلومتر مربع واحد = مليون متر مربع
متر مربع واحد = 10,000 سنتيمتر مربع = 1,000,000 مليمتر مربع
1 سنتيمتر مربع = 100 مليمتر مربع.

الوحدات غير المترية

في الوحدات غير المترية، يكون التحويل بين وحدتين مربعتين هو مربع التحويل بين وحدات الطول المقابلة.

القدم الواحدة = 12 بوصة ،

العلاقة بين القدم المربع والبوصة المربعة هي

القدم المربع الواحد = 144 بوصة مربعة،

حيث 144 = 12 ² = 12 × 12. وبالمثل:

ياردة مربعة واحدة = 9 أقدام مربعة
ميل مربع واحد = 3,097,600 ياردة مربعة = 27,878,400 قدم مربع

بالإضافة إلى ذلك، تشمل عوامل التحويل ما يلي:

1 بوصة مربعة = 6.4516 سنتيمتر مربع
القدم المربع الواحد = 0.09290304 متر مربع
1 ياردة مربعة = 0.836 127 36 متر مربع
الميل المربع الواحد = 2.589988110336 كيلومترًا مربعًا

وحدات أخرى بما في ذلك الوحدات التاريخية

توجد عدة وحدات شائعة أخرى لقياس المساحة. وكانت المساحة ( الآر) هي الوحدة الأصلية لقياس المساحة في النظام المتري ، وهي:

1 آر = 100 متر مربع

على الرغم من أن وحدة "المساحة" قد توقفت عن الاستخدام، إلا أن الهكتار لا يزال يستخدم بشكل شائع لقياس الأراضي: ^{[ 13 ]}

1 هكتار = 100 آري = 10000 متر مربع = 0.01 كيلومتر مربع

تشمل وحدات المساحة المترية غير الشائعة الأخرى التتراد والهكتاد والميراد .

يُستخدم الفدان أيضاً بشكل شائع لقياس مساحات الأراضي ، حيث

1 فدان = 4840 ياردة مربعة = 43560 قدم مربع.

الفدان الواحد يعادل حوالي 40% من الهكتار.

على المستوى الذري، يتم قياس المساحة بوحدات البارن ، بحيث: ^{[ 13 ]}

1 حظيرة = 10 ⁻²⁸ متر مربع.

يُستخدم مصطلح "الحظيرة" بشكل شائع في وصف مساحة المقطع العرضي للتفاعل في الفيزياء النووية . ^{[ 13 ]}

في جنوب آسيا (وخاصةً في الهند)، على الرغم من استخدام الدول لوحدات النظام الدولي للوحدات (SI) كوحدات رسمية، لا يزال العديد من سكان جنوب آسيا يستخدمون الوحدات التقليدية. لكل قسم إداري وحدته المكانية الخاصة، وبعضها يحمل نفس الاسم ولكن بقيم مختلفة. لا يوجد إجماع رسمي حول قيم الوحدات التقليدية. لذا، قد تختلف نتائج التحويل بين وحدات النظام الدولي للوحدات والوحدات التقليدية، وذلك تبعًا للمرجع المستخدم. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

بعض الوحدات التقليدية في جنوب آسيا ذات القيمة الثابتة:

1 كيلا = 1 فدان
1 غُماون = 1 فدان
1 قناة = 0.125 فدان (1 فدان = 8 قنوات)
1 رقم عشري = 48.4 ياردة مربعة
1 شاتاك = 180 قدم مربع

تاريخ

منطقة دائرية

في القرن الخامس قبل الميلاد، كان أبقراط الخيوسي أول من أثبت أن مساحة القرص (المنطقة المحصورة بدائرة) تتناسب طرديًا مع مربع قطره، وذلك كجزء من تربيعه للهلال ، [ ¹⁸^]^ولكنه لم يحدد ثابت التناسب . كما وجد إيدوكسوس الكنيدي ، في القرن الخامس قبل الميلاد أيضًا، أن مساحة القرص تتناسب طرديًا مع مربع نصف قطره. ^[¹⁹^]

بعد ذلك، تناول الكتاب الأول من كتاب أصول إقليدس مسألة تساوي المساحات بين الأشكال ثنائية الأبعاد. استخدم عالم الرياضيات أرخميدس أدوات الهندسة الإقليدية ليُبين أن المساحة داخل الدائرة تساوي مساحة المثلث القائم الزاوية الذي طول قاعدته يساوي محيط الدائرة وارتفاعه يساوي نصف قطر الدائرة، وذلك في كتابه " قياس الدائرة" . (محيط الدائرة هو 2 $π$ r ، ومساحة المثلث هي نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع، مما ينتج عنه مساحة $π$ r ² للقرص.) قام أرخميدس بتقريب قيمة $π$ (وبالتالي مساحة دائرة نصف قطرها وحدة واحدة) باستخدام طريقة المضاعفة الخاصة به ، حيث قام برسم مثلث منتظم داخل دائرة وسجل مساحته، ثم ضاعف عدد الأضلاع للحصول على شكل سداسي منتظم ، ثم ضاعف عدد الأضلاع بشكل متكرر كلما اقتربت مساحة المضلع من مساحة الدائرة (وفعل الشيء نفسه مع المضلعات المحيطة ).

منطقة المثلث

في عام 300 قبل الميلاد، أثبت عالم الرياضيات اليوناني إقليدس في كتابه "أصول الهندسة" أن مساحة المثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع الذي له نفس القاعدة والارتفاع . ^{[ 20 ]} ووجد هيرون الإسكندري ما يُعرف بصيغة هيرون لحساب مساحة المثلث بدلالة أضلاعه، ويمكن الاطلاع على برهانها في كتابه " المقاييس" (Metrica )، الذي كُتب حوالي عام 60 ميلادي. وقد رُجِّح أن أرخميدس كان على دراية بهذه الصيغة قبل ذلك بأكثر من قرنين، ^{[ 21 ]} وبما أن "المقاييس" عبارة عن مجموعة من المعارف الرياضية المتاحة في العالم القديم، فمن المحتمل أن تكون الصيغة أقدم من المرجع الوارد في ذلك العمل. ^{[ 22 ]}

في عام 499 م، قام أريابهاتا ، وهو عالم رياضيات وفلك من العصر الكلاسيكي للرياضيات وعلم الفلك الهندي ، بتعبير مساحة المثلث على أنها نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع في كتاب أريابهاتيا . ^{[ 23 ]}

اكتشف الصينيون صيغة مكافئة لصيغة هيرون بشكل مستقل عن اليونانيين. وقد نُشرت هذه الصيغة عام 1247 في كتاب "شوشو جيوتشانغ " (" رسالة رياضية في تسعة أقسام ")، الذي كتبه تشين جيوشاو . ^{[ 24 ]}

المنطقة الرباعية

في القرن السابع الميلادي، وضع براهماغوبتا صيغةً تُعرف الآن بصيغة براهماغوبتا ، لحساب مساحة الشكل الرباعي الدائري (الشكل الرباعي المرسوم داخل دائرة) بدلالة أضلاعه. وفي عام ١٨٤٢، توصل عالما الرياضيات الألمانيان كارل أنطون بريتشنايدر وكارل جورج كريستيان فون شتاودت، كلٌ على حدة، إلى صيغةٍ تُعرف بصيغة بريتشنايدر ، لحساب مساحة أي شكل رباعي.

منطقة المضلع العام

لقد سمح تطوير الإحداثيات الديكارتية بواسطة رينيه ديكارت في القرن السابع عشر بتطوير صيغة المساح لمساحة أي مضلع بمواقع رؤوس معروفة بواسطة جاوس في القرن التاسع عشر.

المساحات المحددة باستخدام حساب التفاضل والتكامل

لقد وفر تطوير حساب التكامل في أواخر القرن السابع عشر أدوات يمكن استخدامها لاحقًا لحساب مساحات أكثر تعقيدًا، مثل مساحة القطع الناقص ومساحات الأسطح للأجسام ثلاثية الأبعاد المنحنية المختلفة.

صيغ حساب المساحة

صيغ المضلعات

بالنسبة للمضلع البسيط (غير المتقاطع مع نفسه )، فإن الإحداثيات الديكارتية $(x_{i},y_{i})(i=0,1,...,n-1)$ إذا كانت رؤوسها n معروفة، فإن المساحة تُعطى بواسطة صيغة المساح : ^[²⁵^]

$A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }$

حيث عندما i = n − 1، فإن i + 1 يتم التعبير عنه كقيمة مطلقة n وبالتالي يشير إلى 0.

المستطيلات

مستطيل ذو طول وعرض محددين — مساحة هذا المستطيل هي $lw$ .

أبسط صيغة لحساب المساحة هي صيغة مساحة المستطيل . إذا كان لدينا مستطيل طوله $l$ وعرضه $w$ ، فإن صيغة حساب مساحته هي: ^{[ 2 ]}

A = lw

(مستطيل).

أي أن مساحة المستطيل تساوي الطول مضروبًا في العرض. وكحالة خاصة، بما أن $الطول يساوي العرض$ في حالة المربع، فإن مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي $العرض$ تُعطى بالصيغة التالية: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

A = s 2

(مربع).

تُستنتج صيغة حساب مساحة المستطيل مباشرةً من الخصائص الأساسية للمساحة، وتُعتبر أحيانًا تعريفًا أو بديهية . من جهة أخرى، إذا طُوِّرت الهندسة قبل الحساب ، يُمكن استخدام هذه الصيغة لتعريف ضرب الأعداد الحقيقية .

التشريح، متوازيات الأضلاع، والمثلثات

يمكن تقطيع متوازي الأضلاع وإعادة ترتيبه لتشكيل مستطيل.

تعتمد معظم الصيغ البسيطة الأخرى لحساب المساحة على طريقة التقسيم . تتضمن هذه الطريقة تقسيم الشكل إلى أجزاء، بحيث يكون مجموع مساحات هذه الأجزاء مساويًا لمساحة الشكل الأصلي. على سبيل المثال، يمكن تقسيم أي متوازي أضلاع إلى شبه منحرف ومثلث قائم الزاوية ، كما هو موضح في الشكل على اليسار. إذا نُقل المثلث إلى الجانب الآخر من شبه المنحرف، فإن الشكل الناتج يكون مستطيلًا. وبالتالي، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي مساحة المستطيل: ^{[ 2 ]}

A = bh

(متوازي الأضلاع).

مع ذلك، يمكن أيضًا تقسيم متوازي الأضلاع نفسه على طول قطره إلى مثلثين متطابقين ، كما هو موضح في الشكل على اليمين. ويترتب على ذلك أن مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع: ^{[ 2 ]} $A={\frac {1}{2}}bh{\text{ (مثلث).}}$ يمكن استخدام حجج مماثلة لإيجاد صيغ مساحة شبه المنحرف ^{[ 26 ]} وكذلك المضلعات الأكثر تعقيدًا . ^{[ 27 ]}

مساحة الأشكال المنحنية

دوائر

يمكن إعادة ترتيب دائرة مقسمة إلى قطاعات عديدة تقريبًا لتشكيل متوازي أضلاع — يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات يتم إعادة ترتيبها لتشكيل متوازي أضلاع تقريبي .

تعتمد صيغة حساب مساحة الدائرة ( أو مساحة القرص ) على طريقة مشابهة. فإذا كانت لدينا دائرة نصف قطرها $r$ ، يمكن تقسيمها إلى قطاعات ، كما هو موضح في الشكل على اليمين. كل قطاع مثلث الشكل تقريبًا، ويمكن إعادة ترتيب هذه القطاعات لتشكيل متوازي أضلاع تقريبًا. ارتفاع متوازي الأضلاع هذا هو $r$ ، وعرضه يساوي نصف محيط الدائرة، أي $πr²$ ^.^{وبالتالي}^، $فإن المساحة$ $الكلية$ للدائرة هي $πr² .$

A = π r 2

(دائرة).

$على الرغم من أن التقسيم المستخدم في هذه الصيغة تقريبي فقط،$ $إلا$ أن الخطأ يتقلص كلما تم تقسيم الدائرة إلى قطاعات أكثر. ونهاية مساحات متوازيات الأضلاع التقريبية تساوي بالضبط $πr²$ ، وهي مساحة الدائرة. ^{[ 28 ]}

هذه الحجة في الواقع تطبيق بسيط لمفاهيم التفاضل والتكامل . في العصور القديمة، استُخدمت طريقة الاستنفاد بطريقة مماثلة لإيجاد مساحة الدائرة، وتُعتبر هذه الطريقة الآن مقدمةً للتفاضل والتكامل . باستخدام الطرق الحديثة، يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام التكامل المحدد . $A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.$

القطع الناقصة

ترتبط صيغة حساب المساحة المحصورة داخل القطع الناقص بصيغة حساب المساحة المحصورة داخل الدائرة؛ بالنسبة للقطع الناقص ذي المحورين الأكبر والأصغر $x$ و $y،$ تكون الصيغة كالتالي: ^[²^] $A=\pi xy.$

مساحة سطح غير مستوية

يمكن الحصول على معظم الصيغ الأساسية لحساب مساحة السطح عن طريق قطع الأسطح وتسويتها (انظر: الأسطح القابلة للتطوير ). على سبيل المثال، إذا قُطع السطح الجانبي لأسطوانة ( أو أي منشور ) طوليًا، يمكن تسوية السطح ليصبح مستطيلًا. وبالمثل، إذا قُطع جانب مخروط ، يمكن تسوية السطح الجانبي ليصبح قطاعًا دائريًا، ومن ثم حساب المساحة الناتجة.

يُعدّ اشتقاق صيغة مساحة سطح الكرة أكثر صعوبة: نظرًا لأن الكرة لها انحناء غاوسي غير صفري ، فلا يمكن تسطيحها. وقد توصل أرخميدس إلى صيغة مساحة سطح الكرة لأول مرة في كتابه " في الكرة والأسطوانة" . الصيغة هي: ^{[ 6 ]}

A = 4 πr 2

(كرة)،

حيث $r$ هو نصف قطر الكرة. وكما هو الحال مع صيغة مساحة الدائرة، فإن أي اشتقاق لهذه الصيغة يستخدم بطبيعته أساليب مشابهة لحساب التفاضل والتكامل .

الصيغ العامة

مساحات الأشكال ثنائية الأبعاد

{\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}} — منطقة المثلث $A={\tfrac {b\cdot h}{2}}$

مثلث : ${\tfrac {1}{2}}Bh$ (حيث B أي ضلع، و h المسافة من الخط الذي يقع عليه B إلى الرأس الآخر للمثلث). يمكن استخدام هذه الصيغة إذا كان الارتفاع h معلومًا. أما إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة معلومة، فيمكن استخدام صيغة هيرون . ${\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}$ حيث a و b و c هي أضلاع المثلث، و $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ ^{[ 2 ]} إذا عُلمت زاوية وضلعاها المحصوران فيها، فإن مساحتها تساوي نصف محيطها. ${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)$ حيث $C$ هي الزاوية المعطاة، و $a$ و $b$ هما الضلعان المحصوران فيها. ^{[ 2 ]} إذا تم تمثيل المثلث بيانيًا على مستوى إحداثي، فيمكن استخدام مصفوفة، ويتم تبسيطها إلى القيمة المطلقة لـ ${\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})$ تُعرف هذه الصيغة أيضًا بصيغة رباط الحذاء ، وهي طريقة سهلة لحساب مساحة المثلث الإحداثي عن طريق استبدال النقاط الثلاث (س ₁ ، ص ₁ ) ، (س ₂ ، ص ₂ ) ، و (س ₃ ، ص ₃ ) . ويمكن استخدام صيغة رباط الحذاء أيضًا لحساب مساحات المضلعات الأخرى عندما تكون رؤوسها معلومة. وهناك طريقة أخرى لحساب مساحة المثلث الإحداثي وهي استخدام حساب التفاضل والتكامل.
مضلع بسيط مُنشأ على شبكة من النقاط متساوية المسافة (أي النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة ) بحيث تكون جميع رؤوس المضلع نقاطًا على الشبكة: $i+{\frac {b}{2}}-1$ حيث يمثل i عدد نقاط الشبكة داخل المضلع، ويمثل b عدد نقاط الحدود. تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية بيك . ^{[ 29 ]}

المساحة في حساب التفاضل والتكامل

رسم بياني يوضح المساحة بين دالتين — يمكن حساب المساحة بين رسمين بيانيين عن طريق حساب الفرق بين تكاملات الدالتين.

المساحة بين منحنى ذي قيمة موجبة والمحور الأفقي، مقاسة بين قيمتين a و b (حيث b هي القيمة الأكبر من بين القيمتين) على المحور الأفقي، تُعطى بواسطة التكامل من a إلى b للدالة التي تمثل المنحنى: ^{[ 1 ]} $A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$
المساحة بين منحنيات دالتين تساوي تكامل إحدى الدالتين ، f ( x )، مطروحًا منه تكامل الدالة الأخرى، g ( x ) : $A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,$ أين $f(x)$ هو المنحنى ذو قيمة y الأكبر.
منطقة محددة بدالة $r=r(\theta )$ معبر عنها بالإحداثيات القطبية هي: ^{[ 1 ]} $A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .$
المساحة المحصورة بمنحنى بارامتري ${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$ مع نقاط النهاية ${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$ يتم تحديدها بواسطة التكاملات الخطية : $\oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt$ أو المكون z من ${1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.$ (للحصول على التفاصيل، انظر نظرية غرين § حساب المساحة .) هذا هو مبدأ الجهاز الميكانيكي للبلانيمتر .

المساحة المحصورة بين دالتين تربيعيتين

لإيجاد المساحة المحدودة بين دالتين تربيعيتين ، نطرح إحداهما من الأخرى أولاً، ونكتب الفرق على النحو التالي: $f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$ حيث f ( x ) هي الحد الأعلى التربيعي و g ( x ) هي الحد الأدنى التربيعي. باستخدام صيغ التكامل المساحي المذكورة أعلاه وصيغة فييتا ، يمكننا استنتاج ما يلي ^{[ 30 ]}^{[ 31 ].} $A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.$ يظل ما سبق صحيحًا إذا كانت إحدى الدوال المحددة خطية بدلاً من تربيعية.

مساحة سطح الأشكال ثلاثية الأبعاد

المخروط : ^{[ 32 ]} $\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$ حيث r هو نصف قطر القاعدة الدائرية، و h هو الارتفاع. ويمكن إعادة كتابة ذلك أيضًا على النحو التالي: $\pi r^{2}+\pi rl$ ^{[ 32 ]} أو $\pi r(r+l)\,\!$ حيث r هو نصف القطر و l هو الارتفاع المائل للمخروط. $\pi r^{2}$ هي المنطقة الأساسية بينما $\pi rl$ ^[³²^] هي مساحة السطح الجانبي للمخروط.
مكعب : $6s^{2}$ حيث يمثل s طول الحافة. ^{[ 6 ]}
الأسطوانة : $2\pi r(r+h)$ حيث يمثل r نصف قطر القاعدة و h الارتفاع. $2\pi r$ ويمكن إعادة كتابتها أيضًا على النحو التالي $\pi d$ ، حيث d هو القطر.
المنشور : $2B+Ph$ ، حيث B هي مساحة القاعدة، وP هي محيط القاعدة، و h هو ارتفاع المنشور.
الهرم : $B+{\frac {PL}{2}}$ ، حيث B هي مساحة القاعدة، وP هي محيط القاعدة، و L هي طول الانحدار.
منشور مستطيل : $2(\ell w+\ell h+wh)$ ، أين $\ell$ يمثل الطول، و يمثل العرض، و يمثل الارتفاع.

الصيغة العامة لحساب مساحة السطح

الصيغة العامة لمساحة سطح الرسم البياني لدالة قابلة للتفاضل باستمرار $z=f(x,y),$ أين $(x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}$ و $D$ هي منطقة في المستوى xy ذات حدود ناعمة: $A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.$ صيغة أكثر عمومية لحساب مساحة الرسم البياني لسطح وسيطي في شكل متجهي $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),$ أين $\mathbf {r}$ هي دالة متجهة قابلة للتفاضل باستمرار لـ $(u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}$ هو: ^{[ 8 ]} $A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.$

قائمة الصيغ

صيغ شائعة إضافية لحساب المساحة:
شكل	صيغة	المتغيرات
مربع	$A=s^{2}$
المستطيل	$A=ab$
مثلث	$A={\frac {1}{2}}bh\,\!$
مثلث	$A={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )\,\!$
مثلث ( صيغة هيرون )	$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$
مثلث متساوي الساقين	$A={\frac {c}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
مثلث منتظم ( مثلث متساوي الأضلاع )	$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!$
معين / طائرة ورقية	$A={\frac {1}{2}}de$
متوازي الأضلاع	$A=ah_{a}\,\!$
شبه منحرف	$A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!$
سداسي منتظم	$A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$
مثمن منتظم	$A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!$
مضلع منتظم ( $n$ الجوانب)	$A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}$ $\quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!$	$p=na\$ ( المحيط ) $r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),$ ${\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})$ $r:$ نصف قطر الدائرة الداخلية $R:$ نصف قطر الدائرة المحيطة
دائرة	$A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}$ ( $d=2r:$ القطر )
القطاع الدائري	$A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$
القطع الناقص	$A=\pi ab\,\!$
أساسي	$A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0$
	مساحة السطح
جسم كروي	$A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$
متوازي المستطيلات	$A=2(ab+ac+bc)$
أسطوانة (بما في ذلك الجزء السفلي والعلوي)	$A=2\pi r(r+h)$
مخروط (بما في ذلك الجزء السفلي)	$A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$
حلقة	$A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$
سطح الدوران	$A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x$ (دوران حول المحور السيني)

توضح الحسابات المذكورة أعلاه كيفية إيجاد مساحات العديد من الأشكال الشائعة .

يمكن حساب مساحات المضلعات غير المنتظمة (وبالتالي العشوائية) باستخدام " صيغة المساح " (صيغة رباط الحذاء). ^{[ 28 ]}

العلاقة بين المساحة والمحيط

تنص متباينة المحيط المتساوي على أنه بالنسبة لمنحنى مغلق طوله L (وبالتالي فإن المنطقة التي يحيط بها محيطها L ) وبالنسبة لمساحة المنطقة التي يحيط بها A ،

4\pi A\leq L^{2},

وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرة . وبالتالي، فإن للدائرة أكبر مساحة بين جميع الأشكال المغلقة ذات المحيط المحدد.

وعلى النقيض من ذلك، يمكن أن يكون للشكل ذي المحيط L مساحة صغيرة بشكل تعسفي، كما يتضح من المعين الذي يتم "إمالته" بعيدًا بشكل تعسفي بحيث تكون زاويتان من زواياه قريبة بشكل تعسفي من 0 درجة والزاويتان الأخريان قريبتان بشكل تعسفي من 180 درجة.

بالنسبة للدائرة، فإن نسبة المساحة إلى المحيط (مصطلح محيط الدائرة) تساوي نصف نصف القطر r . ويمكن ملاحظة ذلك من خلال صيغة المساحة ^πr²وصيغة المحيط 2πr .

مساحة المضلع المنتظم تساوي نصف محيطه مضروبًا في المسافة العمودية (حيث المسافة العمودية هي المسافة من المركز إلى أقرب نقطة على أي جانب).

الفراكتلات

مضاعفة أطوال أضلاع المضلع تزيد مساحته أربعة أضعاف، أي اثنين (نسبة طول الضلع الجديد إلى القديم) مرفوعًا للأس اثنين (بعد الفضاء الذي يقع فيه المضلع). ولكن إذا تضاعفت جميع أطوال الأضلاع أحادية البعد لكسر هندسي مرسوم في بعدين، فإن المحتوى المكاني للكسر الهندسي يتغير بمقدار أس اثنين ليس بالضرورة عددًا صحيحًا. يُسمى هذا الأس بالبعد الكسري للكسر الهندسي. ^{[ 33 ]}

منصفات المنطقة

يوجد عدد لا حصر له من الخطوط التي تنصف مساحة المثلث. ثلاثة منها هي متوسطات المثلث (التي تصل بين منتصفات الأضلاع والرؤوس المقابلة)، وتتقاطع هذه المتوسطات في مركز المثلث ؛ بل إنها منصفات المساحة الوحيدة التي تمر بمركز المثلث. أي خط يمر عبر المثلث ويقسم مساحته ومحيطه إلى نصفين يمر بمركز الدائرة الداخلية للمثلث . يوجد إما متوسط واحد أو اثنان أو ثلاثة من هذه المتوسطات لأي مثلث.

أي خط يمر بمنتصف متوازي الأضلاع يقسم المساحة إلى نصفين.

جميع منصفات مساحة الدائرة أو أي شكل بيضاوي آخر تمر بمركزها، وأي وتر يمر بالمركز ينصف المساحة. في حالة الدائرة، تكون هذه الأوتار هي أقطار الدائرة.

تحسين

عند النظر إلى محيط سلكي، فإن السطح الذي يغطيه بأقل مساحة ممكنة ("يملأه") يُسمى سطحًا أدنى . ومن الأمثلة الشائعة على ذلك فقاعات الصابون .

لا تزال مسألة مساحة ملء دائرة ريمان مفتوحة. ^{[ 34 ]}

تتمتع الدائرة بأكبر مساحة بين جميع الأجسام ثنائية الأبعاد التي لها نفس المحيط.

المضلع الدائري (المضلع المرسوم داخل دائرة) له أكبر مساحة من أي مضلع له عدد معين من الأضلاع ذات الأطوال المتساوية.

تنص إحدى صيغ متباينة المحيط المتساوي للمثلثات على أن المثلث ذو المساحة الأكبر بين جميع المثلثات ذات المحيط المعطى يكون متساوي الأضلاع . ^{[ 35 ]}

المثلث ذو المساحة الأكبر من بين جميع المثلثات المرسومة داخل دائرة معينة يكون متساوي الأضلاع؛ والمثلث ذو المساحة الأصغر من بين جميع المثلثات المحيطة بدائرة معينة يكون متساوي الأضلاع. ^{[ 36 ]}

نسبة مساحة الدائرة الداخلية إلى مساحة المثلث متساوي الأضلاع، ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ ، وهي أكبر من مساحة أي مثلث غير متساوي الأضلاع. ^{[ 37 ]}

نسبة مساحة المثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه، ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},$ أكبر من ذلك بالنسبة لأي مثلث آخر. ^{[ 35 ]}

انظر أيضاً

الشكل الرباعي براهمغوبتا ، وهو شكل رباعي دائري بأضلاع وأقطار ومساحة صحيحة.
خريطة متساوية المساحة
المثلث الهيروني ، وهو مثلث ذو أضلاع صحيحة ومساحة صحيحة.
قائمة متباينات المثلث
مثلث مساحته سُبع مساحة المثلث المرجعي.
- نظرية راوث ، وهي تعميم لنظرية المثلث ذي المساحة السُبع.
رتب الحجم - قائمة بالمناطق حسب الحجم.
اشتقاق صيغة الخماسي
البلانيمتر ، وهو أداة لقياس المساحات الصغيرة، على سبيل المثال على الخرائط.
المنطقة المتوقعة
مساحة شكل رباعي محدب
خماسي روبنز ، وهو خماسي دوري تكون أطوال أضلاعه ومساحته جميعها أعدادًا نسبية.

ملحوظات

↑ يُستخدم في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية.

مراجع

1 2 3 4 5 6 وايسشتاين، إريك دبليو. "المساحة" . وولفرام ماث وورلد . مؤرشف من الأصل في 5 مايو 2012. تم الاسترجاع في 3 يوليو 2012 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 "صيغ المساحة" . Math.com. مؤرشف من الأصل في 2 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه في 2 يوليو 2012 .
1 2 "القرار رقم 12 الصادر عن الاجتماع الحادي عشر للجنة العامة للأوزان والمقاييس (1960)" . المكتب الدولي للأوزان والمقاييس . مؤرشف من الأصل بتاريخ 28 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يوليو 2012 .
^ مارك دي بيرج. مارك فان كريفيلد؛ مارك أوفرمارس ؛ أوتفريد شوارزكوف (2000). "الفصل الثالث: تثليث المضلعات" . الهندسة الحسابية (الطبعة الثانية المنقحة ). سبرينغر-فيرلاغ . ص 45-61 . رقم ISBN 978-3-540-65620-3.
↑ بوير، كارل ب. (1959). تاريخ حساب التفاضل والتكامل وتطوره المفاهيمي . دوفر.
1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "مساحة السطح" . وولفرام ماث وورلد . مؤرشف من الأصل في 23 يونيو 2012. تم الاسترجاع في 3 يوليو 2012 .
↑ "مساحة السطح" . مؤسسة CK-12 . تم الاسترجاع في 9 أكتوبر 2018 .
1 2 دو كارمو، مانفريدو (1976). الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح . برنتيس هول. ص 98، ISBN 978-0-13-212589-5
↑ والتر رودين (1966). التحليل الحقيقي والمركب ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-100276-6.
↑ جيرالد فولاند (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها ، جون وايلي وأولاده، ص 20، ISBN 0-471-31716-0
↑ أبوستول، توم (1967). حساب التفاضل والتكامل . المجلد الأول: حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد، مع مقدمة في الجبر الخطي. جون وايلي وأولاده. الصفحات 58-59 . ISBN 9780471000051.
↑ مويس، إدوين (1963). الهندسة الابتدائية من منظور متقدم . شركة أديسون-ويسلي للنشر. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يوليو 2012 .
١ ٢ ٣ ٤ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس (٢٠٠٦). النظام الدولي للوحدات (SI) (ملف PDF) . الطبعة الثامنة. الفصل الخامس. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ ٥ نوفمبر ٢٠١٣. تم الاطلاع عليه بتاريخ ١٣ فبراير ٢٠٠٨ .
↑ "وحدات قياس الأراضي في الهند: وحدات القياس القياسية، جدول تحويل الأراضي" . مدونة ماجيك بريكس . 4 أغسطس 2020. تاريخ الاطلاع: 20 سبتمبر 2023 .
↑ ميشرا، سونيتا (13 يونيو 2023). "وحدات قياس الأراضي في الهند: جميع الأنواع في عام 2023" . أخبار الإسكان . تاريخ الاسترجاع: 20 سبتمبر 2023 .
↑ "وحدات قياس الأراضي القياسية في الهند - تايمز بروبرتي" . timesproperty.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-09-20 .
↑ www.clicbrics.com. "9 وحدات قياس الأراضي في الهند التي يجب أن تعرفها - 2022" . www.clicbrics.com . تاريخ الاطلاع: 20 سبتمبر 2023 .
↑ هيث، توماس ل. (2003). دليل في الرياضيات اليونانية . منشورات كوريير دوفر. الصفحات 121-132 . ISBN 978-0-486-43231-1تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2016-05-01 .
↑ ستيوارت، جيمس (2003). حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة الخامسة ). تورنتو، أونتاريو: بروك/كول. ص 3. ISBN 978-0-534-39330-4ومع ذلك ، وباستخدام الاستدلال غير المباشر، استخدم إيدوكسوس (القرن الخامس قبل الميلاد) مبدأ الاستنزاف لإثبات الصيغة المألوفة لمساحة الدائرة: $A=\pi r^{2}.$
↑ "برهان إقليدس لنظرية فيثاغورس | Synaptic" . كلية سنترال . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-07-2023 .
↑ هيث، توماس ل. (1921). تاريخ الرياضيات اليونانية (المجلد الثاني) . مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 321-323 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغة هيرون" . عالم الرياضيات .
↑ كلارك، والتر يوجين (1930). أريابهاتيا لأريابهاتا: عمل هندي قديم في الرياضيات وعلم الفلك (ملف PDF) . مطبعة جامعة شيكاغو. ص 26.
↑ شو، وينوين؛ يو، نينغ (مايو 2013). "جسر سُمّي على اسم عالم الرياضيات الذي اكتشف نظرية الباقي الصينية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 60 (5): 596-597 . doi : 10.1090/noti993 .
↑ بورك، بول (يوليو 1988). "حساب مساحة ومركز ثقل المضلع" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 16 سبتمبر 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 فبراير 2013 .
↑ أفرباخ ، بوني ؛ تشين، أورين (2012). حل المشكلات من خلال الرياضيات الترفيهية . دوفر. ص 306. ISBN 978-0-486-13174-0.
↑ جوشي، ك.د. (2002). حساب التفاضل والتكامل للعلماء والمهندسين: منهج تحليلي . مطبعة سي آر سي. ص 43. ISBN 978-0-8493-1319-6تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2016-05-05 .
1 2 برادن، بارت (سبتمبر 1986). "صيغة المساحة للمساح" ( ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 17 (4): 326-337 . doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 27 يونيو 2012. تم الاطلاع عليه في 15 يوليو 2012 .
↑ ترينين، ج. (نوفمبر 2007). "برهان أولي لنظرية بيك". المجلة الرياضية . 91 (522): 536-540 . doi : 10.1017/S0025557200182270 . S2CID 124831432 .
^ ماتيماتيكا . بي تي جرافيندو ميديا براتاما. ص 51–. رقم ISBN 978-979-758-477-1تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 20-03-2017 .
↑ احصل على النجاح UN +SPMB Matematika . بي تي جرافيندو ميديا براتاما. ص 157-. رقم ISBN 978-602-00-0090-9تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 23-12-2016 .
1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "المخروط" . وولفرام ماث وورلد . مؤرشف من الأصل في 21 يونيو 2012. تم الاسترجاع في 6 يوليو 2012 .
↑ ماندلبروت، بينوا ب. (1983). الهندسة الكسورية للطبيعة . ماكميلان. ISBN 978-0-7167-1186-5أُرشف من الأصل في 20 مارس 2017. تم الاطلاع عليه في 1 فبراير 2012 .
↑ غروموف، ميخائيل (1983). "ملء المشعبات الريمانية" . مجلة الهندسة التفاضلية . 18 (1): 1-147 . CiteSeerX 10.1.1.400.9154 . doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2014-04-08 .
1 2 شاكريان، جي دي (1979) "نظرة مشوهة للهندسة". الفصل 7 في كتاب "البرقوق الرياضية " . تحرير ر. هونسبرغر. واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 147.
↑ دوري، هاينريش (1965)، 100 مشكلة عظيمة في الرياضيات الابتدائية ، دار نشر دوفر، ص 379-380.
↑ ميندا، د.؛ فيلبس، س. (أكتوبر 2008). " المثلثات ، والقطع الناقصة، ومتعددات الحدود التكعيبية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 115 (8): 679-689: النظرية 4.1. doi : 10.1080/00029890.2008.11920581 . JSTOR 27642581. S2CID 15049234. مؤرشف من الأصل في 2016-11-04.

روابط خارجية

[1] يُستخدم في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية.

[MathWorld-2] 1 2 3 4 5 6 وايسشتاين، إريك دبليو. "المساحة" . وولفرام ماث وورلد . مؤرشف من الأصل في 5 مايو 2012. تم الاسترجاع في 3 يوليو 2012 .

[AF-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 "صيغ المساحة" . Math.com. مؤرشف من الأصل في 2 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه في 2 يوليو 2012 .

[B-4] 1 2 "القرار رقم 12 الصادر عن الاجتماع الحادي عشر للجنة العامة للأوزان والمقاييس (1960)" . المكتب الدولي للأوزان والمقاييس . مؤرشف من الأصل بتاريخ 28 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يوليو 2012 .

[bkos-5] مارك دي بيرج. مارك فان كريفيلد؛ مارك أوفرمارس ؛ أوتفريد شوارزكوف (2000). "الفصل الثالث: تثليث المضلعات" . الهندسة الحسابية (الطبعة الثانية المنقحة ). سبرينغر-فيرلاغ . ص 45-61 . رقم ISBN 978-3-540-65620-3.

[6] بوير، كارل ب. (1959). تاريخ حساب التفاضل والتكامل وتطوره المفاهيمي . دوفر.

[MathWorldSurfaceArea-7] 1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "مساحة السطح" . وولفرام ماث وورلد . مؤرشف من الأصل في 23 يونيو 2012. تم الاسترجاع في 3 يوليو 2012 .

[8] "مساحة السطح" . مؤسسة CK-12 . تم الاسترجاع في 9 أكتوبر 2018 .

[doCarmo-9] 1 2 دو كارمو، مانفريدو (1976). الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح . برنتيس هول. ص 98، ISBN 978-0-13-212589-5

[Rudin-10] والتر رودين (1966). التحليل الحقيقي والمركب ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-100276-6.

[11] جيرالد فولاند (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها ، جون وايلي وأولاده، ص 20، ISBN 0-471-31716-0

[Apostol-12] أبوستول، توم (1967). حساب التفاضل والتكامل . المجلد الأول: حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد، مع مقدمة في الجبر الخطي. جون وايلي وأولاده. الصفحات 58-59 . ISBN 9780471000051.

[Moise-13] مويس، إدوين (1963). الهندسة الابتدائية من منظور متقدم . شركة أديسون-ويسلي للنشر. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يوليو 2012 .

[BIPM2006Ch5-14] ١ ٢ ٣ ٤ المكتب الدولي للأوزان والمقاييس (٢٠٠٦). النظام الدولي للوحدات (SI) (ملف PDF) . الطبعة الثامنة. الفصل الخامس. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ ٥ نوفمبر ٢٠١٣. تم الاطلاع عليه بتاريخ ١٣ فبراير ٢٠٠٨ .

[15] "وحدات قياس الأراضي في الهند: وحدات القياس القياسية، جدول تحويل الأراضي" . مدونة ماجيك بريكس . 4 أغسطس 2020. تاريخ الاطلاع: 20 سبتمبر 2023 .

[16] ميشرا، سونيتا (13 يونيو 2023). "وحدات قياس الأراضي في الهند: جميع الأنواع في عام 2023" . أخبار الإسكان . تاريخ الاسترجاع: 20 سبتمبر 2023 .

[17] "وحدات قياس الأراضي القياسية في الهند - تايمز بروبرتي" . timesproperty.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-09-20 .

[18] www.clicbrics.com. "9 وحدات قياس الأراضي في الهند التي يجب أن تعرفها - 2022" . www.clicbrics.com . تاريخ الاطلاع: 20 سبتمبر 2023 .

[heath-19] هيث، توماس ل. (2003). دليل في الرياضيات اليونانية . منشورات كوريير دوفر. الصفحات 121-132 . ISBN 978-0-486-43231-1تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2016-05-01 .

[20] ستيوارت، جيمس (2003). حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة الخامسة ). تورنتو، أونتاريو: بروك/كول. ص 3. ISBN 978-0-534-39330-4ومع ذلك ، وباستخدام الاستدلال غير المباشر، استخدم إيدوكسوس (القرن الخامس قبل الميلاد) مبدأ الاستنزاف لإثبات الصيغة المألوفة لمساحة الدائرة: $A=\pi r^{2}.$

[21] "برهان إقليدس لنظرية فيثاغورس | Synaptic" . كلية سنترال . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-07-2023 .

[22] هيث، توماس ل. (1921). تاريخ الرياضيات اليونانية (المجلد الثاني) . مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 321-323 .

[23] وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغة هيرون" . عالم الرياضيات .

[24] كلارك، والتر يوجين (1930). أريابهاتيا لأريابهاتا: عمل هندي قديم في الرياضيات وعلم الفلك (ملف PDF) . مطبعة جامعة شيكاغو. ص 26.

[25] شو، وينوين؛ يو، نينغ (مايو 2013). "جسر سُمّي على اسم عالم الرياضيات الذي اكتشف نظرية الباقي الصينية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 60 (5): 596-597 . doi : 10.1090/noti993 .

[26] بورك، بول (يوليو 1988). "حساب مساحة ومركز ثقل المضلع" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 16 سبتمبر 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 فبراير 2013 .

[27] أفرباخ ، بوني ؛ تشين، أورين (2012). حل المشكلات من خلال الرياضيات الترفيهية . دوفر. ص 306. ISBN 978-0-486-13174-0.

[28] جوشي، ك.د. (2002). حساب التفاضل والتكامل للعلماء والمهندسين: منهج تحليلي . مطبعة سي آر سي. ص 43. ISBN 978-0-8493-1319-6تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2016-05-05 .

[Surveyor-29] 1 2 برادن، بارت (سبتمبر 1986). "صيغة المساحة للمساح" ( ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 17 (4): 326-337 . doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 27 يونيو 2012. تم الاطلاع عليه في 15 يوليو 2012 .

[Pick-30] ترينين، ج. (نوفمبر 2007). "برهان أولي لنظرية بيك". المجلة الرياضية . 91 (522): 536-540 . doi : 10.1017/S0025557200182270 . S2CID 124831432 .

[31] ماتيماتيكا . بي تي جرافيندو ميديا براتاما. ص 51–. رقم ISBN 978-979-758-477-1تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 20-03-2017 .

[32] احصل على النجاح UN +SPMB Matematika . بي تي جرافيندو ميديا براتاما. ص 157-. رقم ISBN 978-602-00-0090-9تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 23-12-2016 .

[MathWorldCone-33] 1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "المخروط" . وولفرام ماث وورلد . مؤرشف من الأصل في 21 يونيو 2012. تم الاسترجاع في 6 يوليو 2012 .

[Mandelbrot1983-34] ماندلبروت، بينوا ب. (1983). الهندسة الكسورية للطبيعة . ماكميلان. ISBN 978-0-7167-1186-5أُرشف من الأصل في 20 مارس 2017. تم الاطلاع عليه في 1 فبراير 2012 .

[35] غروموف، ميخائيل (1983). "ملء المشعبات الريمانية" . مجلة الهندسة التفاضلية . 18 (1): 1-147 . CiteSeerX 10.1.1.400.9154 . doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2014-04-08 .

[Chakerian-36] 1 2 شاكريان، جي دي (1979) "نظرة مشوهة للهندسة". الفصل 7 في كتاب "البرقوق الرياضية " . تحرير ر. هونسبرغر. واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 147.

[37] دوري، هاينريش (1965)، 100 مشكلة عظيمة في الرياضيات الابتدائية ، دار نشر دوفر، ص 379-380.

[38] ميندا، د.؛ فيلبس، س. (أكتوبر 2008). " المثلثات ، والقطع الناقصة، ومتعددات الحدود التكعيبية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 115 (8): 679-689: النظرية 4.1. doi : 10.1080/00029890.2008.11920581 . JSTOR 27642581. S2CID 15049234. مؤرشف من الأصل في 2016-11-04.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

18

[

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ].

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗