مساحة الدائرة

مساحة المضلع المنتظم تساوي نصف محيطه مضروبًا في طول عموده . كلما زاد عدد أضلاع المضلع المنتظم، اقترب المضلع من الدائرة، واقترب طول عموده من نصف قطرها. وهذا يشير إلى أن مساحة القرص تساوي نصف محيط الدائرة المحيطة به مضروبًا في نصف قطرها. ^{[ 3 ]}

استنادًا إلى حجة أرخميدس في كتابه " قياس الدائرة" (حوالي 260 قبل الميلاد)، نقارن مساحة الدائرة بمساحة مثلث قائم الزاوية قاعدته تساوي محيط الدائرة وارتفاعه يساوي نصف قطرها. إذا لم تتساوى مساحة الدائرة مع مساحة المثلث، فلا بد أن تكون إحداهما أكبر من الأخرى أو أصغر. نستبعد كليهما بالتناقض، فلا يبقى إلا التساوي. ونستخدم المضلعات المنتظمة بالطريقة نفسها.

ليس أكبر

لنفترض أن المساحة C المحصورة داخل الدائرة أكبر من مساحة المثلث T  = cr /2. ولنرمز إلى الزيادة بالرمز E. نرسم مربعًا داخل الدائرة بحيث تقع زواياه الأربع عليها. بين المربع والدائرة أربعة أجزاء مستقيمة. إذا كانت المساحة الكلية لهذه الأجزاء، G₄ _، أكبر من E ، نقسم كل قوس إلى نصفين. هذا يجعل المربع المرسوم داخل الدائرة مثمنًا، وينتج ثمانية أجزاء مستقيمة بمسافة كلية أصغر، G₈ . نستمر في التقسيم حتى تصبح المساحة الكلية لهذه الأجزاء، Gₙ _، أقل من E. الآن _{، يجب أن} تكون مساحة المضلع المرسوم داخل الدائرة، Pₙ = C - Gₙ _، أكبر من مساحة المثلث.   

${\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=CT\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>CE\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}}$

لكن هذا يُؤدي إلى تناقض، كما يلي: ارسم عمودًا من المركز إلى منتصف أحد أضلاع المضلع؛ طوله، h ، أقل من نصف قطر الدائرة. ولنفترض أيضًا أن طول كل ضلع من أضلاع المضلع هو s ؛ إذن مجموع الأضلاع هو ns ، وهو أقل من محيط الدائرة. تتكون مساحة المضلع من n مثلثًا متساويًا ارتفاع كل منها h وقاعدة s ، وبالتالي تساوي nhs /2. ولكن بما أن h < r و ns < c ، فإن مساحة المضلع يجب أن تكون أقل من مساحة المثلث، cr /2، وهذا تناقض. لذلك، فإن افتراضنا بأن C قد تكون أكبر من T خاطئ.    

ليس أقل من ذلك

لنفترض أن مساحة الدائرة أقل من مساحة المثلث T. ولنرمز إلى مقدار النقص بـ D. ارسم مربعًا بحيث تقع نقطة منتصف كل ضلع على الدائرة. إذا كانت المساحة الكلية للفرق بين المربع والدائرة، G₄ _، أكبر من D ، فاقطع الزوايا بمماسات الدائرة لتكوين مثمن محيط، واستمر في القطع حتى تصبح مساحة الفرق أقل من D. يجب أن تكون مساحة المضلع، Pₙ _، أقل من T.

${\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=TC\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}}$

وهذا أيضًا يُؤدي إلى تناقض. فالعمود المقام على منتصف كل ضلع من أضلاع المضلع هو نصف قطر طوله r . وبما أن مجموع أطوال الأضلاع أكبر من محيط المضلع، فإن المضلع يتكون من n مثلثًا متطابقًا، ومساحته الإجمالية أكبر من T. ومرة ​​أخرى، لدينا تناقض، لذا فإن افتراضنا بأن C قد تكون أقل من T خاطئ أيضًا.

لذلك، لا بد أن تكون المساحة المحصورة داخل الدائرة مساوية تماماً لمساحة المثلث. وبهذا يكتمل البرهان.

استنادًا إلى ساتو موشون ( سميث وميكامي ، 1914 ، ص 130-132) ، ونيكولاس الكوزاني ^{[ 4 ]} ، وليوناردو دافنشي ( بيكمان، 1976 ، ص 19) ، يمكننا استخدام المضلعات المنتظمة المرسومة داخل مضلع آخر بطريقة مختلفة. لنفترض أننا رسمنا مضلعًا سداسيًا داخل مضلع آخر . نقسم المضلع السداسي إلى ستة مثلثات بفصله من المركز. يتقاطع مثلثان متقابلان مع قطرين مشتركين؛ نحركهما على طول أحد القطرين بحيث تكون حوافهما الشعاعية متجاورة. يشكلان الآن متوازي أضلاع ، حيث تشكل أضلاع المضلع السداسي ضلعين متقابلين، أحدهما القاعدة ( s ). يشكل ضلعان شعاعيان ضلعين مائلين، والارتفاع ( h) يساوي طول العمود النازل من منتصف المضلع (كما في برهان أرخميدس). في الواقع، يمكننا أيضًا تجميع جميع المثلثات في متوازي أضلاع كبير واحد بوضع أزواج متتالية بجوار بعضها البعض. وينطبق الأمر نفسه إذا زدنا عدد أضلاعه إلى ثمانية وهكذا. بالنسبة لمضلع ذي 2n ضلعًا ، سيكون لمتوازي الأضلاع قاعدة طولها ns وارتفاعها h . ومع ازدياد عدد الأضلاع، يقترب طول قاعدة متوازي الأضلاع من نصف محيط الدائرة، ويقترب ارتفاعه من نصف قطر الدائرة. وفي النهاية، يتحول متوازي الأضلاع إلى مستطيل عرضه πr وارتفاعه r .  

مساحة القرص الواحد عن طريق إعادة ترتيب n من المضلعات.

مضلع			متوازي الأضلاع
ن	جانب		قاعدة	ارتفاع	منطقة
4	1.4142136		2.8284271	0.7071068	2.0000000
6	1.0000000		3.0000000	0.8660254	2.5980762
8	0.7653669		3.0614675	0.9238795	2.8284271
10	0.6180340		3.0901699	0.9510565	2.9389263
12	0.5176381		3.1058285	0.9659258	3.0000000
14	0.4450419		3.1152931	0.9749279	3.0371862
16	0.3901806		3.1214452	0.9807853	3.0614675
96	0.0654382		3.1410320	0.9994646	3.1393502
∞	1/∞		π	1	π

باستخدام حساب التفاضل والتكامل، يمكننا جمع المساحة تدريجيًا، بتقسيم القرص إلى حلقات متحدة المركز رقيقة كطبقات البصل . هذه هي طريقة التكامل السطحي في بعدين. بالنسبة لحلقة رقيقة للغاية من "البصلة" نصف قطرها t ، فإن المساحة المتراكمة هي 2πt dt ، حيث يمثل dt طول محيط الحلقة مضروبًا في عرضها المتناهي الصغر (يمكن تقريب هذه الحلقة بمستطيل عرضه 2πt وارتفاعه dt ) . وهذا يعطي تكاملًا أوليًا لقرص نصف قطره r .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=2\pi \left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

يُبرر ذلك بدقة باستخدام قاعدة التعويض متعدد المتغيرات في الإحداثيات القطبية. أي أن المساحة تُعطى بالتكامل الثنائي للدالة الثابتة 1 على القرص نفسه. إذا رمزنا للقرص بالرمز D ، فيمكن حساب التكامل الثنائي في الإحداثيات القطبية كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }t\ d\theta \ dt\\&{}=\int _{0}^{r}\left[t\theta \right]_{0}^{2\pi }dt\\&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\\end{aligned}}}$

وهي نفس النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه.

يُمكن استخدام صيغة المساحة المشتركة لتبرير دقيق ومكافئ، دون الاعتماد على الإحداثيات الخاصة بعلم المثلثات . عرّف دالة${\displaystyle \rho$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } بواسطة${\textstyle \rho (x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$لاحظ أن ρ دالة ليبشيتز، وتدرجها متجه وحدة .${\displaystyle |\nabla \rho |=1}$( في كل مكان تقريبًا ). ليكن D هو القرص${\displaystyle \rho <1}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$سنبين ذلك${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(D)=\pi }$، أين${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$هو مقياس ليبيغ ثنائي الأبعاد في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$سنفترض أن مقياس هاوسدورف أحادي البعد للدائرة${\displaystyle \rho =r}$يكون${\displaystyle 2\pi r}$محيط الدائرة التي نصف قطرها r . (يمكن اعتبار هذا تعريفًا للمحيط). ثم، باستخدام صيغة المساحة المشتركة،

$// _ {0}^{1}{\mathcal {H}}^{1}(\rho ^{-1}(r))\,dr\\&=\int _{0}^{1}2\pi r\,dr=\pi .\end{محاذاة}}}$

على غرار برهان البصل المذكور أعلاه، يمكننا استخدام حساب التفاضل والتكامل بطريقة مختلفة للوصول إلى صيغة مساحة القرص. لنفترض أننا نفكّ الدوائر المتداخلة إلى شرائح مستقيمة. سيتشكل بذلك مثلث قائم الزاوية ارتفاعه r وقاعدته 2πr ( وهي الشريحة الخارجية للبصلة).

إيجاد مساحة هذا المثلث سيعطي مساحة القرص

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{المساحة}}&{}={\frac {1}{2}}\cdot {\text{القاعدة}}\cdot {\text{الارتفاع}}\\[6pt]&{}={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\[6pt]&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

الزوايا المقابلة والمجاورة لهذا المثلث هي على التوالي بالدرجات 9.0430611...، 80.956939... وبالراديان 0.1578311... OEIS : A233527  ، 1.4129651... OEIS : A233528  .

بصورةٍ أدق، نتخيل تقسيم دائرة إلى مثلثات، ارتفاع كل منها يساوي نصف قطر الدائرة، وقاعدتها متناهية الصغر. مساحة كل مثلث من هذه المثلثات تساوي${\displaystyle 1/2\cdot r\cdot du}$بجمع (تكامل) جميع مساحات هذه المثلثات، نصل إلى صيغة مساحة الدائرة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,du\\[6pt]&{}=\left[{\frac {1}{2}}ru\right]_{0}^{2\pi r}\\[6pt]&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

ويمكن تبرير ذلك أيضًا من خلال التكامل المزدوج للدالة الثابتة 1 على القرص عن طريق عكس ترتيب التكامل واستخدام تغيير المتغيرات في التكامل المتكرر أعلاه:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _ {0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\ d\theta \\\end{محاذاة}}}$

إجراء الاستبدال${\displaystyle u=r\theta ,\ du=r\ d\theta }$يحوّل التكامل إلى

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}{\frac {r^{2}}{r}}du=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\ du}$

وهو نفس النتيجة المذكورة أعلاه.

يمكن إعادة صياغة برهان المثلث كتطبيق لنظرية غرين في شكل تباعد التدفق (أي نسخة ثنائية الأبعاد من نظرية التباعد )، بطريقة تتجنب ذكر حساب المثلثات والثابت π . لنفترض حقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} }$في المستوى. لذا فإن تباعد r يساوي اثنين ، وبالتالي فإن مساحة القرص D تساوي

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\iint _{D}\operatorname {div} \mathbf {r} \,dA.}$

بحسب نظرية غرين، فإن هذا هو نفسه التدفق الخارجي لـ r عبر الدائرة التي تحدد D :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} \,ds}$

حيث n هو متجه الوحدة العمودي و ds هو قياس طول القوس. بالنسبة لدائرة نصف قطرها R ومركزها نقطة الأصل، لدينا${\displaystyle |\mathbf {r} |=R}$و${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /R}$إذن، فإن المساواة المذكورة أعلاه هي

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{\partial D}\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathbf {r} }{R}}\,ds={\frac {R}{2}}\oint _{\partial D}\,ds.}$

تكامل ds على الدائرة بأكملها${\displaystyle \partial D}$يمثل طول القوس فقط، وهو محيط الدائرة، وهذا يدل على أن المساحة A المحصورة داخل الدائرة تساوي${\displaystyle R/2}$مضروبة في محيط الدائرة.

هناك برهان آخر يستخدم المثلثات، حيث تُعتبر المساحة المحصورة داخل دائرة مكونة من عدد لا نهائي من المثلثات (أي أن لكل مثلث زاوية مقدارها dθ في مركز الدائرة)، ومساحة كل مثلث تساوي ½ r² dθ ( مشتقة من صيغة مساحة ^المثلث : ½ a ^∘ b sin θ = ½ r ∘ sin ( dθ ) = ½ r² dθ ) . لاحظ أن sin ( dθ ) ≈ dθ بسبب تقريب الزوايا الصغيرة . وبجمع مساحات المثلثات ، يمكن إيجاد صيغة مساحة الدائرة .$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \\&{}=\left[{\frac {1}{2}}r^{2}\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أنه يمكن حساب مساحة نصف دائرة نصف قطرها r باستخدام التكامل${\textstyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$.

باستخدام التعويض المثلثي ، نستبدل${\displaystyle x=r\sin \theta }$، لذلك${\displaystyle dx=r\cos \theta \,d\theta .}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {r^{2}\left(1-\sin ^{2}\theta \right)}}\cdot r\cos \theta \,d\theta \\[5pt]&=2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[5pt]&={\frac {\pi r^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

وتأتي الخطوة الأخيرة نتيجةً للمتطابقة المثلثية${\displaystyle \cos(\theta )=\sin(\pi /2-\theta )}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$و${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$لها تكاملات متساوية على الفترة${\displaystyle [0,\pi /2]}$باستخدام التكامل بالتعويض . ولكن من ناحية أخرى، بما أن${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$مجموع التكاملين هو طول تلك الفترة، وهو${\displaystyle \pi /2}$وبالتالي، فإن تكامل${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$يساوي نصف طول تلك الفترة، وهو${\displaystyle \pi /4}$.

لذلك، فإن مساحة دائرة نصف قطرها r ، والتي تساوي ضعف مساحة نصف الدائرة، تساوي${\displaystyle 2\cdot {\frac {\pi r^{2}}{2}}=\pi r^{2}}$.

قد يبدو هذا البرهان تحديدًا وكأنه مصادرة على المطلوب، إذا ما اعتبرنا دالتي الجيب وجيب التمام المستخدمتين في التعويض المثلثي معرفتين بالنسبة للدوائر. مع ذلك، وكما ذُكر سابقًا، من الممكن تعريف الجيب وجيب التمام و π بطريقة مستقلة تمامًا عن حساب المثلثات، وفي هذه الحالة يكون البرهان صحيحًا باستخدام صيغة تغيير المتغيرات ونظرية فوبيني ، بافتراض الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام (والتي يمكن إثباتها أيضًا دون افتراض أي شيء عن علاقتها بالدوائر).

بفرض وجود دائرة، ولتكن u _{_n} محيط مضلع منتظم ذي n ضلعًا داخلها ، ولتكن U _{_n} محيط مضلع منتظم ذي n ضلعًا خارجها. عندئذٍ، يمثل u _{_n} و U _{_n} حدين أدنى وأعلى لمحيط الدائرة، ويزدادان دقةً مع ازدياد n ، ويُعدّ متوسطهما ( u _{_n} + U _{_n} )/2 تقريبًا جيدًا جدًا للمحيط. لحساب u _{_n} و U _{_n} لقيم n الكبيرة ، اشتق أرخميدس صيغ المضاعفة التالية:

${\displaystyle u_{2n}={\sqrt {U_{2n}u_{n}}}}$  ( المتوسط ​​الهندسي )، و

${\displaystyle U_{2n}={\frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}}$  ( المتوسط ​​التوافقي ).

انطلاقاً من شكل سداسي، ضاعف أرخميدس عدد n أربع مرات ليحصل على شكل 96 ضلعًا، مما أعطاه تقريبًا جيدًا لمحيط الدائرة.

باستخدام الترميز الحديث، يمكننا إعادة إنتاج حسابه (والتعمق فيه) كما يلي. بالنسبة لدائرة الوحدة، يكون للمضلع السداسي المحاط بها u₆ = ₆  ، وللمضلع السداسي المحيط بها U₆ = _4√3 . بمضاعفة الناتج سبع مرات نحصل على 

أرخميدس يضاعف سبع مرات؛ ن  =  6  ×  2 ^ك .

ك	ن	غير​	غير​	u n  + U n  / 4​​
0	6	6.0000000	6.9282032	3.2320508
1	12	6.2116571	6.4307806	3.1606094
2	24	6.2652572	6.3193199	3.1461443
3	48	6.2787004	6.2921724	3.1427182
4	96	6.2820639	6.2854292	3.1418733
5	192	6.2829049	6.2837461	3.1416628
6	384	6.2831152	6.2833255	3.1416102
7	768	6.2831678	6.2832204	3.1415970

(هنا ⁠ u _n + U _n / 2 ⁠ يقارب محيط دائرة الوحدة، وهو 2 π ، لذا فإن ⁠ u _n + U _n / 4 ⁠ يقارب π .)

يُظهر الجدول أن العدد ^355/113 هو أحد أفضل التقريبات النسبية للعدد _π ؛ أي أنه لا يوجد تقريب أفضل منه بين الأعداد النسبية التي لا تتجاوز مقاماتها 113. كما يُعدّ العدد _355/113 ^{تقريبًا} ممتازًا للعدد π ، وقد نُسب إلى عالم الرياضيات الصيني زو تشونغ تشي ، الذي أطلق عليه اسم ميلو . ^{[ 5 ]} هذا التقريب أفضل من أي عدد نسبي آخر مقامه أقل من 16604. ^{[ 6 ]}

اقترح سنيل (وأثبت هيغنز) حدًا أكثر صرامة من حد أرخميدس:

${\displaystyle n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{2+\cos {\frac {\pi }{n}}}}<\pi <n\left(2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}\right).}$

هذا بالنسبة لـ n = 48 يعطي تقريبًا أفضل (حوالي 3.14159292) من طريقة أرخميدس لـ n = 768.

لنفترض أن أحد أضلاع مضلع منتظم ذي n ضلعًا مرسومًا داخل الدائرة له طوله s n  ويمس الدائرة عند النقطتين A وB. ولتكن A ′ النقطة المقابلة لـ A على الدائرة، بحيث يكون A′A قطرًا، ويكون A′AB مثلثًا مرسومًا داخل الدائرة على القطر. وبحسب نظرية طاليس ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية وزاويته عند B قائمة. ولنفترض أن طول A′B هو c  n ، والذي نسميه متمم s n ؛ وبالتالي c n ² + s n ²  = ( 2r ) ² . ولنفترض أن C ينصف القوس الواصل بين A وB، ولتكن C ′ النقطة المقابلة لـ C على الدائرة. وبالتالي ، فإن طول CA هو s²n ، وطول C′A هو c²n ، و C′CA مثلث قائم الزاوية على القطر C′C . ولأن C ينصف القوس من A إلى B، فإن C′C ينصف عموديًا الوتر من A إلى B، ولنقل عند النقطة P. إذن، المثلث C′AP قائم الزاوية ، وهو مشابه للمثلث C′CA لأنهما يشتركان في الزاوية C ′ . وبالتالي ، فإن أطوال الأضلاع الثلاثة المتناظرة متناسبة؛ تحديدًا، لدينا C′A : C′C = C′P : C′A و AP : C′A = CA : C′C . مركز الدائرة O ينصف A′A ، لذا لدينا أيضًا المثلث OAP المشابه للمثلث A′AB ، حيث OP نصف طول A′B . من حيث أطوال الأضلاع، هذا يعطينا          

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}.\end{aligned}}}$

في المعادلة الأولى، C′P هي C′O + OP، والطول r  + ½ cn ، و C′C هو القطر، 2r . بالنسبة لدائرة الوحدة ، لدينا معادلة المضاعفة الشهيرة _{للودولف} فان كولين . 

${\displaystyle c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.}$

إذا رسمنا الآن محيطًا لمضلع منتظم ذي n ضلعًا، بحيث يكون الضلع A ″ B ″ موازيًا للضلع AB، فإن المثلثين OAB وOA ″ B ″ متشابهان ، حيث A ″ B ″  :  AB  = OC  :  OP. لنسمِّ الضلع المحيط Sn _؛ عندئذٍ يكون Sn  : _{sn =} 1 : ^½ cn _. (استخدمنا هنا أيضًا أن OP يساوي نصف طول A′B ₎ . وبالتالي نحصل على    

${\displaystyle c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.}$

لنفترض أن المحيط الداخلي هو u _{_n} = ns _{_n} ، والمحيط الخارجي هو U _{_n}  = nS_{_n} . بدمج المعادلتين، نحصل على:

${\displaystyle c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},}$

لهذا السبب.

${\displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}$

وهذا يعطي معادلة المتوسط ​​الهندسي .

ويمكننا أيضاً أن نستنتج

${\displaystyle 2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}},}$

أو

${\displaystyle {\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.}$

وهذا يعطي معادلة المتوسط ​​التوافقي .