الخاتم المطلوب

في الجبر المجرد ، الحلقة المرتبة هي حلقة (عادة تبديلية ) R ذات ترتيب كلي ≤ بحيث يكون لكل a و b و c في R : ^{[ 1 ]}

• إذا كان a ≤ b فإن a + c ≤ b + c .
• إذا كان 0 ≤ a و 0 ≤ b فإن 0 ≤ ab .

الحلقات المرتبة مألوفة في علم الحساب . ومن أمثلتها الأعداد الصحيحة ، والأعداد النسبية ، والأعداد الحقيقية . ^{[ 2 ]} (في الواقع، تشكل الأعداد النسبية والحقيقية حقولاً مرتبة ). أما الأعداد المركبة ، على النقيض من ذلك، فلا تشكل حلقة أو حقلاً مرتباً، لأنه لا توجد علاقة ترتيب جوهرية بين العنصرين 1 و i .

قياسًا على الأعداد الحقيقية، نسمي العنصر c من الحلقة المرتبة R موجبًا إذا كان 0 < c ، وسالبًا إذا كان c < 0. يعتبر 0 ليس موجبًا ولا سالبًا.

يُرمز عادةً إلى مجموعة العناصر الموجبة في حلقة مرتبة R بالرمز R ₊ . وهناك ترميز بديل، مفضل في بعض التخصصات، وهو استخدام R ₊ لمجموعة العناصر غير السالبة، و R ₊₊ لمجموعة العناصر الموجبة.

لو${\displaystyle a}$إذا كان عنصرًا من حلقة مرتبة R ، فإن القيمة المطلقة لـ${\displaystyle a}$، المشار إليه${\displaystyle |a|}$، ويتم تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}$

أين${\displaystyle -a}$هو المعكوس الجمعي لـ${\displaystyle a}$و 0 هو العنصر المحايد الجمعي .

الحلقة المرتبة المنفصلة أو الحلقة المرتبة المنفصلة هي حلقة مرتبة لا يوجد فيها عنصر بين 0 و 1. الأعداد الصحيحة هي حلقة مرتبة منفصلة، ​​لكن الأعداد النسبية ليست كذلك.

لكل a و b و c في R :

• إذا كان a ≤ b و 0 ≤ c ، فإن ac ≤ bc . ^{[ 3 ]} تُستخدم هذه الخاصية أحيانًا لتعريف الحلقات المرتبة بدلاً من الخاصية الثانية في التعريف أعلاه.
• | ab | = | a | | b |. ^{[ 4 ]}
• الحلقة المرتبة غير التافهة تكون لانهائية. ^{[ 5 ]}
• واحد فقط مما يلي صحيح: a موجب، − a موجب، أو a = 0. ^{[ 6 ]} هذه الخاصية تتبع من حقيقة أن الحلقات المرتبة هي مجموعات تبديلية مرتبة خطيًا بالنسبة للجمع .
• في الحلقة المرتبة، لا يوجد عنصر سالب مربع: ^{[ 7 ]} أولًا، الصفر غير سالب. الآن، إذا كان a ≠ 0 و a = b² ^، فإن b ≠ 0 و a = (−b ) ² ^؛ وبما أن b أو −b موجب ، فلا بد أن يكون a غير سالب.

• الحقل المرتب – كائن جبري ذو بنية مرتبة 
• مجموعة مرتبة – مجموعة ذات ترتيب جزئي متوافق. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فضاء متجهي طوبولوجي مرتب
• الفضاء المتجهي المرتب – الفضاء المتجهي ذو الترتيب الجزئي 
• خاتم مُرتب جزئيًا - خاتم ذو طلب جزئي متوافق 
• الفضاء المرتب جزئيًا – الفضاء الطوبولوجي المرتب جزئيًا 
• فضاء ريز – فضاء متجهي مرتب جزئيًا، مرتب على شكل شبكة ، ويسمى أيضًا شبكة متجهية 
• طلب حلقات نصفية

تتضمن القائمة أدناه مراجع لنظريات تم التحقق منها رسميًا بواسطة مشروع IsarMathLib .