خاتم تم طلبه جزئياً

في الجبر المجرد ، الحلقة المرتبة جزئيًا هي حلقة ( A , +, · )، بالإضافة إلى ترتيب جزئي متوافق ، أي ترتيب جزئي${\displaystyle \,\leq \,}$على المجموعة الأساسية A المتوافقة مع عمليات الحلقة بمعنى أنها تحقق ما يلي: $${\displaystyle x\leq y{\text{ يعني }}x+z\leq y+z}$$ و $${\displaystyle 0\leq x{\text{ و }}0\leq y{\text{ يستلزم أن }}0\leq x\cdot y}$$ للجميع${\displaystyle x,y,z\in A}$[ ^{1 ]} توجد امتدادات مختلفة لهذا التعريف تُقيّد الحلقة، أو الترتيب الجزئي، أو كليهما. على سبيل المثال، ^الحلقة المرتبة جزئيًا وفقًا لأرخميدس هي حلقة مرتبة جزئيًا${\displaystyle (A,\leq )}$أين${\displaystyle A}$^{[ 2 ]} المجموعة الجمعية المرتبة جزئياً هي مجموعة أرخميدية .

الحلقة المرتبة ، وتسمى أيضاً الحلقة المرتبة كلياً ، هي حلقة مرتبة جزئياً${\displaystyle (A,\leq )}$أين${\displaystyle \,\leq \,}$وهو أيضاً طلب كامل . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

الحلقة ذات الترتيب الشبكي ، أو الحلقة المرتبة شبكياً ، هي حلقة مرتبة جزئياً${\displaystyle (A,\leq )}$أين${\displaystyle \,\leq \,}$وهو أيضًا ترتيب شبكي .

إن المجموعة الإضافية لحلقة مرتبة جزئياً هي دائماً مجموعة مرتبة جزئياً .

مجموعة العناصر غير السالبة في حلقة مرتبة جزئياً (مجموعة العناصر)${\displaystyle x}$والتي${\displaystyle 0\leq x,}$(وتسمى أيضًا المخروط الموجب للحلقة) مغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب، أي إذا${\displaystyle P}$إذا كانت مجموعة العناصر غير السالبة في حلقة مرتبة جزئياً، فإن${\displaystyle P+P\subseteq P}$و${\displaystyle P\cdot P\subseteq P.}$بالإضافة إلى،${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$

رسم خريطة الترتيب الجزئي المتوافق على حلقة${\displaystyle A}$إن العلاقة بين مجموعة العناصر غير السالبة ومجموعة العناصر غير السالبة هي علاقة واحد لواحد ؛ ^{[ 1 ]} أي أن الترتيب الجزئي المتوافق يحدد بشكل فريد مجموعة العناصر غير السالبة، ومجموعة العناصر تحدد بشكل فريد الترتيب الجزئي المتوافق إذا كان موجودًا.

لو${\displaystyle S\subseteq A}$هي مجموعة جزئية من حلقة${\displaystyle A,}$و:

1. ${\displaystyle 0\in S}$
2. ${\displaystyle S\cap (-S)=\{0\}}$
3. ${\displaystyle S+S\subseteq S}$
4. ${\displaystyle S\cdot S\subseteq S}$

ثم العلاقة${\displaystyle \,\leq \,}$أين${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle yx\in S}$يُعرّف ترتيبًا جزئيًا متوافقًا على${\displaystyle A}$(إنه،${\displaystyle (A,\leq )}$(حلقة مرتبة جزئياً). ^{[ 2 ]}

في أي حلقة l، القيمة المطلقة${\displaystyle |x|}$عنصر${\displaystyle x}$يمكن تعريفها بأنها${\displaystyle x\vee (-x),}$أين${\displaystyle x\vee y}$يرمز إلى العنصر الأقصى . لأي${\displaystyle x}$و${\displaystyle y,}$$${\displaystyle |x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|}$$ يحمل. ^{[ 3 ]}

الحلقة f ، أو حلقة بيرس - بيركوف ، هي حلقة مرتبة شبكياً${\displaystyle (A,\leq )}$في أي${\displaystyle x\wedge y=0}$^{[ 4 ]} و${\displaystyle 0\leq z}$يعني ذلك${\displaystyle zx\wedge y=xz\wedge y=0}$للجميع${\displaystyle x,y,z\in A.}$طُرحت هذه المفاهيم لأول مرة من قِبل غاريت بيركوف وريتشارد إس. بيرس عام 1956، في ورقة بحثية بعنوان "الحلقات المرتبة شبكيًا" ^{[ 5 ]} ، في محاولة لتقييد فئة حلقات l بهدف استبعاد عدد من الأمثلة الشاذة. على سبيل المثال، برهن بيركوف وبيرس على وجود حلقة l تحتوي على 1، حيث لا يكون 1 موجبًا، على الرغم من كونه مربعًا. ^{[ 2 ]} وتستبعد الفرضية الإضافية المطلوبة لحلقات f هذا الاحتمال.

• المجموعة المرتبة خطيًا - المجموعة ذات الترتيب الكلي الثابت تحت الإزاحة 
• الحقل المرتب – كائن جبري ذو بنية مرتبة 
• مجموعة مرتبة – مجموعة ذات ترتيب جزئي متوافق. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فضاء متجهي طوبولوجي مرتب
• الفضاء المتجهي المرتب – الفضاء المتجهي ذو الترتيب الجزئي 
• الفضاء المرتب جزئيًا – الفضاء الطوبولوجي المرتب جزئيًا 
• فضاء ريز – فضاء متجهي مرتب جزئيًا، مرتب كشبكة 

• ليونارد جيلمان وماير جيريسون (1976) [1960] حلقات الدوال المتصلة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات # 43. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك-هايدلبرغ

• "الحلقة المرتبة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• حلقة مرتبة جزئياً في PlanetMath .