مجموعة مرتبة جزئياً

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، المجموعة المرتبة جزئيًا هي مجموعة ( G ، +) مزودة بترتيب جزئي "≤" ثابت تحت الإزاحة ؛ بعبارة أخرى، "≤" لها الخاصية التي تنص على أنه بالنسبة لجميع a و b و g في G ، إذا كان a ≤ b فإن a + g ≤ b + g و g + a ≤ g + b .

يُطلق على العنصر x من المجموعة G اسم العنصر الموجب إذا كان 0 ≤ x . ويُرمز عادةً لمجموعة العناصر التي يكون فيها 0 ≤ x بالرمز G + ، وتُسمى هذه المجموعة بالمخروط الموجب للمجموعة G.

بسبب ثبات الإزاحة، يكون لدينا a ≤ b إذا وفقط إذا كان 0 ≤ -a + b . لذا يمكننا اختزال الترتيب الجزئي إلى خاصية أحادية: a ≤ b إذا وفقط إذا كان -a + b ∈ G + .

بالنسبة للمجموعة العامة G ، فإن وجود مخروط موجب يحدد ترتيبًا على G. وتكون المجموعة G مجموعة قابلة للترتيب جزئيًا إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة جزئية H (وهي G + ) من G بحيث:

  • 0 ∈ H
  • إذا كان a ∈ H و b ∈ H فإن a + b ∈ H
  • إذا كان a ∈ H فإن -x + a + x ∈ H لكل x من G
  • إذا كان a ∈ H و -a ∈ H فإن a = 0

تُسمى المجموعة المرتبة جزئيًا G ذات المخروط الموجب G + غير مثقوبة إذا كان n · g ∈ G + ، حيث n عدد صحيح موجب، يستلزم g ∈ G + . وتعني كونها غير مثقوبة عدم وجود "فجوة" في المخروط الموجب G + .

إذا كان ترتيب المجموعة ترتيبًا خطيًا ، فإنها تُسمى مجموعة مرتبة خطيًا . أما إذا كان ترتيب المجموعة ترتيبًا شبكيًا ، أي أن أي عنصرين لهما حد أعلى أدنى، فإنها تُسمى مجموعة مرتبة شبكيًا (يُشار إليها اختصارًا بـ l-group ، على الرغم من أنها تُكتب عادةً بالرمز l : ℓ-group).

زمرة ريز هي زمرة غير مثقوبة مرتبة جزئيًا ، وتتمتع بخاصية أضعف قليلًا من كونها زمرة مرتبة شبكيًا. وتحديدًا، تحقق زمرة ريز خاصية استيفاء ريز : إذا كانت x₁ , x₂ , y₁ , y₂ عناصر من G و xᵢ ≤ yⱼ ، فإنه يوجد z ∈ G بحيث xᵢ ≤ z ≤ yⱼ .

إذا كانت G و H مجموعتين مرتبتين جزئيًا، فإن التطبيق من G إلى H يكون تشاكلًا بين المجموعات المرتبة جزئيًا إذا كان متجانسًا بين المجموعات ودالة رتيبة . تشكل المجموعات المرتبة جزئيًا، بالإضافة إلى مفهوم التشاكل هذا، فئةً .

تُستخدم المجموعات المرتبة جزئيًا في تعريف قيم الحقول .

أمثلة

  • الأعداد الصحيحة بترتيبها المعتاد
  • الفضاء المتجهي المرتب هو مجموعة مرتبة جزئياً
  • فضاء ريز هو مجموعة مرتبة شبكياً
  • المثال النموذجي لمجموعة مرتبة جزئيًا هو Z n ، حيث تكون عملية المجموعة هي الجمع المكوني ، ونكتب ( a 1 ,..., a n ) ≤ ( b 1 ,..., b n ) إذا وفقط إذا كان a i ≤ b i (بالترتيب المعتاد للأعداد الصحيحة) لجميع i = 1,..., n .
  • بشكلٍ أعم، إذا كانت G زمرةً مرتبةً جزئياً و X مجموعةً ما، فإن مجموعة جميع الدوال من X إلى G هي أيضاً زمرةٌ مرتبةٌ جزئياً: تُجرى جميع العمليات على مستوى كل عنصر. علاوةً على ذلك، فإن كل زمرةٍ جزئيةٍ من G هي زمرةٌ مرتبةٌ جزئياً: فهي ترث الترتيب من G.
  • إذا كانت A جبر C* ذو أبعاد محدودة تقريبًا ، أو بشكل أعم، إذا كانت A جبر C* أحادي مستقر ذو أبعاد محدودة، فإن K 0 ( A ) هي زمرة أبيلية مرتبة جزئيًا . (إليوت، 1976)

ملكيات

أرخميدس

يمكن تعميم خاصية أرخميدس للأعداد الحقيقية لتشمل المجموعات المرتبة جزئياً.

الخاصية: مجموعة مرتبة جزئياًجي{\displaystyle G}يُطلق عليه اسم أرخميدس عندما يكون لأيأ،ب∈جي{\displaystyle a,b\in G}، لوهـ≤أ≤ب{\displaystyle e\leq a\leq b}وأن≤ب{\displaystyle a^{n}\leq b} للجميعن≥1{\displaystyle n\geq 1}ثمأ=هـ{\displaystyle a=e}أو بعبارة أخرى، عندماأ≠هـ{\displaystyle a\neq e}ثم لأيب∈جي{\displaystyle b\in G}هناك بعضن∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }بحيثب<أن{\displaystyle b<a^{n}}.

مغلق بشكل متكامل

تُسمى المجموعة المرتبة جزئيًا G مغلقة بشكل متكامل إذا كان لكل عنصرين a و b من G ، إذا كان a n ≤ b لجميع n الطبيعية فإن a ≤ 1. [ 1 ]

تُعدّ هذه الخاصية أقوى نوعًا ما من كون المجموعة المرتبة جزئيًا أرخميدية ، مع أن كون المجموعة المرتبة شبكيًا مغلقة تكامليًا وأرخميدية أمر متكافئ. [ 2 ] توجد نظرية تنص على أن كل مجموعة موجهة مغلقة تكامليًا هي بالفعل مجموعة تبديلية . ويرتبط هذا بحقيقة أن المجموعة الموجهة قابلة للتضمين في مجموعة مرتبة شبكيًا كاملة إذا وفقط إذا كانت مغلقة تكامليًا. [ 1 ]

انظر أيضاً

ملحوظة

مراجع

  • M. Anderson and T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction , D. Reidel, 1988.
  • بيركوف، غاريت (1942). "المجموعات المرتبة شبكياً" . حوليات الرياضيات . 43 (2): 313. doi : 10.2307/1968871 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968871 .  
  • MR Darnel، نظرية المجموعات المرتبة بالشبكة ، محاضرات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 187، مارسيل ديكر، 1995.
  • L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems , Pergamon Press, 1963.
  • جلاس، أ.م.و. (1982). مجموعات التبديل المرتبة . doi : 10.1017/CBO9780511721243 . ISBN 9780521241908.
  • جلاس، أ.م.و. (1999). المجموعات المرتبة جزئيًا . وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 981449609X.
  • VM Kopytov و AI Kokorin (ترجمة D. Louvish)، المجموعات المرتبة بالكامل ، Halsted Press (John Wiley & Sons)، 1974.
  • VM Kopytov و N. Ya. Medvedev، مجموعات مرتبة من اليمين ، المدرسة السيبيرية للجبر والمنطق، مكتب الاستشارات، 1996.
  • كوبيتوف، ف.م.؛ ميدفيديف، ن. يا. (1994). نظرية المجموعات المرتبة شبكيًا . doi : 10.1007/978-94-015-8304-6 . ISBN 978-90-481-4474-7.
  • RB Mura و A. Rhemtulla، المجموعات القابلة للترتيب ، Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27، Marcel Dekker، 1977.
  • بليث، تي إس (2005). الشبكات والبنى الجبرية المرتبة . يونيفرسيتكست. doi : 10.1007/b139095 . ISBN 1-85233-905-5.، الفصل 9.
  • إليوت، جورج أ. (1976). "حول تصنيف النهايات الاستقرائية لمتتاليات الجبر شبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة". مجلة الجبر . 38 : 29-44 . doi : 10.1016/0021-8693(76)90242-8 .

للمزيد من القراءة

إيفريت، سي جيه؛ أولام، إس. (1945). "حول المجموعات المرتبة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 57 (2): 208-216 . doi : 10.2307/1990202 . JSTOR 1990202 .