فضاء المتجهات المرتب

في الرياضيات ، الفضاء المتجهي المرتب أو الفضاء المتجهي المرتب جزئياً هو فضاء متجهي حقيقي مزود بترتيب جزئي متوافق مع عمليات الفضاء المتجهي.

بالنظر إلى فضاء متجهي${\displaystyle X}$على الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$وإمكانية الطلب المسبق${\displaystyle \,\leq \,}$في موقع التصوير${\displaystyle X,}$الزوجان${\displaystyle (X,\leq )}$يُطلق عليه اسم فضاء متجهي مرتب مسبقًا ، ونقول إن الترتيب المسبق${\displaystyle \,\leq \,}$يتوافق مع بنية الفضاء المتجهي لـ${\displaystyle X}$واتصل${\displaystyle \,\leq \,}$ترتيب مسبق للمتجهات${\displaystyle X}$إن كان ذلك للجميع${\displaystyle x,y,z\in X}$و${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$مع${\displaystyle r\geq 0}$يتحقق البديهيتان التاليتان

1. ${\displaystyle x\leq y}$يشير إلى${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$يشير إلى${\displaystyle ry\leq rx.}$

لو${\displaystyle \,\leq \,}$هو ترتيب جزئي متوافق مع بنية الفضاء المتجهي لـ${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle (X,\leq )}$يُطلق عليه اسم فضاء متجهي مرتب و${\displaystyle \,\leq \,}$يُطلق عليه اسم الترتيب الجزئي المتجهي على${\displaystyle X.}$ تُشير البديهيتان إلى أن عمليات الإزاحة والتماثلات الموجبة هي تماثلات ذاتية لبنية الترتيب والتطبيق${\displaystyle x\mapsto -x}$هو تماثل مع بنية الترتيب الثنائي . فضاءات المتجهات المرتبة هي زمر مرتبة تحت عملية الجمع. لاحظ أن${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle -y\leq -x.}$

مجموعة فرعية${\displaystyle C}$فضاء متجهي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم مخروط إذا كان حقيقيًا تمامًا${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle rC\subseteq C}$يُطلق على المخروط اسم المخروط المدبب إذا كان يحتوي على نقطة الأصل. المخروط${\displaystyle C}$تكون محدبة إذا وفقط إذا${\displaystyle C+C\subseteq C.}$تقاطع أي مجموعة غير فارغة من المخاريط (أو المخاريط المحدبة) هو مخروط (أو مخروط محدب)؛ وينطبق الأمر نفسه على اتحاد مجموعة متزايدة (تحت احتواء المجموعة ) من المخاريط (أو المخاريط المحدبة) .${\displaystyle C}$في فضاء متجهي${\displaystyle X}$يقال إنه يولد إذا${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}

بالنظر إلى فضاء متجهي مرتب مسبقًا${\displaystyle X,}$المجموعة الفرعية${\displaystyle X^{+}}$من بين جميع العناصر${\displaystyle x}$في${\displaystyle (X,\leq )}$مُرضٍ${\displaystyle x\geq 0}$هو مخروط محدب مدبب (أي مخروط محدب يحتوي على${\displaystyle 0}$) يسمى المخروط الموجب لـ${\displaystyle X}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {PosCone} X.}$ تُسمى عناصر المخروط الموجب بالعناصر الموجبة .${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي عناصر فضاء متجهي مرتب مسبقًا${\displaystyle (X,\leq ),}$ثم${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle yx\in X^{+}.}$يتولد المخروط الموجب إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة موجهة تحت${\displaystyle \,\leq .}$ بفرض أي مخروط محدب مدبب${\displaystyle C}$يمكن تعريف الطلب المسبق${\displaystyle \,\leq \,}$على${\displaystyle X}$وهو ما يتوافق مع بنية الفضاء المتجهي لـ${\displaystyle X}$عن طريق الإعلان للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$الذي - التي${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle yx\in C;}$ المخروط الموجب لفضاء المتجهات المرتب مسبقًا الناتج هو${\displaystyle C.}$ وبالتالي، توجد علاقة تناظرية بين المخاريط المحدبة المدببة والترتيبات الجزئية للمتجهات على${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} إذا${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة مرتبة مسبقًا، فيمكننا تكوين علاقة تكافؤ على${\displaystyle X}$من خلال التعريف${\displaystyle x}$يعادل${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\leq y}$و${\displaystyle y\leq x;}$ لو${\displaystyle N}$هل فئة التكافؤ التي تحتوي على الأصل؟${\displaystyle N}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$و${\displaystyle X/N}$هو فضاء متجهي مرتب وفقًا للعلاقة التالية:${\displaystyle A\leq B}$إذا وفقط إذا كان هناك وجود${\displaystyle a\in A}$و${\displaystyle b\in B}$بحيث${\displaystyle a\leq b.}$^{[ 1 ]}

مجموعة فرعية من${\displaystyle C}$فضاء متجهي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم المخروط الصحيح إذا كان مخروطًا محدبًا يحقق الشروط التالية:${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ بشكل صريح،${\displaystyle C}$يكون مخروطًا صحيحًا إذا (1)${\displaystyle C+C\subseteq C,}$(2)${\displaystyle rC\subseteq C}$للجميع${\displaystyle r>0,}$و(3)${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$^{[ 2 ]} تقاطع أي مجموعة غير فارغة من المخاريط الحقيقية هو مخروط حقيقي أيضًا. كل مخروط حقيقي${\displaystyle C}$في فضاء متجهي حقيقي، يُنشئ ترتيبًا على الفضاء المتجهي عن طريق تعريف${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle yx\in C,}$وعلاوة على ذلك، سيكون المخروط الموجب لهذا الفضاء المتجهي المرتب هو${\displaystyle C.}$لذلك، توجد علاقة تناظرية بين المخاريط المحدبة المناسبة لـ${\displaystyle X}$والترتيبات الجزئية للمتجهات على${\displaystyle X.}$

عن طريق ترتيب المتجهات الكلي على${\displaystyle X}$نعني طلبًا كاملاً على${\displaystyle X}$وهو ما يتوافق مع بنية الفضاء المتجهي لـ${\displaystyle X.}$ عائلة الترتيبات المتجهة الكلية على فضاء متجهي${\displaystyle X}$يوجد تناظر أحادي مع عائلة جميع المخاريط الصحيحة التي تكون قصوى تحت احتواء المجموعة. ^{[ 1 ]} لا يمكن أن يكون ترتيب المتجهات الكلي أرخميديًا إذا كان بُعده ، عند اعتباره فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية، أكبر من 1. ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$هما ترتيبان لفضاء متجهي ذي مخاريط موجبة${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q,}$على التوالي، ثم نقول أن${\displaystyle R}$أدق من​${\displaystyle S}$لو${\displaystyle P\subseteq Q.}$^{[ 2 ]}

تُعرَّف فترة الترتيب في فضاء متجهي مرتب مسبقًا بأنها مجموعة من الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$ يستنتج من البديهيتين 1 و2 أعلاه ما يلي:${\displaystyle x,y\in [a,b]}$و${\displaystyle 0<t<1}$يشير إلى${\displaystyle tx+(1-t)y}$ينتمي إلى${\displaystyle [a,b];}$ وبالتالي، فإن فترات الترتيب هذه محدبة. يُقال إن مجموعة جزئية محدودة الترتيب إذا كانت محتواة في فترة ترتيب معينة. ^{[ 2 ]} في فضاء متجهي حقيقي مرتب مسبقًا، إذا كان لـ${\displaystyle x\geq 0}$ثم الفترة من الشكل${\displaystyle [-x,x]}$ متوازن . ^{[ 2 ]} وحدة الترتيب في فضاء متجهي مرتب مسبقًا هي أي عنصر${\displaystyle x}$بحيث تكون المجموعة${\displaystyle [-x,x]}$^{[ 2 ]} إنه يمتص .

مجموعة جميع الدوال الخطية على فضاء متجهي مرتب مسبقًا${\displaystyle X}$يُطلق على الدالة التي تُسقط كل فاصل ترتيبي على مجموعة محدودة اسم الدالة الثنائية ذات الحدود الترتيبية لـ${\displaystyle X}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$^{[ 2 ]} إذا كان الفضاء مرتبًا فإن الفضاء المزدوج ذو الحد الترتيبي هو فضاء متجهي فرعي منالفضاء المزدوج الجبري.

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء متجهي مرتب${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة كاملة الترتيب إذا كان لكل مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle B\subseteq A}$بحيث${\displaystyle B}$هل الترتيب محدود في${\displaystyle A,}$كلاهما${\displaystyle \sup B}$و${\displaystyle \inf B}$موجودة وهي عناصر من${\displaystyle A.}$نقول إن الفضاء المتجهي المرتب${\displaystyle X}$هل اكتمل الطلب ؟${\displaystyle X}$هي مجموعة جزئية كاملة الترتيب من${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء متجهيًا مرتبًا مسبقًا، فإنه لكل${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$و${\displaystyle y\geq 0}$يعني${\displaystyle x+y\geq 0.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle -y\leq -x.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$و${\displaystyle r<0}$يعني${\displaystyle rx\geq ry.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$يوجد إذا وفقط إذا${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$موجود، وفي هذه الحالة${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$يوجد إذا وفقط إذا${\displaystyle \inf\{x,y\}}$موجود، وفي هذه الحالة يكون للجميع${\displaystyle z\in X,}$^{[ 4 ]}
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$و
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$تكون الشبكة متجهة إذا وفقط إذا${\displaystyle \sup\{0,x\}}$موجود للجميع${\displaystyle x\in X.}$^{[ 4 ]}

مخروط${\displaystyle C}$يقال إنه يولد إذا${\displaystyle C-C}$يساوي فضاء المتجهات بأكمله. ^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle W}$هما فضاءان متجهيان مرتبان غير تافهين بمخاريط موجبة خاصة بهما${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q,}$ثم${\displaystyle P}$يتم توليدها في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كانت المجموعة${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$مخروط مناسب في${\displaystyle L(X;W),}$وهو فضاء جميع التحويلات الخطية من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle W.}$ في هذه الحالة، الترتيب المحدد بواسطة${\displaystyle C}$يُطلق عليه الترتيب المتعارف عليه لـ${\displaystyle L(X;W).}$^{[ 2 ]} بشكل عام، إذا${\displaystyle M}$أي فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle L(X;W)}$بحيث${\displaystyle C\cap M}$هو مخروط مناسب، والترتيب المحدد بواسطة${\displaystyle C\cap M}$يُطلق عليه الترتيب المتعارف عليه لـ${\displaystyle M.}$^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متجهيًا مرتبًا. نقول إن الفضاء المتجهي المرتب${\displaystyle X}$هل هو ترتيب أرخميدس، وأن ترتيب${\displaystyle X}$يكون أرخميدس إذا كان كلما${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$يتم هيمنة (أي يوجد بعض${\displaystyle y\in X}$بحيث${\displaystyle nx\leq y}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) ثم${\displaystyle x\leq 0.}$^{[ 2 ]} الفضاءالمتجهي الطوبولوجي(TVS) الذي هو فضاء متجهي مرتب يكون بالضرورة أرخميديًا إذا كان مخروطه الموجب مغلقًا. ^{[ 2 ]}

نقول إن فضاء متجهي مرتب مسبقًا${\displaystyle X}$يتم ترتيبها بانتظام ، ويكون ترتيبها منتظماً إذا كان ترتيبها أرخميدس .${\displaystyle X^{+}}$يميز النقاط في${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} تضمن هذه الخاصية وجود عدد كافٍ من الأشكال الخطية الموجبة التي تسمح باستخدام أدوات الازدواجية بنجاح لدراسة فضاءات المتجهات المرتبة. ^{[ 2 ]}

يُطلق على الفضاء المتجهي المرتب اسم شبكة متجهية إذا كان لكل عنصر${\displaystyle x}$و${\displaystyle y,}$الأعلى​${\displaystyle \sup(x,y)}$والأدنى​${\displaystyle \inf(x,y)}$موجود. ^{[ 2 ]}

طوال فترة الإيجار${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي مرتب مسبقًا ذو مخروط موجب${\displaystyle C.}$

الفضاءات الفرعية

لو${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$ثم الترتيب المتعارف عليه${\displaystyle M}$ناتج عن${\displaystyle X}$المخروط الموجب${\displaystyle C}$هو الترتيب الجزئي الناتج عن المخروط المحدب المدبب${\displaystyle C\cap M,}$حيث يكون هذا المخروط مناسبًا إذا${\displaystyle C}$مناسب. ^{[ 2 ]}

فضاء القسمة

يترك${\displaystyle M}$ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من فضاء متجهي مرتب${\displaystyle X,}$${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ليكن الإسقاط المتعارف عليه، وليكن${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ثم${\displaystyle {\hat {C}}}$هو مخروط في${\displaystyle X/M}$وهذا يُحدث ترتيبًا مسبقًا معياريًا على فضاء القسمة${\displaystyle X/M.}$ لو${\displaystyle {\hat {C}}}$مخروط مناسب في${\displaystyle X/M}$ثم${\displaystyle {\hat {C}}}$اصنع${\displaystyle X/M}$إلى فضاء متجهي مرتب. ^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle M}$يكون${\displaystyle C}$-مشبعة ثم${\displaystyle {\hat {C}}}$يحدد الترتيب القانوني لـ${\displaystyle X/M.}$^{[ 1 ]} لاحظ أن${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$يقدم مثالاً على فضاء متجهي مرتب حيث${\displaystyle \pi (C)}$ليس مخروطًا مناسبًا.

لو${\displaystyle X}$وهو أيضًا فضاء متجهي طوبولوجي (TVS)، وإذا كان لكل جوار${\displaystyle V}$من أصل في${\displaystyle X}$يوجد حي${\displaystyle U}$من الأصل بحيث${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$ثم${\displaystyle {\hat {C}}}$^{[ 1 ]} هو مخروط طبيعي لطوبولوجيا القسمة .

لو${\displaystyle X}$هي شبكة متجهة طوبولوجية و${\displaystyle M}$هي شبكة فرعية صلبة مغلقة من${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle X/L}$وهي أيضًا شبكة متجهة طوبولوجية. ^{[ 1 ]}

منتج

لو${\displaystyle S}$أي مجموعة ثم الفضاء${\displaystyle X^{S}}$من جميع الوظائف من${\displaystyle S}$داخل${\displaystyle X}$يتم ترتيبها بشكل قانوني بواسطة المخروط المناسب${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$^{[ 2 ]}

لنفترض أن${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$هي عائلة من فضاءات المتجهات المرتبة مسبقًا، وأن المخروط الموجب لـ${\displaystyle X_{\alpha }}$يكون${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ثم${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$هو مخروط محدب مدبب في${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$والذي يحدد ترتيبًا أساسيًا على${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$${\displaystyle C}$هل هو مخروط مناسب إذا كان الأمر كذلك؟${\displaystyle C_{\alpha }}$هي مخاريط مناسبة. ^{[ 2 ]}

المجموع المباشر الجبري

المجموع المباشر الجبري${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ل${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$هو فضاء متجهي جزئي من${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$وذلك بالنظر إلى ترتيب الفضاء الجزئي المتعارف عليه الموروث من${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$هي فضاءات متجهة مرتبة جزئية من فضاء متجهي مرتب${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle X}$هو المجموع المباشر المرتب لهذه الفضاءات الجزئية إذا كان التشاكل الجبري المتعارف عليه لـ${\displaystyle X}$على${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$(مع ترتيب المنتج المتعارف عليه) هو تماثل ترتيبي . ^{[ 2 ]}

• تشكل الأعداد الحقيقية بالترتيب المعتاد فضاءً متجهيًا مرتبًا كليًا. لكل الأعداد الصحيحة${\displaystyle n\geq 0,}$الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا اعتبرنا فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية بترتيب معجمي، فإنه يشكل فضاءً متجهيًا مرتبًا مسبقًا يكون ترتيبه أرخميديًا إذا وفقط إذا${\displaystyle n=1}$[ ^{4 ]​}
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$هو فضاء متجهي مرتب مع${\displaystyle \,\leq \,}$العلاقة المعرفة بأي من الطرق التالية (بترتيب تصاعدي للقوة، أي مجموعات متناقصة من الأزواج):
  • الترتيب المعجمي :${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a<c}$أو${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$هذا ترتيب كلي . يُعطى المخروط الموجب بواسطة${\displaystyle x>0}$أو${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$أي، في الإحداثيات القطبية ، مجموعة النقاط ذات الإحداثي الزاوي الذي يحقق${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$بالإضافة إلى الأصل.
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a\leq c}$و${\displaystyle b\leq d}$( طلب منتج من نسختين من${\displaystyle \mathbb {R} }$مع${\displaystyle \leq }$هذا ترتيب جزئي. يُعطى المخروط الموجب بالعلاقة التالية:${\displaystyle x\geq 0}$و${\displaystyle y\geq 0,}$أي، في الإحداثيات القطبية${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$بالإضافة إلى الأصل.
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$أو${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$( الإغلاق الانعكاسي للناتج المباشر لنسختين من${\displaystyle \mathbb {R} }$باستخدام "<"). هذا أيضًا ترتيب جزئي. يُعطى المخروط الموجب بواسطة${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$أو${\displaystyle x=y=0),}$أي، في الإحداثيات القطبية،${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$بالإضافة إلى الأصل.

الرتبة الثانية فقط هي، كمجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$مغلق؛ انظر الترتيبات الجزئية في الفضاءات الطوبولوجية .

بالنسبة للرتبة الثالثة، فإن " الفترات " ثنائية الأبعاد${\displaystyle p<x<q}$هي مجموعات مفتوحة تولد الطوبولوجيا.

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو فضاء متجهي مرتب مع${\displaystyle \,\leq \,}$يتم تعريف العلاقة بشكل مماثل. على سبيل المثال، بالنسبة للترتيب الثاني المذكور أعلاه:
  • ${\displaystyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ل${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• فضاء ريز هو فضاء متجهي مرتب حيث يؤدي الترتيب إلى ظهور شبكة .
• فضاء الدوال المتصلة على${\displaystyle [0,1]}$أين${\displaystyle f\leq g}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle [0,1].}$
• يترك${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$يشير إلى التناظر${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات الحقيقية. ترتيب لوفنر${\displaystyle \preccurlyeq }$على مصفوفتين متناظرتين${\displaystyle A,B\in {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle A\preccurlyeq B\Leftrightarrow B-A}$هي مصفوفة شبه موجبة . ومخروطها الموجب، بحسب التعريف، هو مجموعة جميع المصفوفات الموجبة المحددة. علاوة على ذلك، تُثبت نظرية الطيف المطبقة على المصفوفات المتناظرة أن هذا المخروط مولد.

• طوبولوجيا الترتيب (التحليل الوظيفي) - طوبولوجيا فضاء متجهي مرتب 
• الحقل المرتب – كائن جبري ذو بنية مرتبة 
• مجموعة مرتبة – مجموعة ذات ترتيب جزئي متوافق. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الخاتم المطلوب
• فضاء متجهي طوبولوجي مرتب
• الفضاء المرتب جزئيًا – الفضاء الطوبولوجي المرتب جزئيًا 
• ترتيب المنتج – البناء في نظرية الترتيب 
• فضاء ريز – فضاء متجهي مرتب جزئيًا، مرتب كشبكة 
• شبكة المتجهات الطوبولوجية
• شبكة المتجهات – فضاء متجهات مرتب جزئيًا، مرتب كشبكة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• أليبرانتيس، شارالامبوس د ؛ بيركينشو، أوين (2003). فضاءات ريز الصلبة محليًا مع تطبيقات في الاقتصاد (الطبعة الثانية  ). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-3408-8.
• بورباكي، نيكولاس ؛ عناصر الرياضيات: فضاءات المتجهات الطوبولوجية ؛ رقم ISBN 0-387-13627-4.
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• وونغ (1979). فضاءات شوارتز، والفضاءات النووية، وحاصل الضرب الموتري . برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .