نظرية مركز الثقل لبابوس

منحنى معطى بالدالة الموجبة${\displaystyle f(x)}$محصورة بين نقطتين معطيتين كما يلي:

${\displaystyle a\geq 0}$و${\displaystyle b\geq a}$

لو${\displaystyle dL}$إذا كان عنصر خط متناهي الصغر مماساً للمنحنى، فإن طول المنحنى يُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}dL=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

ال${\displaystyle y}$أحد مكونات مركز ثقل هذا المنحنى هو:

$${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y\,dL={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

مساحة السطح الناتج عن دوران المنحنى حول المحور السيني تُعطى بالمعادلة التالية:

$${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}y\,dL=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

باستخدام المعادلتين الأخيرتين للتخلص من التكامل، نحصل على:

$${\displaystyle A=2\pi {\bar {y}}L}$$

المنطقة المحصورة بين الدالتين:

$${\displaystyle y=f(x),\,\qquad y\geq 0}$$

$${\displaystyle y=g(x),\,\qquad f(x)\geq g(x)}$$

ومحدودة بالخطين:

${\displaystyle x=a\geq 0}$و${\displaystyle x=b\geq a}$

يُعطى بواسطة:

$${\displaystyle A=\int _{a}^{b}dA=\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx}$$

ال${\displaystyle x}$يُعطى مُركّب مركز هذه المنطقة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{A}}\,\int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

إذا تم تدوير هذه المنطقة حول المحور y، يمكن حساب الحجم الناتج باستخدام طريقة الأسطوانات. ويُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

باستخدام المعادلتين الأخيرتين للتخلص من التكامل، نحصل على:

$${\displaystyle V=2\pi {\bar {x}}A}$$

يترك${\displaystyle A}$أن تكون منطقة${\displaystyle F}$،${\displaystyle W}$صلب ثورة${\displaystyle F}$، و${\displaystyle V}$حجم${\displaystyle W}$. يفترض${\displaystyle F}$يبدأ في${\displaystyle xz}$-مستوى ويدور حول${\displaystyle z}$المحور السيني. المسافة إلى مركز ثقل${\displaystyle F}$من${\displaystyle z}$المحور السيني هو محوره${\displaystyle x}$-تنسيق $${\displaystyle R={\frac {\int _{F}x\,dA}{A}},}$$ وتنص النظرية على أن $${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \int _{F}x\,dA.}$$

ولإثبات ذلك، دع${\displaystyle F}$أن تكون في المستوى xz ، المحدد بواسطة${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$ل ${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$، منطقة المعلمات. بما أن${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$هي في الأساس عملية رسم خرائط من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، منطقة${\displaystyle F}$يتم الحصول عليها من خلال صيغة تغيير المتغيرات : $${\displaystyle A=\int _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,}$$ أين${\displaystyle \left|{\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|}$هو محدد مصفوفة جاكوبي لتغيير المتغيرات.

الصلب${\displaystyle W}$له معلمات حلقية${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))}$ل${\displaystyle (u,v,\theta )}$في منطقة المعلمات${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]}$وحجمه هو $${\displaystyle V=\int _{W}dV=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .}$$

توسع، $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|&=\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \\[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left|-{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|=x\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{aligned}}}$$

تتحقق المساواة الأخيرة لأن محور الدوران يجب أن يكون خارجيًا لـ${\displaystyle F}$، معنى${\displaystyle x\geq 0}$. الآن، $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[1ex]&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\\[1ex]&=2\pi \int _{F}x\,dA\end{aligned}}}$$ عن طريق تغيير المتغيرات.