هوية بارسيفال

في التحليل الرياضي ، تُعدّ متطابقة بارسيفال ، نسبةً إلى مارك أنطوان بارسيفال ، نتيجةً أساسيةً حول قابلية جمع متسلسلة فورييه لدالة ما. تُؤكد هذه المتطابقة تساوي طاقة الإشارة الدورية (المُعطاة كتكامل مربع سعة الإشارة) وطاقة تمثيلها في مجال التردد (المُعطاة كمجموع مربعات السعات). هندسيًا، تُعتبر هذه المتطابقة تعميمًا لنظرية فيثاغورس للفضاءات ذات الجداء الداخلي (التي قد تحتوي على عدد لا نهائي غير قابل للعد من متجهات الأساس).

تؤكد هذه المتطابقة أن مجموع مربعات معاملات فورييه لدالة ما يساوي تكامل مربع تلك الدالة. $${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2},}$$ حيث معاملات فورييه${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ل${\displaystyle f}$يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.}$$

تبقى النتيجة كما هي، شريطة${\displaystyle f}$هي دالة قابلة للتكامل التربيعي، أو بشكل أعم، في فضاء L ^p${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi .}$تُعدّ نظرية بلانشيريل نتيجةً مماثلة ، إذ تنصّ على أن تكامل مربع تحويل فورييه لدالة ما يساوي تكامل مربع الدالة نفسها. في بُعد واحد، بالنسبة لـ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ),}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$$

ترتبط هذه المتطابقة بنظرية فيثاغورس في السياق الأكثر عمومية لفضاء هيلبرت القابل للفصل كما يلي. لنفترض أن${\displaystyle H}$هو فضاء هيلبرت مع حاصل ضرب داخلي${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle .}$ يترك${\displaystyle \left(e_{n}\right)}$أن تكون أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle H}$أي، الامتداد الخطي لـ${\displaystyle e_{n}}$كثيف في​${\displaystyle H,}$و${\displaystyle e_{n}}$متعامدتان متبادلتان:

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}~m=n\\0&{\mbox{if}}~m\neq n.\end{cases}}}$

ثم تؤكد هوية بارسيفال أنه لكل${\displaystyle x\in H,}$$${\displaystyle \sum _{n}\left|\left\langle x,e_{n}\right\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}.}$$

هذا يُشابه تمامًا نظرية فيثاغورس في الهندسة الإقليدية ، التي تنص على أن مجموع مربعات مركبات متجه في أساس متعامد يساوي مربع طول المتجه. ويمكن استعادة صيغة متسلسلة فورييه لهوية بارسيفال عن طريق وضع${\displaystyle H}$كن مساحة هيلبرت${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ],}$والضبط${\displaystyle e_{n}=e^{inx}}$ل${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

بشكل أعم، تنطبق متطابقة بارسيفال على فضاءات هيلبرت العشوائية ، وليس بالضرورة القابلة للفصل. عندما يكون فضاء هيلبرت غير قابل للفصل، فإن أي أساس متعامد معياري يكون غير قابل للعد، ونحتاج إلى تعميم مفهوم المتسلسلة إلى مجموع غير مشروط كما يلي: ليكن${\displaystyle \{e_{r}\}_{r\in \Gamma }}$أساس متعامد لفضاء هيلبرت (حيث${\displaystyle \Gamma }$إذا كان لها عدد عناصر عشوائي)، فإننا نقول إن${\textstyle \sum _{r\in \Gamma}a_{r}e_{r}}$يتقارب بشكل غير مشروط إذا كان لكل${\displaystyle \epsilon >0}$توجد مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle A\subset \Gamma }$بحيث $$\displaystyle \left\|\sum _{r\in B}a_{r}e_{r}-\sum _{r\in C}a_{r}e_{r}\right\|<\epsilon }$$ لأي زوج من المجموعات الجزئية المنتهية${\displaystyle B,C\subset \Gamma }$الذي يحتوي${\displaystyle A}$(أي بحيث${\displaystyle A\subset B\cap C}$لاحظ أنه في هذه الحالة نستخدم شبكة لتحديد المجموع غير المشروط.

• نظرية بارسيفال – نظرية في الرياضيات 
• متباينة بيسل – نظرية حول المتتابعات المتعامدة 

• "مساواة بارسيفال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• جونسون، لي دبليو؛ ريس، آر. دين (1982)، التحليل العددي (  الطبعة الثانية)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، ISBN 0-201-10392-3.
• تيتشمارش، إي (1939)، نظرية الدوال (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة أكسفورد.
• زيغموند، أنطوني (1968)، المتسلسلات المثلثية (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج (نُشرت عام 1988)، رقم ISBN 978-0-521-35885-9.