نظرية بلانشيريل

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعد نظرية بلانشيريل (التي تسمى أحيانًا متطابقة بارسيفال-بلانشيريل ) نتيجة في التحليل التوافقي ، وقد أثبتها ميشيل بلانشيريل في عام 1910. وهي تعميم لنظرية بارسيفال ؛ وغالبًا ما تستخدم في مجالات العلوم والهندسة، لإثبات وحدة تحويل فورييه .

تنص النظرية على أن تكامل مربع القيمة المطلقة لدالة ما يساوي تكامل مربع القيمة المطلقة لطيف ترددها . أي، إذاو(x){\displaystyle f(x)}هي دالة على خط الأعداد الحقيقية، وو^(ξ){\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}إذن، هو طيف تردده

∫-∞∞|و(x)|2دx=∫-∞∞|و^(ξ)|2دξ{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }

التعريف الرسمي

تحويل فورييه لدالة L1​​و{\displaystyle f}على الخط الحقيقيR{\displaystyle \mathbb {R} }يُعرَّف بأنه تكامل ليبيغو^(ξ)=∫Rو(x)هـ-2πأناxξدx.{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx.} لوو{\displaystyle f}ينتمي إلى كليهمال1{\displaystyle L^{1}}ول2{\displaystyle L^{2}}ثم تنص نظرية بلانشيريل على أنو^{\displaystyle {\hat {f}}}ينتمي أيضًا إلىل2{\displaystyle L^{2}}، وتحويل فورييه هو تحويل متساوي القياس بالنسبة لمعيار L2 ، أي أن ∫-∞∞|و(x)|2دx=∫-∞∞|و^(ξ)|2دξ{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }

وهذا يعني أن تحويل فورييه المقيد بـل1(R)∩ل2(R){\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )} له امتداد فريد للخريطة الخطية متساوية القياسل2(R)↦ل2(R){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}يُطلق عليها أحيانًا اسم تحويل بلانشيريل. هذا التحويل المتساوي القياس هو في الواقع تحويل وحدوي . في الواقع، هذا يجعل من الممكن الحديث عن تحويلات فورييه لدوال L2 .

يتوفر برهان النظرية في كتاب رودين (1987، الفصل 9) . وتتلخص الفكرة الأساسية في إثباتها لتوزيعات غاوسية ، ثم استخدام الكثافة. لكن التوزيع الغاوسي القياسي يتحول إلى نفسه تحت تحويل فورييه، وبالتالي تصبح النظرية بديهية في هذه الحالة. وأخيرًا، فإن خصائص التحويل القياسي لتحويل فورييه تستلزم تطبيق بلانشيريل على جميع التوزيعات الغاوسية.

تظل نظرية بلانشيريل سارية كما هي في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد nRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}تنطبق هذه النظرية أيضاً بشكل أعم على الزمر الأبيلية المدمجة محلياً . وهناك أيضاً صيغة من نظرية بلانشيريل تنطبق على الزمر المدمجة محلياً غير التبادلية التي تحقق شروطاً تقنية معينة. وهذا هو موضوع التحليل التوافقي غير التبادلي .

بسبب خاصية الاستقطاب ، يمكن أيضًا تطبيق نظرية بلانشيريل علىل2(R){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}الضرب الداخلي لدالتين. أي إذاو(x){\displaystyle f(x)}وز(x){\displaystyle g(x)}اثنانل2(R){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}الوظائف، وP{\displaystyle {\mathcal {P}}}يشير إلى تحويل بلانشيريل، إذن ∫-∞∞و(x)ز(x)¯دx=∫-∞∞(Pو)(ξ)(Pز)(ξ)¯دξ،{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,} وإذاو(x){\displaystyle f(x)}وز(x){\displaystyle g(x)}علاوة على ذلكل1(R){\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}ثم الدوال (Pو)(ξ)=و^(ξ)=∫-∞∞و(x)هـ-2πأناξxدx،{\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,} و (Pز)(ξ)=ز^(ξ)=∫-∞∞ز(x)هـ-2πأناξxدx،{\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,} لذا

∫-∞∞و(x)ز(x)¯دx=∫-∞∞و^(ξ)ز^(ξ)¯دξ.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}

مجموعات محلية متماسكة

توجد أيضًا نظرية بلانشيريل لتحويل فورييه في الزمر المدمجة محليًا . في حالة الزمرة الأبيليةجي{\displaystyle G}، هناك مجموعة ثنائية بونترياجينجي^{\displaystyle {\widehat {G}}}من الشخصيات علىجي{\displaystyle G}. بالنظر إلى مقياس هار علىجي{\displaystyle G}، التحويل الفورييه لدالة فيل1(جي){\displaystyle L^{1}(G)}يكون و^(χ)=∫جيχ(ز)¯و(ز)دز{\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}{\overline {\chi (g)}}f(g)\,dg} لχ{\displaystyle \chi }شخصية فيجي{\displaystyle G}.

تنص نظرية بلانشيريل على وجود مقياس هار علىجي^{\displaystyle {\widehat {G}}}، المقياس المزدوج بحيث ‖و‖جي2=‖و^‖جي^2{\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}} للجميعو∈ل1∩ل2{\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}(ويوجد تحويل فورييه أيضًا فيل2{\displaystyle L^{2}}).

تنطبق النظرية أيضًا في العديد من المجموعات المدمجة محليًا غير التبديلية، باستثناء مجموعة التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزالجي^{\displaystyle {\widehat {G}}}قد لا تكون مجموعة. على سبيل المثال، عندماجي{\displaystyle G}هي مجموعة منتهية،جي^{\displaystyle {\widehat {G}}}هي مجموعة الأحرف غير القابلة للاختزال. من نظرية الأحرف الأساسية ، إذاو{\displaystyle f}هي دالة فئة ، ولدينا صيغة بارسيفال ‖و‖جي2=‖و^‖جي^2{\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}‖و‖جي2=1|جي|∑ز∈جي|و(ز)|2،‖و^‖جي^2=∑ρ∈جي^(خافت⁡ρ)2|و^(ρ)|2.{\displaystyle \|f\|_{G}^{2}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|f(g)|^{2},\quad \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}(\dim \rho )^{2}|{\hat {f}}(\rho )|^{2}.} وبشكل أعم، عندماو{\displaystyle f}ليست دالة فئة، المعيار هو ‖و^‖جي^2=∑ρ∈جي^خافت⁡ρtr⁡(و^(ρ)*و^(ρ)){\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}\dim \rho \,\operatorname {tr} ({\hat {f}}(\rho )^{*}{\hat {f}}(\rho ))} لذا فإن مقياس بلانشيريل يزن كل تمثيل حسب بُعده.

بصورة عامة، فإن نظرية بلانشيريل هي ‖و‖جي2=∫جي^‖و^(ρ)‖حS2دμ(ρ){\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\int _{\hat {G}}\|{\hat {f}}(\rho )\|_{HS}^{2}d\mu (\rho )} حيث يكون المعيار هو معيار هيلبرت-شميدت للمؤثر و^(ρ)=∫جيو(ز)ρ(ز)*دز{\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\int _{G}f(g)\rho (g)^{*}\,dg} والقياسμ{\displaystyle \mu }إذا وُجد مقياس، فإنه يُسمى مقياس بلانشيريل.

انظر أيضاً

مراجع