التكامل الرمزي

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في حساب التفاضل والتكامل ، التكامل الرمزي هو مشكلة إيجاد صيغة للمشتق العكسي ، أو التكامل غير المحدد ، لدالة معينة f ( x )، أي إيجاد صيغة لدالة قابلة للاشتقاق F ( x ) بحيث

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

وهذا ما يشار إليه أيضًا

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx.}$

يتم استخدام المصطلح الرمزي للتمييز بين هذه المشكلة ومشكلة التكامل العددي ، حيث يتم البحث عن قيمة F عند مدخل معين أو مجموعة من المدخلات، بدلاً من صيغة عامة لـ F.

كان يُعتقد أن كلتا المشكلتين لهما أهمية عملية ونظرية قبل وقت طويل من ظهور أجهزة الكمبيوتر الرقمية، لكنهما يُعتبران الآن بشكل عام مجال علوم الكمبيوتر ، حيث تُستخدم أجهزة الكمبيوتر حاليًا في أغلب الأحيان لمعالجة حالات فردية.

إن إيجاد المشتقة لتعبير ما هي عملية مباشرة يسهل بناء خوارزمية لها . أما السؤال العكسي لإيجاد التكامل فهو أصعب بكثير. فالعديد من التعبيرات البسيطة نسبيًا لا تحتوي على تكاملات يمكن التعبير عنها في شكل مغلق . راجع المشتقة العكسية والتكامل غير الأولي لمزيد من التفاصيل.

توجد طريقة تسمى خوارزمية ريش القادرة على تحديد ما إذا كان تكامل الدالة الأولية (الدالة المبنية من عدد محدود من الأسس واللوغاريتمات والثوابت والجذور ذات العدد n من خلال التركيب والتركيبات باستخدام العمليات الأولية الأربع) أوليًا وإعادته إذا كان كذلك. في شكلها الأصلي، لم تكن خوارزمية ريش مناسبة للتنفيذ المباشر، واستغرق تنفيذها الكامل وقتًا طويلاً. تم تنفيذها لأول مرة في Reduce في حالة الدوال المتسامية البحتة؛ تم حل حالة الدوال الجبرية البحتة وتنفيذها في Reduce بواسطة James H. Davenport ؛ تم حل الحالة العامة بواسطة Manuel Bronstein، الذي نفذها كلها تقريبًا في Axiom ، على الرغم من أنه حتى الآن لا يوجد تنفيذ لخوارزمية ريش يمكنه التعامل مع جميع الحالات الخاصة والفروع فيها. ^{[1] [2]}

ومع ذلك، فإن خوارزمية ريش تنطبق فقط على التكاملات غير المحددة ، في حين أن معظم التكاملات التي تهم الفيزيائيين والكيميائيين النظريين والمهندسين هي تكاملات محددة غالبًا ما ترتبط بتحويلات لابلاس وتحويلات فورييه وتحويلات ميلين . وفي غياب خوارزمية عامة، نفذ مطورو أنظمة الجبر الحاسوبي أساليب استدلالية تعتمد على مطابقة الأنماط واستغلال الوظائف الخاصة، وخاصة دالة جاما غير المكتملة . ^[3] وعلى الرغم من أن هذا النهج استدلالي وليس خوارزميًا، إلا أنه مع ذلك طريقة فعالة لحل العديد من التكاملات المحددة التي تواجهها التطبيقات الهندسية العملية. كانت الأنظمة السابقة مثل Macsyma تحتوي على عدد قليل من التكاملات المحددة المتعلقة بالوظائف الخاصة داخل جدول البحث. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة المعينة، التي تنطوي على التمييز بين الوظائف الخاصة فيما يتعلق بمعلماتها وتحويل المتغيرات ومطابقة الأنماط والتلاعبات الأخرى، كانت رائدة من قبل مطوري نظام Maple ^[4] ثم تم محاكاتها لاحقًا بواسطة Mathematica و Axiom و MuPAD وأنظمة أخرى.

المشكلة الرئيسية في النهج الكلاسيكي للتكامل الرمزي هي أنه إذا تم تمثيل دالة في شكل مغلق ، فإن مشتقها العكسي لا يمتلك عمومًا تمثيلًا مشابهًا. بعبارة أخرى، فإن فئة الدوال التي يمكن تمثيلها في شكل مغلق ليست مغلقة في ظل المشتق العكسي.

الوظائف الهولونومية هي فئة كبيرة من الوظائف، والتي تكون مغلقة تحت الاشتقاق المضاد وتسمح بالتنفيذ الخوارزمي في أجهزة الكمبيوتر للتكامل والعديد من العمليات الأخرى لحساب التفاضل والتكامل.

بتعبير أدق، الدالة الهولونومية هي حل لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات متعددة الحدود. الدوال الهولونومية مغلقة تحت الجمع والضرب والاشتقاق والاشتقاق العكسي. وهي تشمل الدوال الجبرية ، والدالة الأسية ، واللوغاريتم ، والجيب ، وجيب التمام ، والدوال المثلثية العكسية ، والدوال الزائدية العكسية .

وهي تشمل أيضًا الدوال الخاصة الأكثر شيوعًا مثل دالة Airy ، ودالة الخطأ ، ووظائف Bessel ، وجميع الدوال فوق الهندسية .

من الخصائص الأساسية للدوال الهولونومية أن معاملات سلسلة تايلور الخاصة بها في أي نقطة تلبي علاقة تكرار خطية مع معاملات متعددة الحدود، وأن علاقة التكرار هذه يمكن حسابها من المعادلة التفاضلية التي تحدد الدالة. وعلى العكس من ذلك، نظرًا لوجود علاقة تكرار بين معاملات سلسلة قوى ، فإن سلسلة القوى هذه تحدد دالة هولونومية يمكن حساب معادلتها التفاضلية خوارزميًا. تسمح علاقة التكرار هذه بحساب سريع لسلسلة تايلور، وبالتالي لقيمة الدالة في أي نقطة، مع وجود خطأ صغير معتمد.

هذا يجعل معظم عمليات حساب التفاضل والتكامل خوارزمية ، عندما تقتصر على الدوال الهولونومية، ممثلة بمعادلاتها التفاضلية وظروفها الأولية. يتضمن هذا حساب المشتقات العكسية والتكاملات المحددة (هذا يعادل تقييم المشتق العكسي عند نقاط نهاية فترة التكامل). يتضمن هذا أيضًا حساب السلوك المقارب للدالة عند اللانهاية، وبالتالي التكاملات المحددة على فترات غير محدودة.

يتم تنفيذ كل هذه العمليات في مكتبة algolib لـ Maple . ^[5]

انظر أيضًا القاموس الديناميكي للوظائف الرياضية. ^[6]

على سبيل المثال:

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

هي نتيجة رمزية للتكامل غير المحدد (هنا C هو ثابت التكامل )،

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}$

هي نتيجة رمزية لتكامل محدد، و

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0.6667}$

هي نتيجة عددية لنفس التكامل المحدد.

• الجبر الحاسوبي  – المجال العلمي الذي يقع على الواجهة بين علوم الكمبيوتر والرياضيات
• دالة ابتدائية  – دالة رياضية
• دالة فوكس إتش  – تعميم دالة ماير جي ودالة فوكس رايت
• التكامل المحدد  – عملية في حساب التفاضل والتكامل الرياضي
• قوائم التكاملات
• دالة ماير ج  – تعميم الدالة فوق الهندسية
• حساب العمليات  – تقنية لحل المعادلات التفاضلية
• خوارزمية ريش  – طريقة لتقييم التكاملات غير المحددة