جسيم في شبكة أحادية البعد

في ميكانيكا الكم ، تُعدّ الجسيمات في الشبكة أحادية البعد مشكلةً تظهر في نموذج الشبكة البلورية الدورية . ينشأ الجهد من الأيونات الموجودة في البنية الدورية للبلورة، والتي تُولّد مجالًا كهرومغناطيسيًا، وبالتالي تخضع الإلكترونات لجهد منتظم داخل الشبكة. وهذا تعميم لنموذج الإلكترون الحر ، الذي يفترض انعدام الجهد داخل الشبكة.

عند الحديث عن المواد الصلبة، يدور النقاش بشكل أساسي حول البلورات - وهي شبكات دورية. سنتناول هنا شبكة أحادية البعد من الأيونات الموجبة. بافتراض أن المسافة بين أيونين هي a ، فإن الجهد في الشبكة سيبدو كالتالي:

التمثيل الرياضي للجهد هو دالة دورية ذات دورة a . وفقًا لنظرية بلوخ ، ^{[ 1 ]} يمكن كتابة حل دالة الموجة لمعادلة شرودنغر عندما يكون الجهد دوريًا على النحو التالي:

$${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}$$

حيث u ( x ) دالة دورية تحقق u ( x + a ) = u ( x ) . وهو عامل بلوخ ذو أس فلوكي.${\displaystyle k}$مما يؤدي إلى ظهور بنية نطاق طيف الطاقة لمعادلة شرودنغر مع جهد دوري مثل جهد كرونيغ-بيني أو دالة جيب التمام كما أوضح ستروت في عام 1928. ^{[ 2 ]} يمكن إيجاد الحلول بمساعدة دوال ماثيو .

عند الاقتراب من حواف الشبكة، تظهر مشاكل في شروط الحدود. لذا، يمكننا تمثيل شبكة الأيونات كحلقة وفقًا لشروط حدود بورن-فون  كارمان . إذا كان L هو طول الشبكة بحيث يكون L ≫ a ، فإن عدد الأيونات في الشبكة يكون كبيرًا جدًا، بحيث يكون محيط أيون واحد خطيًا تقريبًا، وتبقى دالة الموجة للإلكترون ثابتة. وبالتالي، بدلًا من شرطي حدود، نحصل على شرط حدود دائري واحد. $${\displaystyle \psi (0)=\psi (L).}$$

إذا كان N هو عدد الأيونات في الشبكة، فإن لدينا العلاقة: aN = L. وبالتعويض في شرط الحدود وتطبيق نظرية بلوخ، ينتج عن ذلك تكميم لـ k : $${\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}$$$${\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}$$$${\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).}$$

نموذج كرونيج-بيني (المسمى على اسم رالف كرونيج وويليام بيني ^{[ 3 ]} ) هو نظام ميكانيكي كمي بسيط ومثالي يتكون من مصفوفة دورية لانهائية من حواجز الجهد المستطيلة .

يتم تقريب دالة الجهد بواسطة جهد مستطيل:

باستخدام نظرية بلوخ ، نحتاج فقط إلى إيجاد حل لفترة واحدة، والتأكد من أنه مستمر وسلس، والتأكد من أن الدالة u ( x ) مستمرة وسلسة أيضًا.

بالنظر إلى دورة واحدة من الجهد: لدينا منطقتان هنا. سنقوم بحل كل منهما بشكل مستقل: ليكن E قيمة طاقة أعلى من البئر (E>0).

• ل${\displaystyle 0<x<(ab)}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}}$$
• ل${\displaystyle -b<x<0}$:$$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}}$$

لإيجاد u ( x ) في كل منطقة، نحتاج إلى معالجة دالة الموجة للإلكترون: $$\displaystyle \begin{aligned}\psi (0<x<ab)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<ab)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}}$$

وبنفس الطريقة: $${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$$

لإكمال الحل، نحتاج إلى التأكد من أن دالة الاحتمال متصلة وسلسة، أي: $${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).}$$

وأن u ( x ) و u′ ( x ) دوريتان: $${\displaystyle u(-b)=u(ab)\qquad u'(-b)=u'(ab).}$$

تُنتج هذه الشروط المصفوفة التالية: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(ab)}&e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(ab)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$$

لكي نحصل على حل غير تافه، يجب أن يكون محدد المصفوفة صفرًا. وهذا يقودنا إلى التعبير التالي: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].}$$

لتبسيط التعبير أكثر، نقوم بالتقريبات التالية: $${\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty$$ ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant} } $${\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant}$$ ;\quad \alpha ^{2}b\to 0} $${\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}$$

سيكون التعبير الآن كالتالي: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}$$

بالنسبة لقيم الطاقة داخل البئر ( E  <  0)، نحصل على: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (ab)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (ab)],}$$ مع${\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}$و${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}$.

باتباع نفس التقريبات المذكورة أعلاه (${\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty$ ;\,V_{0}b=\mathrm {constant} } ), نصل إلى $${\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}$$ باستخدام نفس الصيغة لـ P كما في الحالة السابقة${\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}$.

في الفقرة السابقة، المتغيرات الوحيدة غير المحددة بمعاملات النظام الفيزيائي هي الطاقة E وزخم البلورة k . باختيار قيمة لـ E ، يمكن حساب الطرف الأيمن، ثم حساب k بأخذ${\displaystyle \arccos }$من كلا الجانبين. وبالتالي، فإن هذا التعبير يؤدي إلى علاقة التشتت .

قد يكون الطرف الأيمن من التعبير الأخير أعلاه أكبر من 1 أو أصغر من -1 في بعض الأحيان، وفي هذه الحالة لا توجد قيمة لـ k تجعل المعادلة صحيحة.${\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}$وهذا يعني أن هناك قيمًا معينة لـ E لا توجد عندها دوال ذاتية لمعادلة شرودنغر. وتشكل هذه القيم فجوة النطاق .

وبالتالي، فإن نموذج كرونيج-بيني هو أحد أبسط الجهود الدورية التي تُظهر فجوة نطاق.

يُقدَّم هنا علاج بديل ^{[ 4 ]} لمشكلة مماثلة. لدينا هنا جهد دوري دلتا : $${\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).}$$

A ثابت ما، و a ثابت الشبكة ( المسافة بين كل موقع). بما أن هذا الجهد دوري، يمكننا توسيعه كمتسلسلة فورييه : $${\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},}$$ أين $${\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.}$$

تكون دالة الموجة، باستخدام نظرية بلوخ، مساوية لـ${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}$أين${\displaystyle u_{k}(x)}$هي دالة دورية في الشبكة، مما يعني أنه يمكننا توسيعها كمتسلسلة فورييه أيضًا: $${\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}$$

وبالتالي فإن الدالة الموجية هي: $${\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}$$

وبوضع هذا في معادلة شرودنغر، نحصل على: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$ أو بالأحرى: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$

والآن ندرك ذلك: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}$$

أدخل هذا في معادلة شرودنغر: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}$$

حل هذه المشكلة لـ${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}$نحصل على: $${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

نجمع هذه المعادلة الأخيرة على جميع قيم K لنصل إلى: $${\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

أو: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

لحسن الحظ،${\displaystyle u_{k}(0)}$يتم إلغاء المعادلة ونحصل على: $${\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

أو: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

ولتوفير بعض الجهد غير الضروري في الترميز، نقوم بتعريف متغير جديد: $${\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}$$ وأخيراً، تعبيرنا هو: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}$$

الآن، K هو متجه شبكي مقلوب ، مما يعني أن المجموع على K هو في الواقع مجموع على مضاعفات صحيحة لـ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}$: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}$$

يمكننا تعديل هذا التعبير قليلاً لجعله أكثر إيحاءً (باستخدام تحليل الكسور الجزئية ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}$$

إذا استخدمنا متطابقة جيدة لمجموع دالة الظل التمام ( المعادلة 18 ) والتي تقول: $${\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}$$ وبإدخالها في تعبيرنا نحصل على: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}$$

نستخدم مجموع ظل التمام ، ثم حاصل ضرب الجيب (وهو جزء من صيغة مجموع ظل التمام ) للوصول إلى: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}$$

توضح هذه المعادلة العلاقة بين الطاقة (عبر α ) ومتجه الموجة k ، وكما تلاحظ، بما أن الطرف الأيسر من المعادلة لا يمكن أن يتجاوز النطاق من -1 إلى 1، فإن هناك حدودًا لقيم α (وبالتالي الطاقة). أي أنه عند نطاقات معينة من قيم الطاقة، لا يوجد حل وفقًا لهذه المعادلة، وبالتالي، لن يمتلك النظام تلك الطاقات: فجوات الطاقة. هذه هي ما تُسمى بفجوات النطاق، والتي يمكن إثبات وجودها في أي شكل من أشكال الجهد الدوري (ليس فقط في حواجز دلتا أو المربع).

للحصول على حساب مختلف ومفصل لصيغة الفجوة (أي الفجوة بين النطاقات) وانفصال مستويات القيم الذاتية لمعادلة شرودنغر أحادية البعد، انظر مولر-كيرستن. ^{[ 5 ]} كما ترد في هذا المرجع نتائج مماثلة لجهد جيب التمام (معادلة ماثيو) بالتفصيل.

في بعض الحالات، يمكن حل معادلة شرودنغر تحليليًا على شبكة أحادية البعد ذات طول محدود ^{[ 6 ] [ 7 ]} باستخدام نظرية المعادلات التفاضلية الدورية. ^{[ 8 ]} يُفترض أن طول الشبكة هو${\displaystyle L=Na}$، أين${\displaystyle a}$الفترة المحتملة وعدد الفترات${\displaystyle N}$هو عدد صحيح موجب. طرفا الشبكة عند${\displaystyle \tau }$و${\displaystyle L+\tau }$، أين${\displaystyle \tau }$يحدد نقطة النهاية. تتلاشى الدالة الموجية خارج الفترة${\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}$.

يمكن إيجاد الحالات الذاتية للنظام المحدود بدلالة حالات بلوخ لنظام لانهائي له نفس الجهد الدوري. إذا وُجدت فجوة نطاق بين نطاقي طاقة متتاليين في النظام اللانهائي، فسيكون هناك تمييز واضح بين نوعين من الحالات في الشبكة المحدودة. لكل نطاق طاقة في النظام اللانهائي، توجد${\displaystyle N-1}$حالات الكتلة التي تعتمد طاقاتها على الطول${\displaystyle N}$لكن ليس عند الإنهاء${\displaystyle \tau }$هذه الحالات عبارة عن موجات مستقرة تم إنشاؤها كتراكب لحالتي بلوخ مع زخم${\displaystyle k}$و${\displaystyle -k}$، أين${\displaystyle k}$يتم اختيارها بحيث تتلاشى الدالة الموجية عند الحدود. تتطابق طاقات هذه الحالات مع نطاقات الطاقة للنظام اللانهائي. ^{[ 6 ]}

لكل فجوة نطاق، توجد حالة إضافية واحدة. وتعتمد طاقات هذه الحالات على نقطة الإنهاء.${\displaystyle \tau }$لكن ليس على الطول${\displaystyle N}$[ ^{6 ]} يمكن أن تقع طاقة هذه الحالة إما عند حافة النطاق أو داخل فجوة النطاق. إذا كانت الطاقة داخل فجوة النطاق، فإن الحالة تكون حالة سطحية متمركزة عند أحد طرفي الشبكة، أما إذا كانت الطاقة عند حافة النطاق، ^فإن الحالة تكون غير متمركزة عبر الشبكة.

• تقريب الشبكة الفارغة
• نموذج الإلكترون شبه الحر
• البنية البلورية

• " نموذج كرونيج-بيني " لمايكل كروشر، وهو حساب تفاعلي لبنية نطاق الجهد الدوري أحادي البعد باستخدام برنامج Mathematica ، من مشروع Wolfram Demonstrations .