دالة ماثيو

في بعض الاستخدامات، تشير دالة ماثيو إلى حلول معادلة ماثيو التفاضلية لقيم عشوائية لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle q}$عندما لا يكون هناك مجال للالتباس، يستخدم مؤلفون آخرون المصطلح للإشارة تحديدًا إلى${\displaystyle \pi }$- أو${\displaystyle 2\pi }$الحلول الدورية، والتي لا توجد إلا لقيم خاصة من${\displaystyle a}$و${\displaystyle q}$[ ^{5 ]} بتعبير أدق، بالنسبة لـ (حقيقي) ^معطى${\displaystyle q}$توجد مثل هذه الحلول الدورية لعدد لا نهائي من قيم${\displaystyle a}$، والتي تسمى الأرقام المميزة ، يتم فهرستها تقليديًا على شكل سلسلتين منفصلتين${\displaystyle a_{n}(q)}$و${\displaystyle b_{n}(q)}$، ل${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$يُشار إلى الدوال المقابلة بـ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$على التوالي. ويشار إليها أحيانًا أيضًا باسم دوال جيب التمام الإهليلجية ودوال الجيب الإهليلجية ، أو دوال ماثيو من النوع الأول .

نتيجة لافتراض أن${\displaystyle q}$إذا كان حقيقياً، فإن كلاً من الأعداد المميزة والدوال المرتبطة بها ذات قيم حقيقية. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ويمكن تصنيفها بشكل إضافي حسب التكافؤ والدورية (كلاهما فيما يتعلق بـ${\displaystyle x}$), كما يلي: ^{[ 5 ]}

وظيفة	التكافؤ	فترة
${\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ زوجي}}}$	حتى	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ odd}}}$	حتى	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ زوجي}}}$	غريب	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ odd}}}$	غريب	${\displaystyle 2\pi }$

الفهرسة باستخدام العدد الصحيح${\displaystyle n}$إضافة إلى كونها تساعد في ترتيب الأرقام المميزة بترتيب تصاعدي، فإنها مفيدة في ذلك${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$تصبح متناسبة مع${\displaystyle \cos nx}$و${\displaystyle \sin nx}$مثل${\displaystyle q\rightarrow 0}$. مع${\displaystyle n}$وبما أنه عدد صحيح ، فإن هذا يؤدي إلى تصنيف${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$كدوال ماثيو (من النوع الأول) ذات الرتبة الصحيحة. بالنسبة للحالة العامة${\displaystyle a}$و${\displaystyle q}$، ويمكن تعريف حلول أخرى إلى جانب هذه، بما في ذلك دوال ماثيو ذات الرتبة الكسرية بالإضافة إلى الحلول غير الدورية.

ترتبط بها ارتباطًا وثيقًا دوال ماثيو المعدلة ، والمعروفة أيضًا باسم دوال ماثيو الشعاعية، وهي حلول لمعادلة ماثيو التفاضلية المعدلة.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

والتي يمكن ربطها بمعادلة ماثيو الأصلية عن طريق أخذ${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$وبناءً على ذلك، فإن دوال ماثيو المعدلة من النوع الأول من الرتبة التكاملية، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$، يتم تعريفها من ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

تكون هذه الدوال ذات قيم حقيقية عندما${\displaystyle x}$حقيقي.

يتمثل أحد أساليب التقييس الشائعة، ^{[ 8 ]} والذي سيتم اعتماده في جميع أنحاء هذه المقالة، في المطالبة

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

بالإضافة إلى ذلك يتطلب${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$مثل${\displaystyle q\rightarrow 0}$.

تحتوي معادلة ماثيو على معلَمين. وبحسب نظرية فلوكي، فإنه بالنسبة لجميع اختيارات هذين المعلَمين تقريباً، فإن أي حل إما يتقارب إلى الصفر أو يتباعد إلى ما لا نهاية.

إذا تم تمثيل معادلة ماثيو بالمعاملات التالية${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$، أين${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$ثم يتم فصل مناطق الاستقرار وعدم الاستقرار بواسطة المنحنيات التالية: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

بما أن معادلة ماثيو هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، فإنه يمكن بناء حلين مستقلين خطيًا . تنص نظرية فلوكي على أنه إذا${\displaystyle a}$إذا كان يساوي عددًا مميزًا، فيمكن اعتبار أحد هذين الحلين دوريًا، والآخر غير دوري. الحل الدوري هو أحد${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$تُسمى هذه الدالة دالة ماثيو من النوع الأول من الرتبة التكاملية. أما الدالة غير الدورية فيُرمز لها إما بـ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$على التوالي، وتُسمى دالة ماثيو من النوع الثاني (من الرتبة التكاملية). الحلول غير الدورية غير مستقرة، أي أنها تتباعد عندما${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$[ ^{14 ]​}

الحلول الثانية التي تتوافق مع دوال ماثيو المعدلة${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$تُعرَّف بشكل طبيعي على أنها${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$و${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$.

يمكن تعريف دوال ماثيو ذات الرتبة الكسرية على أنها تلك الحلول${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$،${\displaystyle p}$عدد غير صحيح، والذي يتحول إلى${\displaystyle \cos px}$و${\displaystyle \sin px}$مثل${\displaystyle q\rightarrow 0}$[ ^{7 ]} إذا^​${\displaystyle p}$إذا كانت أعدادًا غير نسبية، فهي غير دورية؛ ومع ذلك، فإنها تظل محدودة.${\displaystyle x\rightarrow \infty }$.

خاصية مهمة للمحاليل${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$، ل${\displaystyle p}$غير صحيح، أي أنها موجودة لنفس قيمة${\displaystyle a}$على النقيض من ذلك، عندما${\displaystyle p}$هو عدد صحيح،${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$لا يحدث ذلك أبدًا لنفس قيمة${\displaystyle a}$(انظر نظرية إنس أعلاه.)

تُلخّص هذه التصنيفات في الجدول أدناه. وتُعرّف دوال ماثيو المُعدّلة المُقابلة لها بشكل مماثل.

تصنيف دوال ماثيو ^{[ 15 ]}

طلب	النوع الأول	النوع الثاني
أساسي	${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$
أساسي	${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$
كسري (${\displaystyle p}$(غير متكامل)	${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$

يمكن تمثيل دوال ماثيو من النوع الأول على شكل متسلسلة فورييه : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

معاملات التمدد${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$و${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$هي وظائف${\displaystyle q}$لكن بشكل مستقل عن${\displaystyle x}$وبإجراء التعويض في معادلة ماثيو، يمكن إثبات أنها تخضع لعلاقات تكرارية ثلاثية الحدود في الدليل السفلي. على سبيل المثال، لكل${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$يجد المرء ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

كونه تكرارًا من الدرجة الثانية في المؤشر${\displaystyle 2r}$يمكن للمرء دائمًا إيجاد حلين مستقلين${\displaystyle X_{2r}}$و${\displaystyle Y_{2r}}$بحيث يمكن التعبير عن الحل العام كمزيج خطي من الاثنين:${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$علاوة على ذلك، في هذه الحالة تحديدًا، يُظهر التحليل التقاربي ^{[ 17 ]} أن أحد الخيارات الممكنة للحلول الأساسية يتمتع بالخاصية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

بخاصة،${\displaystyle X_{2r}}$محدود بينما${\displaystyle Y_{2r}}$يتباعد. الكتابة${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$وبالتالي نرى أنه لكي يكون تمثيل متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$للتقارب،${\displaystyle a}$يجب اختيارها بحيث${\displaystyle c_{2}=0.}$هذه الخيارات من${\displaystyle a}$تتوافق مع الأرقام المميزة.

عموماً، لا يمكن تمثيل حل علاقة تكرارية ثلاثية الحدود ذات معاملات متغيرة بطريقة بسيطة، وبالتالي لا توجد طريقة بسيطة لتحديدها.${\displaystyle a}$من الحالة ${\displaystyle c_{2}=0}$علاوة على ذلك، حتى لو كانت القيمة التقريبية لرقم مميز معروفة، فلا يمكن استخدامها للحصول على المعاملات.${\displaystyle A_{2r}}$عن طريق التكرار العددي للتكرار نحو الزيادة${\displaystyle r}$والسبب هو أنه طالما${\displaystyle a}$إنها مجرد تقريب لرقم مميز،${\displaystyle c_{2}}$ليس متطابقًا${\displaystyle 0}$والحل المتباين${\displaystyle Y_{2r}}$يهيمن في النهاية على نطاق واسع بما فيه الكفاية${\displaystyle r}$.

للتغلب على هذه المشكلات، يلزم استخدام مناهج شبه تحليلية/عددية أكثر تطورًا، على سبيل المثال استخدام توسيع الكسور المستمرة ، ^{[ 18 ] [ 5 ]} أو صياغة العلاقة التكرارية كمسألة قيم ذاتية للمصفوفة ، ^{[ 19 ]} أو تطبيق خوارزمية تكرارية عكسية. ^{[ 17 ]} يُعد تعقيد العلاقة التكرارية ذات الحدود الثلاثة أحد أسباب قلة الصيغ والمتطابقات البسيطة التي تتضمن دوال ماثيو. ^{[ 20 ]}

عمليًا، يمكن حساب دوال ماثيو والأعداد المميزة المقابلة لها باستخدام برامج جاهزة، مثل Mathematica و Maple و MATLAB و SciPy . بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle q}$والترتيب المنخفض${\displaystyle n}$ويمكن أيضًا التعبير عنها بشكل اضطرابي كمتسلسلات قوى من${\displaystyle q}$، وهو ما يمكن أن يكون مفيدًا في التطبيقات الفيزيائية. ^{[ 21 ]}

توجد عدة طرق لتمثيل دوال ماثيو من النوع الثاني. ^{[ 22 ]} أحد هذه التمثيلات هو باستخدام دوال بيسل : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle n,q>0}$، و${\displaystyle J_{r}(x)}$و${\displaystyle Y_{r}(x)}$هي دوال بيسل من النوع الأول والثاني.

تتمثل إحدى الطرق التقليدية للتقييم العددي لدوال ماثيو المعدلة في استخدام متسلسلات جداء دوال بيسل. ^{[ 24 ]} بالنسبة للقيم الكبيرة${\displaystyle n}$و${\displaystyle q}$يجب اختيار شكل المتسلسلة بعناية لتجنب أخطاء الطرح . ^{[ 25 ] [ 26 ]}

للصغار${\displaystyle q}$،${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$يتصرفون بشكل مشابه لـ${\displaystyle \cos nx}$و${\displaystyle \sin nx}$. لأي${\displaystyle q}$قد تختلف هذه الدوال اختلافًا كبيرًا عن نظيراتها المثلثية؛ ومع ذلك، فإنها تظل دورية بشكل عام. علاوة على ذلك، بالنسبة لأي عدد حقيقي${\displaystyle q}$،${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$لديهم بالضبط${\displaystyle m}$أصفار بسيطة في${\displaystyle 0<x<\pi }$و${\displaystyle q\rightarrow \infty }$تتجمع الأصفار حول${\displaystyle x=\pi /2}$[ ^{27 ] [ 28 ]​}

ل${\displaystyle q>0}$وكما${\displaystyle x\rightarrow \infty }$تميل دوال ماثيو المعدلة إلى التصرف كدوال دورية مخمدة.

فيما يلي،${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$العوامل من متسلسلات فورييه لـ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$يمكن الرجوع إليها (انظر التمثيل الصريح والحساب ). وهي تعتمد على${\displaystyle q}$و${\displaystyle n}$لكنها مستقلة عن${\displaystyle x}$.

بسبب تكافؤها ودوريتها،${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$و ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$تتمتع بخصائص بسيطة تحت الانعكاسات والانتقالات بمضاعفات${\displaystyle \pi }$: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

يمكن أيضًا كتابة الدوال ذات القيم السالبة${\displaystyle q}$من حيث أولئك الذين لديهم نتائج إيجابية${\displaystyle q}$: ^{[ 5 ] [ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

مثل نظيراتها المثلثية${\displaystyle \cos nx}$و${\displaystyle \sin nx}$دوال ماثيو الدورية${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$تحقيق علاقات التعامد

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، مع${\displaystyle q}$ثابت و${\displaystyle a}$وباعتبارها القيمة الذاتية، فإن معادلة ماثيو تأخذ شكل ستورم-ليوفيل . وهذا يعني أن الدوال الذاتية${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$تشكيل مجموعة كاملة، أي أي${\displaystyle \pi }$- أو${\displaystyle 2\pi }$دالة دورية لـ${\displaystyle x}$يمكن توسيعها كسلسلة في${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$و${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$[ ^{4 ]​}

تحقق حلول معادلة ماثيو فئة من المتطابقات التكاملية بالنسبة إلى النوى.${\displaystyle \chi (x,x')}$وهي حلول لـ

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

وبعبارة أدق، إذا${\displaystyle \phi (x)}$يحل معادلة ماثيو بالمعطيات التالية${\displaystyle a}$و${\displaystyle q}$ثم التكامل

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

أين${\displaystyle C}$يمثل مسارًا في المستوى المركب ، ويحل أيضًا معادلة ماثيو بنفس الطريقة.${\displaystyle a}$و${\displaystyle q}$بشرط استيفاء الشروط التالية: ^{[ 30 ]}

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$يحل${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• في المناطق قيد الدراسة،${\displaystyle \psi (x)}$موجود و${\displaystyle \chi (x,x')}$تحليلي​
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$لها نفس القيمة عند نقاط النهاية لـ${\displaystyle C}$

باستخدام تغيير مناسب للمتغيرات، تصبح معادلة${\displaystyle \chi }$يمكن تحويلها إلى معادلة الموجة وحلها. على سبيل المثال، أحد الحلول هو${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$ومن أمثلة الهويات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

تُعدّ المتطابقات من النوع الأخير مفيدة لدراسة الخصائص التقاربية لدوال ماثيو المعدلة. ^{[ 32 ]}

توجد أيضًا علاقات تكاملية بين الدوال من النوع الأول والثاني، على سبيل المثال: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

صالح لأي مجمع${\displaystyle x}$وحقيقي${\displaystyle q}$.

تنطبق التوسعات التقاربية التالية على${\displaystyle q>0}$،${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$،${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$، و${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

وبالتالي، تتلاشى دوال ماثيو المعدلة أُسّيًا عند القيم الحقيقية الكبيرة. ويمكن كتابة متسلسلات تقارب مماثلة لـ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$و${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$وتتلاشى هذه أيضًا بشكل أسي بالنسبة للقيم الحقيقية الكبيرة.

بالنسبة لدوال ماثيو الدورية الزوجية والفردية${\displaystyle ce,se}$والأرقام المميزة المرتبطة بها${\displaystyle a}$ يمكن أيضًا اشتقاق متسلسلات تقاربية للأعداد الكبيرة${\displaystyle q}$[ ^{34 ]} بالنسبة للأعداد المميزة على وجه الخصوص، يكون لدينا ^مع${\displaystyle N}$عدد فردي تقريبًا، أي${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

لاحظ التناظر هنا في الاستبدال${\displaystyle q^{1/2}}$و${\displaystyle N}$بواسطة${\displaystyle -q^{1/2}}$و${\displaystyle -N}$وهو ما يمثل سمة مهمة للتوسع. وقد تم الحصول على حدود هذا التوسع بشكل صريح حتى حد الطلب.${\displaystyle |q|^{-7/2}}$[ ^{35 ]} هنا^​${\displaystyle N}$هو عدد صحيح فردي تقريبًا فقط لأنه في حالة النهاية${\displaystyle q\to \infty }$جميع الأجزاء الدنيا من الجهد الدوري${\displaystyle \cos 2x}$تصبح مذبذبات توافقية مستقلة فعلياً (وبالتالي${\displaystyle N_{0}}$عدد فردي). عن طريق التناقص${\displaystyle q}$يصبح اختراق الحواجز ممكناً (باللغة الفيزيائية)، مما يؤدي إلى انقسام الأرقام المميزة.${\displaystyle a\to a_{\mp }}$(تُسمى في ميكانيكا الكم بالقيم الذاتية) التي تُقابل دوال ماثيو الدورية الزوجية والفردية. ويُحصل على هذا التقسيم باستخدام الشروط الحدية ^{[ 35 ]} (في ميكانيكا الكم، يُؤدي هذا إلى تقسيم القيم الذاتية إلى نطاقات طاقة). ^{[ 36 ]} الشروط الحدية هي:

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

فرض هذه الشروط الحدية على دوال ماثيو الدورية التقاربية المرتبطة بالتوسع المذكور أعلاه لـ${\displaystyle a}$يحصل المرء

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

ثم تُستنتج الأرقام المميزة أو القيم الذاتية المقابلة من خلال التوسع، أي

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

يؤدي إدخال التعبيرات المناسبة أعلاه إلى النتيجة

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

ل${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$هذه هي القيم الذاتية المرتبطة بالدوال الذاتية الزوجية لماثيو.${\displaystyle ce_{N_{0}}}$أو${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$(أي مع إشارة سالبة علوية) ودوال ماثيو الذاتية الفردية${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$أو ${\displaystyle se_{N_{0}}}$(أي مع علامة زائد أصغر). يمكن إيجاد التوسعات الصريحة والمعيارية للدوال الذاتية في ^{[ 35 ]} أو ^{[ 36 ] .}

يمكن الحصول على توسعات تقاربية مماثلة لحلول المعادلات التفاضلية الدورية الأخرى، كما هو الحال بالنسبة لدوال لاميه ودوال الموجة الكروية المطولة والمفلطحة .

تمت دراسة الطبيعة التقاربية للحلول التقاربية لمعادلة ماثيو بالتفصيل من خلال دراسة سلوك الرتب الكبيرة للتوسعات. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

تظهر دوال ماثيو عند تطبيق فصل المتغيرات في الإحداثيات الإهليلجية على: 1) معادلة لابلاس في ثلاثة أبعاد، و2) معادلة هيلمهولتز في بعدين أو ثلاثة أبعاد. ولأن معادلة هيلمهولتز تُعدّ نموذجًا أوليًا لنمذجة التغير المكاني للموجات الكلاسيكية، يمكن استخدام دوال ماثيو لوصف مجموعة متنوعة من ظواهر الموجات. على سبيل المثال، في الكهرومغناطيسية الحاسوبية ، يمكن استخدامها لتحليل تشتت الموجات الكهرومغناطيسية عن الأسطوانات الإهليلجية، وانتشار الموجات في الموجهات الإهليلجية . ^{[ 39 ]} في النسبية العامة ، يمكن إيجاد حل دقيق لموجة مستوية لمعادلة أينشتاين للمجال بدلالة دوال ماثيو.

في الآونة الأخيرة، تم استخدام دوال ماثيو لحل حالة خاصة من معادلة سمولوشوفسكي ، التي تصف إحصائيات الحالة المستقرة للجسيمات ذاتية الدفع . ^{[ 40 ]}

يُفصّل الجزء المتبقي من هذا القسم تحليل معادلة هيلمهولتز ثنائية الأبعاد. ^{[ 41 ]} في الإحداثيات الديكارتية، تكون معادلة هيلمهولتز كما يلي:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

تُعرَّف الإحداثيات الإهليلجية بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

أين${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$،${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$، و${\displaystyle c}$ثابت موجب. معادلة هيلمهولتز في هذه الإحداثيات هي

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

الثابت${\displaystyle \mu }$المنحنيات عبارة عن قطع ناقصة متحدة البؤرة ذات طول بؤري${\displaystyle c}$لذا، تُعد هذه الإحداثيات ملائمة لحل معادلة هيلمهولتز على نطاقات ذات حدود إهليلجية. فصل المتغيرات عبر${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$ينتج عن ذلك معادلات ماثيو

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle a}$ثابت الفصل.

كمثال فيزيائي محدد، يمكن تفسير معادلة هيلمهولتز على أنها تصف الأنماط الطبيعية لغشاء مرن تحت شد منتظم . في هذه الحالة، تُفرض الشروط الفيزيائية التالية: ^{[ 42 ]}

• الدورية فيما يتعلق بـ${\displaystyle \nu }$، أي${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• استمرارية الإزاحة عبر الخط بين البؤرتين:${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• استمرارية المشتقة عبر الخط بين البؤرتين:${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

معطى${\displaystyle k}$وهذا يحصر الحلول في تلك التي على شكل${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$و${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$، أين${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$وهذا يُشبه تقييد القيم المسموح بها لـ${\displaystyle a}$، بالنسبة لـ${\displaystyle k}$القيود المفروضة على${\displaystyle k}$ثم تنشأ هذه الظاهرة نتيجة لفرض شروط فيزيائية على سطح محدد، مثل حدود بيضاوية محددة بواسطة${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$على سبيل المثال، تثبيت الغشاء عند${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$يفرض${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$وهذا بدوره يتطلب

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

تحدد هذه الشروط الأنماط الطبيعية للنظام.

في المسائل الديناميكية ذات القوى المتغيرة دوريًا، قد تتخذ معادلة الحركة شكل معادلة ماثيو. في مثل هذه الحالات، تُعدّ معرفة الخصائص العامة لمعادلة ماثيو - لا سيما فيما يتعلق باستقرار الحلول - ضرورية لفهم السمات النوعية للديناميكيات الفيزيائية. ^{[ 43 ]} ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك البندول المقلوب . ^{[ 44 ]} ومن الأمثلة الأخرى:

• اهتزازات وتر ذي توتر متغير دوريًا ^{[ 43 ]}
• استقرار قضبان السكك الحديدية أثناء مرور القطارات فوقها
• ديناميات السكان الموسمية
• ظاهرة الرنين البارامتري في المذبذبات القسرية
• حركة الأيونات في مصيدة أيونية رباعية الأقطاب ^{[ 45 ]}
• تأثير ستارك لثنائي قطب كهربائي دوار
• نظرية فلوكي لاستقرار الدورات الحدية
• حلول الموجات المتنقلة التحليلية لمعادلة نمو واجهة كاردار-باريسي-تشانغ مع حد الضوضاء الدوري ^{[ 46 ]}