حاجز الجهد المستطيل

في ميكانيكا الكم ، يُعد حاجز الجهد المستطيل (أو المربع أحيانًا ) مسألةً قياسيةً أحادية البعد تُوضح ظاهرتي النفق الموجي (المعروف أيضًا باسم "النفق الكمومي") والانعكاس الموجي. وتتمثل المسألة في حل معادلة شرودنغر أحادية البعد غير المعتمدة على الزمن لجسيم يصطدم بحاجز طاقة جهد مستطيل . ويُفترض عادةً، كما هو الحال هنا، أن الجسيم الحر يصطدم بالحاجز من اليسار.

على الرغم من أن الجسيمات التي تتصرف كلاسيكيًا ككتلة نقطية ستنعكس إذا كانت طاقتها أقل من${\displaystyle V_{0}}$عندما يتصرف الجسيم كموجة مادية ، فإنه يمتلك احتمالًا غير صفري لاختراق الحاجز ومواصلة مساره كموجة على الجانب الآخر. في فيزياء الموجات الكلاسيكية، يُعرف هذا التأثير باسم اقتران الموجة المتلاشية . يُعطى احتمال مرور الجسيم عبر الحاجز بمعامل النفاذية ، بينما يُعطى احتمال انعكاسه بمعامل الانعكاس . تسمح معادلة شرودنغر الموجية بحساب هذه المعاملات.

معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن للدالة الموجية${\displaystyle \psi (x)}$يقرأ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$ أين${\displaystyle {\hat {H}}}$هو الهاميلتوني ،${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك (المختزل) ،${\displaystyle m}$الكتلة ،​${\displaystyle E}$ طاقة الجسيم و $${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]}$$ هو جهد الحاجز ذو الارتفاع${\displaystyle V_{0}>0}$والعرض${\displaystyle a}$.${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$ هي دالة هيفسايد المتدرجة ، أي $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x<0\\V_{0}&{\text{إذا كان }}0<x<a\\0&{\text{إذا كان }}a<x\end{cases}}}$$

يقع الحاجز بين${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=a}$يمكن نقل الحاجز إلى أي مكان${\displaystyle x}$تحديد الموضع دون تغيير النتائج. الحد الأول في الهاميلتوني،${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$هي الطاقة الحركية .

يقسم الحاجز المساحة إلى ثلاثة أجزاء (${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$في أي من هذه الأجزاء، يكون الجهد ثابتًا، مما يعني أن الجسيم شبه حر، ويمكن كتابة حل معادلة شرودنغر على شكل تراكب لموجات تتحرك يسارًا ويمينًا (انظر الجسيم الحر ).${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _ {R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{الحالات}}}$$ حيث ترتبط الأرقام الموجية بالطاقة عبر $${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

المؤشر${\displaystyle r/l}$على المعاملات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يشير إلى اتجاه متجه السرعة. لاحظ أنه إذا كانت طاقة الجسيم أقل من ارتفاع الحاجز،${\displaystyle k_{1}}$يصبح تخيليًا وتتلاشى الدالة الموجية أُسّيًا داخل الحاجز. ومع ذلك، نحتفظ بالترميز${\displaystyle r/l}$على الرغم من أن الموجات لم تعد تنتشر في هذه الحالة. هنا افترضنا${\displaystyle E\neq V_{0}}$القضية${\displaystyle E=V_{0}}$سيتم تناول هذا الموضوع أدناه.

المعاملات${\displaystyle A,B,C}$يجب إيجادها من الشروط الحدية للدالة الموجية عند${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=a}$يجب أن تكون دالة الموجة ومشتقتها متصلة في كل مكان، لذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

بإدخال الدوال الموجية، تُعطي الشروط الحدية القيود التالية على المعاملات

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$$${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$$${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$$${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

في هذه المرحلة، من المفيد مقارنة الوضع بالحالة الكلاسيكية. في كلتا الحالتين، يتصرف الجسيم كجسيم حر خارج منطقة الحاجز. جسيم كلاسيكي ذو طاقة${\displaystyle E}$أكبر من ارتفاع الحاجز${\displaystyle V_{0}}$سيتجاوز الحاجز دائمًا ، وهو جسيم كلاسيكي مع${\displaystyle E<V_{0}}$سينعكس الحادث الذي وقع على الحاجز دائمًا .

لدراسة الحالة الكمومية، ضع في اعتبارك الحالة التالية: جسيم يسقط على الحاجز من الجانب الأيسر (${\displaystyle A_{r}}$قد ينعكس ذلك (${\displaystyle A_{l}}$) أو تم نقلها (${\displaystyle C_{r}}$).

لإيجاد سعات الانعكاس والنفاذ عند سقوط الموجة من اليسار، نضع في المعادلات أعلاه.${\displaystyle A_{r}=1}$(جسيم وارد)،${\displaystyle A_{l}=r}$(انعكاس)،${\displaystyle C_{l}=0}$(لا توجد جسيمات واردة من اليمين)، و${\displaystyle C_{r}=t}$(الانتقال). ثم نقوم بإزالة المعاملات${\displaystyle B_{l},B_{r}}$من المعادلة، قم بحلها لإيجاد${\displaystyle r}$و${\displaystyle t}$.

والنتيجة هي:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$$${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

بسبب التناظر المرآوي للنموذج، فإن سعات السقوط من اليمين هي نفسها سعات السقوط من اليسار. لاحظ أن هذه التعبيرات تنطبق على أي طاقة${\displaystyle E>0}$،${\displaystyle E\neq V_{0}}$. لو${\displaystyle E=V_{0}}$، ثم${\displaystyle k_{1}=0}$لذا توجد نقطة تفرد في كلا التعبيرين.

قد تبدو الحسابات المذكورة أعلاه غير واقعية وغير مفيدة للوهلة الأولى. ومع ذلك، فقد أثبتت أنها نموذج مناسب لمجموعة متنوعة من الأنظمة الواقعية. ومن الأمثلة على ذلك الأسطح البينية بين مادتين موصلتين . في الجزء الداخلي من المادتين، تكون حركة الإلكترونات شبه حرة، ويمكن وصفها بالحد الحركي في الهاميلتوني المذكور أعلاه مع كتلة فعالة.${\displaystyle m}$غالبًا ما تكون أسطح هذه المواد مغطاة بطبقات أكسيد أو غير مثالية لأسباب أخرى. يمكن تمثيل هذه الطبقة الرقيقة غير الموصلة بجهد حاجز كما ذُكر سابقًا. عندئذٍ، قد تنتقل الإلكترونات عبر النفق الكمومي من مادة إلى أخرى، مما يُولّد تيارًا كهربائيًا.

يعتمد تشغيل مجهر المسح النفقي (STM) على ظاهرة النفق الكمومي. في هذه الحالة، ينشأ الحاجز من الفجوة بين رأس المجهر والجسم المراد فحصه. ونظرًا لأن تيار النفق يعتمد أُسّيًا على عرض الحاجز، فإن هذا الجهاز شديد الحساسية لتغيرات الارتفاع في العينة المدروسة.

النموذج المذكور أعلاه أحادي البعد، بينما الفضاء ثلاثي الأبعاد. لذا، ينبغي حل معادلة شرودنغر في ثلاثة أبعاد. من جهة أخرى، تتغير العديد من الأنظمة على طول اتجاه إحداثي واحد فقط، بينما تظل ثابتة إزاحيًا على طول الاتجاهات الأخرى؛ فهي قابلة للفصل . ويمكن اختزال معادلة شرودنغر إلى الحالة المدروسة هنا بافتراض دالة موجية من النوع التالي:${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$.

للاطلاع على نموذج آخر ذي صلة للحاجز، انظر حاجز جهد دلتا (QM) ، والذي يمكن اعتباره حالة خاصة من حاجز الجهد المحدود. تنطبق جميع نتائج هذه المقالة مباشرةً على حاجز جهد دلتا بأخذ النهايات.${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$مع الحفاظ على${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$ثابت.

• مورس/إمكانية بعيدة المدى
• إمكانية الخطوة
• بئر جهد محدود

• غريفيث، ديفيد ج. (2004). مقدمة في ميكانيكا الكم (الطبعة الثانية) . برنتيس هول. ISBN 0-13-111892-7.
• كوهين تنودجي، كلود؛ ديو، برنارد. لالوي، فرانك؛ وآخرون  . (1996). ميكانيكا الكم . ترجمة. من الفرنسيين لسوزان ريد هيملي. وايلي-Interscience: وايلي. ص 231 – 233. رقم ISBN  978-0-471-56952-7.