مستوى الطور

في أغلب الأحيان، يتم حلها باستخدام معاملات الطرف الأيمن المكتوبة في شكل مصفوفة باستخدام القيم الذاتية λ ، المعطاة بواسطة المحدد :

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}-\lambda \mathbf {I} \right)=0}$

والمتجهات الذاتية :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

تمثل القيم الذاتية قوى المكونات الأسية، بينما تمثل المتجهات الذاتية المعاملات. إذا كُتبت الحلول بصيغة جبرية، فإنها تعبر عن العامل الضربي الأساسي للحد الأسي. ونظرًا لعدم تفرّد المتجهات الذاتية، فإن كل حل يتم التوصل إليه بهذه الطريقة يحتوي على ثوابت غير _محددة c₁ , c₂ , _… , cₙ _.

الحل العام هو:

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.}$

حيث λ₁ _و λ₂ هما القيمتان الذاتيتان، و( _{k₁ ,} k₂ ₎ و _{( k₃} , k₄ ) هما _{المتجهان الذاتيان الأساسيان} . يُفسر الثابتان c₁ و c₂ عدم تفرّد المتجهات الذاتية ، ولا يمكن حلهما إلا بمعرفة شرط ابتدائي للنظام .

يؤدي المحدد المذكور أعلاه إلى متعددة الحدود المميزة :

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0}$

وهي مجرد معادلة تربيعية على الشكل التالي:

${\displaystyle \lambda ^{2}-p\lambda +q=0}$

أين$${\displaystyle p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,}$$يشير الرمز (tr) إلى التتبع ) و$${\displaystyle q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.}$$

ثم يتم إعطاء الحل الصريح للقيم الذاتية بواسطة الصيغة التربيعية :

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,}$

أين$${\displaystyle \Delta =p^{2}-4q\,.}$$

تحدد المتجهات الذاتية والعقد شكل مسارات الطور، مما يوفر تفسيرًا تصويريًا لحل النظام الديناميكي، كما هو موضح لاحقًا.

يُنشأ مستوى الطور أولاً برسم خطوط مستقيمة تمثل المتجهين الذاتيين (اللذين يمثلان حالات استقرار حيث يتقارب النظام إما نحو هذين الخطين أو يتباعد عنهما). ثم يُرسم مستوى الطور باستخدام خطوط متصلة بدلاً من خطوط متقطعة تمثل اتجاه المجال. وتشير إشارات القيم الذاتية إلى سلوك مستوى الطور.

• إذا كانت الإشارات متعاكسة، فإن تقاطع المتجهات الذاتية هو نقطة سرجية .
• إذا كانت الإشارات موجبة، فإن المتجهات الذاتية تمثل حالات مستقرة يبتعد عنها النظام، ويكون التقاطع عقدة غير مستقرة .
• إذا كانت الإشارات سالبة، فإن المتجهات الذاتية تمثل حالات مستقرة يتقارب النظام نحوها، ويكون التقاطع عقدة مستقرة .

يمكن تصور ما سبق من خلال استذكار سلوك الحدود الأسية في حلول المعادلات التفاضلية.

يغطي هذا المثال حالة القيم الذاتية الحقيقية المنفصلة فقط. أما القيم الذاتية الحقيقية المتكررة فتتطلب حل مصفوفة المعاملات باستخدام متجه مجهول والمتجه الذاتي الأول لتوليد الحل الثاني لنظام ثنائي الأبعاد. مع ذلك، إذا كانت المصفوفة متناظرة، فمن الممكن استخدام المتجه الذاتي المتعامد لتوليد الحل الثاني.

تُنتج القيم الذاتية والمتجهات الذاتية المركبة حلولاً على شكل دوال جيبية وجيب تمامية ، بالإضافة إلى الدوال الأسية. ومن أبسط مزايا هذه الحالة أنه يكفي استخدام قيمة ذاتية واحدة ومتجه ذاتي واحد فقط لتوليد مجموعة الحلول الكاملة للنظام.