مقياس محايد للمخاطر

في التمويل الرياضي ، فإن المقياس المحايد للمخاطر (يسمى أيضًا مقياس التوازن، أو مقياس مارتينجال المكافئ ) هو مقياس احتمالي بحيث يكون سعر كل سهم مساويًا تمامًا للتوقع المخصوم لسعر السهم بموجب هذا المقياس.

يُستخدم هذا الأسلوب بكثرة في تسعير المشتقات المالية استنادًا إلى النظرية الأساسية لتسعير الأصول ، والتي تنص على أنه في سوق كاملة ، يكون سعر المشتق هو القيمة المتوقعة المخصومة للعائد المستقبلي وفقًا لمقياس حياد المخاطر الفريد. ولا يوجد مثل هذا المقياس إلا إذا كان السوق خاليًا من فرص المراجحة.

أسهل طريقة لتذكر ما هو مقياس الحياد تجاه المخاطر، أو لشرحه لشخص متخصص في الاحتمالات قد لا يعرف الكثير عن التمويل، هي إدراك أنه:

1. مقياس الاحتمالية لمتغير عشوائي مُحوَّل. عادةً ما يكون هذا التحويل هو دالة المنفعة للعائد. أما المقياس المحايد للمخاطرة فهو المقياس المقابل لتوقع العائد مع دالة منفعة خطية.
2. مقياس احتمالي ضمني ، أي مقياس مستنتج من الأسعار الحالية المُعلنة/المُتداولة/المُرصودة للأدوات المالية ذات الصلة. وتعني "ذات صلة" تلك الأدوات المالية المرتبطة سببيًا بالأحداث في فضاء الاحتمالات قيد الدراسة (أي أسعار الأصول الأساسية بالإضافة إلى المشتقات).
3. هو مقياس الاحتمالية الضمني (الذي يحل نوعًا من المسائل العكسية ) الذي يُعرَّف باستخدام دالة منفعة خطية (محايدة للمخاطر) في العائد، بافتراض نموذج معروف للعائد. وهذا يعني محاولة إيجاد المقياس المحايد للمخاطر بحل المعادلة حيث تمثل الأسعار الحالية القيمة الحالية المتوقعة للعوائد المستقبلية في ظل المقياس المحايد للمخاطر. يُعد مفهوم المقياس المحايد للمخاطر الفريد مفيدًا للغاية عند تصور تحديد أسعار عدد من المشتقات التي تُشكل مقياسًا محايدًا للمخاطر فريدًا، لأنه يُشير إلى نوع من الاتساق في الأسعار الافتراضية غير المتداولة، ويُشير نظريًا إلى فرص المراجحة في الأسواق التي تكون فيها أسعار العرض والطلب واضحة.

تجدر الإشارة أيضاً إلى أنه في معظم التطبيقات التمهيدية في مجال التمويل، تكون العوائد قيد الدراسة محددة مسبقاً بمعرفة الأسعار في وقت محدد أو في وقت مستقبلي. وهذا ليس شرطاً أساسياً لاستخدام هذه التقنيات.

تعتمد أسعار الأصول بشكل كبير على مستوى المخاطرة ، إذ يطالب المستثمرون عادةً بربح أكبر مقابل تحمل مخاطر أكبر. لذا، يختلف سعر اليوم لأصل ذي مخاطرة يُتوقع تحصيله غدًا عن قيمته المتوقعة. في أغلب الأحيان، يميل المستثمرون إلى تجنب المخاطرة ، ويكون سعر اليوم أقل من السعر المتوقع، مما يعود بالفائدة على من يتحملون المخاطرة.

اتضح أنه في سوق كاملة خالية من فرص المراجحة، توجد طريقة بديلة لإجراء هذه الحسابات: فبدلاً من حساب القيمة المتوقعة أولاً ثم تعديلها وفقًا لتفضيل المستثمر للمخاطرة، يمكن تعديل احتمالات النتائج المستقبلية، مرة واحدة وإلى الأبد، بحيث تشمل علاوات المخاطرة لجميع المستثمرين، ثم حساب القيمة المتوقعة وفقًا لهذا التوزيع الاحتمالي الجديد ، وهو المقياس المحايد للمخاطرة . وتكمن الفائدة الرئيسية في أنه بمجرد تحديد الاحتمالات المحايدة للمخاطرة، يمكن تسعير كل أصل ببساطة عن طريق حساب القيمة الحالية لعائده المتوقع. تجدر الإشارة إلى أنه في حال استخدام الاحتمالات الفعلية في العالم الحقيقي، سيتطلب كل أصل تعديلًا مختلفًا (نظرًا لاختلافها في مستوى المخاطرة).

يُعدّ غياب المراجحة شرطًا أساسيًا لوجود مقياس محايد للمخاطر. في الواقع، وفقًا للنظرية الأساسية لتسعير الأصول ، فإن شرط انعدام المراجحة يُعادل وجود مقياس محايد للمخاطر. كما أن اكتمال السوق مهم أيضًا، لأنه في سوق غير مكتملة، توجد أسعار متعددة محتملة للأصل الواحد، تُقابلها مقاييس محايدة مختلفة للمخاطر. من الشائع القول بأن كفاءة السوق تعني وجود سعر واحد فقط (قانون السعر الواحد )؛ ويجب اختيار المقياس المحايد الصحيح للمخاطر بناءً على أسس اقتصادية، لا رياضية بحتة.

من الأخطاء الشائعة الخلط بين التوزيع الاحتمالي المُصاغ والاحتمال الواقعي. فهما مختلفان، إذ يطلب المستثمرون في الواقع علاوة مخاطرة، بينما يمكن إثبات أنه في ظل احتمالات الحياد تجاه المخاطر، تتمتع جميع الأصول بنفس معدل العائد المتوقع، وهو معدل العائد الخالي من المخاطر ( أو معدل العائد قصير الأجل )، وبالتالي لا تتضمن أي علاوة مخاطرة. ينبغي النظر إلى طريقة التسعير المحايد تجاه المخاطر كغيرها من الأدوات الحسابية المفيدة - فهي ملائمة وفعّالة، حتى وإن بدت مصطنعة.

بالنظر إلى فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$لنفترض نموذجًا ثنائيًا لفترة واحدة، ولنرمز إلى سعر السهم الأولي بـ${\displaystyle S_{0}}$وسعر السهم في الوقت 1 هو${\displaystyle S_{1}}$والتي يمكن أن تأخذ قيمًا محتملة بشكل عشوائي:${\displaystyle S^{u}}$إذا ارتفع سعر السهم، أو${\displaystyle S^{d}}$إذا انخفض سعر السهم. وأخيرًا، دع${\displaystyle r>0}$يرمز إلى معدل العائد الخالي من المخاطر. يجب أن تحقق هذه الكميات الشروط التالية${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$وإلا فإن السوق سيشهد فرصاً للمراجحة ، ويمكن للوسيط أن يحقق ثروة من لا شيء. ^{[ 3 ]}

مقياس الاحتمالية${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$على$أوميغا$يُطلق عليه اسم محايد للمخاطر إذا${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$والتي يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$حل المعادلة لـ${\displaystyle \pi }$نجد أن الاحتمال المحايد للمخاطر لحركة صعودية في سوق الأسهم يُعطى بالعدد

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^{[ 4 ]}

بافتراض مشتق ذي عائد${\displaystyle X^{u}}$عندما يرتفع سعر السهم و${\displaystyle X^{d}}$عندما ينخفض ​​السعر، يمكننا تسعير المشتق عبر

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

لنفترض أن اقتصادنا يتكون من أصلين، سهم وسند خالٍ من المخاطر ، وأننا نستخدم نموذج بلاك-شولز . في هذا النموذج، يمكن وصف تطور سعر السهم بالحركة البراونية الهندسية .

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

أين${\displaystyle W_{t}}$هي حركة براونية قياسية بالنسبة للمقياس الفيزيائي. إذا عرّفنا

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

تنص نظرية جيرسانوف على وجود مقياس${\displaystyle Q}$بموجب أي${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$هي حركة براونية. ${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$يُعرف هذا بسعر المخاطرة في السوق . وباستخدام قواعد حساب إيتو ، يمكن التمييز بشكل غير رسمي فيما يتعلق بـ${\displaystyle t}$وأعد ترتيب التعبير أعلاه لاستنتاج المعادلة التفاضلية العشوائية

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

أعد هذا إلى المعادلة الأصلية:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

يترك${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$ليكن سعر السهم المخفض المقدم من${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$ثم باستخدام ليمّة إيتو نحصل على المعادلة التفاضلية العشوائية:

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$يُعدّ هذا المقياس الوحيد المحايد للمخاطر في النموذج. عملية العائد المخصوم لمشتق على السهم${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$هو مارتينجال تحت${\displaystyle Q}$لاحظ أن انحراف معادلة التفاضل العشوائي هو${\displaystyle r}$، وهو سعر الفائدة الخالي من المخاطر ، مما يعني الحياد تجاه المخاطر. بما أن${\displaystyle {\tilde {S}}}$و${\displaystyle H}$نكون${\displaystyle Q}$باستخدام نظرية تمثيل المارتينجال، يمكننا إيجاد استراتيجية تكرارية - محفظة من الأسهم والسندات تحقق عائدًا مجزيًا.${\displaystyle H_{t}}$في جميع الأوقات${\displaystyle t\leq T}$.

من الطبيعي التساؤل عن كيفية نشوء مقياس محايد للمخاطر في سوق خالٍ من المراجحة. بطريقة ما، تحدد أسعار جميع الأصول مقياسًا احتماليًا. أحد التفسيرات يُقدم باستخدام سندات آرو . ولتبسيط الأمر، لنفترض عالمًا منفصلًا (حتى وإن كان محدودًا) بأفق زمني مستقبلي واحد فقط . بعبارة أخرى، هناك الحاضر (الزمن 0) والمستقبل (الزمن 1)، وفي الزمن 1، يمكن أن تكون حالة العالم واحدة من عدد محدود من الحالات. سند آرو المقابل للحالة n ، أي A _{_n} ، هو سند يدفع دولارًا واحدًا في الزمن 1 في الحالة n، وصفر دولارات في أي حالة أخرى من حالات العالم.

ما هو سعر A _n الآن؟ يجب أن يكون موجبًا لوجود احتمال ربح دولار واحد؛ ويجب أن يكون أقل من دولار واحد لأنه أقصى ربح ممكن. وبالتالي، فإن سعر كل A _n ، والذي نرمز له بـ A _n (0) ، يقع بين 0 و1.

في الواقع، يجب أن يساوي مجموع أسعار جميع الأوراق المالية القيمة الحالية لدولار واحد، لأن امتلاك محفظة تتكون من كل ورقة مالية من أسهم شركة آرو سيؤدي إلى عائد مؤكد قدره دولار واحد. لنفترض سحبًا على جائزة تساوي جميع رسوم الاشتراك: إذا كانت الجائزة دولارًا واحدًا، فإن رسوم الاشتراك ستكون مقلوب عدد التذاكر. ولتبسيط الأمر، سنفترض أن سعر الفائدة يساوي صفرًا، وبالتالي فإن القيمة الحالية لدولار واحد تساوي دولارًا واحدًا.

وبالتالي، فإن قيم A _{_n} (0) تحقق بديهيات التوزيع الاحتمالي. كل قيمة منها غير سالبة ومجموعها يساوي 1. هذا هو المقياس المحايد للمخاطر! الآن، يبقى أن نثبت أنه يعمل كما هو مُعلن، أي أن حساب القيم المتوقعة بالنسبة لهذا المقياس الاحتمالي سيعطي السعر الصحيح عند الزمن صفر.

لنفترض أن لديك ورقة مالية C سعرها عند الزمن 0 هو C(0) . في المستقبل، في حالة i ، سيكون عائدها C_{_i} . لنفترض محفظة P تتكون من C_{_i} من كل ورقة مالية من أوراق Arrow، A _{_i}. في المستقبل، أياً كانت الحالة i ، فإن A _{_i} تدفع دولارًا واحدًا بينما تدفع أوراق Arrow الأخرى صفرًا، لذا ستدفع P المبلغ C_{_i} . بعبارة أخرى، تُحاكي المحفظة P عائد C بغض النظر عما يحدث في المستقبل. يعني غياب فرص المراجحة أن سعر P و C يجب أن يكون متساويًا الآن، لأن أي فرق في السعر يعني أنه يمكننا، دون أي مخاطرة، بيع الأصل الأغلى (بيعًا على المكشوف)، وشراء الأصل الأرخص، وجني الفرق. في المستقبل، سنحتاج إلى إعادة الأصل الذي تم بيعه على المكشوف، ولكن يمكننا تمويل ذلك بالضبط عن طريق بيع الأصل الذي اشتريناه، مما يترك لنا ربحنا الأولي.

باعتبار سعر كل ورقة مالية من أوراق آرو المالية احتمالًا ، نلاحظ أن سعر المحفظة P(0) هو القيمة المتوقعة لـ C في ظل احتمالات الحياد تجاه المخاطر. إذا لم يكن سعر الفائدة R صفرًا، فسنحتاج إلى خصم القيمة المتوقعة بشكل مناسب للحصول على السعر. على وجه الخصوص، تبلغ القيمة الحالية للمحفظة المكونة من كل ورقة مالية من أوراق آرو المالية الآن 0.${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$وبالتالي يصبح احتمال الحالة i المحايد للمخاطر${\displaystyle (1+R)}$مضروبًا في سعر كل ورقة مالية من أوراق Arrow A _i ، أو سعرها الآجل .

تجدر الإشارة إلى أن أوراق آرو المالية لا يشترط تداولها في السوق. وهنا تبرز أهمية اكتمال السوق. ففي سوق مكتملة، يمكن محاكاة كل ورقة مالية من أوراق آرو باستخدام محفظة من الأصول الحقيقية المتداولة. ويبقى المنطق السابق قائماً عند اعتبار كل ورقة مالية من أوراق آرو بمثابة محفظة استثمارية.

في نموذج أكثر واقعية، مثل نموذج بلاك-شولز وتعميماته، سيكون سهم آرو الخاص بنا أشبه بخيار رقمي مزدوج ، يدفع دولارًا واحدًا عندما يقع سعر الأصل الأساسي بين حد أدنى وحد أعلى، وصفرًا في غير ذلك. ويعكس سعر هذا الخيار حينها نظرة السوق لاحتمالية وصول سعر السوق الفوري إلى تلك الفترة السعرية، مع تعديله بعلاوات المخاطرة، وهو ما يماثل تمامًا كيفية حساب الاحتمالات المذكورة أعلاه في عالم الخطوة الواحدة المنفصلة.

• نموذج براوني للأسواق المالية
• تحليل المطالبات المشروطة
• إجراء متقدم
• النظرية الأساسية للتسعير الخالي من المراجحة
• قانون السعر الواحد
• تسعير مارتينجال
• مارتينجال (نظرية الاحتمالات)
• التمويل الرياضي
• التسعير العقلاني
• مقياس مارتينجال ذي الحد الأدنى من الإنتروبيا

• جيسيجر، نيكولاس: شرح الاحتمالات المحايدة للمخاطر
• ثام، جوزيف: التقييم المحايد للمخاطر: مقدمة مبسطة ، الجزء الثاني