نموذج سعر الفائدة القصير

نموذج سعر الفائدة القصير ، في سياق مشتقات أسعار الفائدة ، هو نموذج رياضي يصف التطور المستقبلي لأسعار الفائدة من خلال وصف التطور المستقبلي لسعر الفائدة القصير ، والذي يُكتب عادةً . ${\displaystyle r_{t}\,}$

في ظل نموذج سعر الفائدة القصير، يتم اعتبار متغير الحالة العشوائية هو سعر الفائدة الفوري اللحظي . ^[1] وبالتالي، فإن سعر الفائدة القصير هو سعر الفائدة ( المركب باستمرار ، السنوي) الذي يمكن للكيان أن يقترض به المال لفترة زمنية قصيرة للغاية من الوقت . إن تحديد سعر الفائدة القصير الحالي لا يحدد منحنى العائد بالكامل . ومع ذلك، تُظهر حجج عدم التحكيم أنه في ظل بعض الظروف الفنية المريحة إلى حد ما، إذا قمنا بنمذجة تطور كعملية عشوائية بموجب مقياس محايد للمخاطر ، فإن السعر في وقت استحقاق السند بدون قسيمة في وقت مع سداد 1 يُعطى بواسطة ${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle س}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

حيث أن الترشيح الطبيعي للعملية هو أن أسعار الفائدة التي تنطوي عليها السندات ذات القسيمة الصفرية تشكل منحنى عائد، أو بالأحرى منحنى صفري . وبالتالي، فإن تحديد نموذج لسعر الفائدة القصير يحدد أسعار السندات المستقبلية. وهذا يعني أن أسعار الفائدة الآجلة اللحظية تحدد أيضًا بالصيغة المعتادة ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

غالبًا ما يتم تصنيف نماذج أسعار الفائدة القصيرة على أنها داخلية وخارجية. نماذج أسعار الفائدة القصيرة الداخلية هي نماذج أسعار فائدة قصيرة حيث يكون هيكل الأجل لأسعار الفائدة، أو أسعار السندات ذات القسيمة الصفرية، ناتجًا عن النموذج، وبالتالي فهو "داخل النموذج" (داخلي) ويتم تحديده بواسطة معلمات النموذج. نماذج أسعار الفائدة القصيرة الخارجية هي نماذج حيث يكون هيكل الأجل هذا مدخلاً، حيث يتضمن النموذج بعض الوظائف أو التحولات المعتمدة على الوقت والتي تسمح بإدخال هيكل أجل سوق معين، بحيث يأتي هيكل الأجل من الخارج (خارجي). ^[2]${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

يمثل هذا القسم بأكمله حركة براونية قياسية في ظل مقياس احتمال محايد للمخاطرة وتفاضله . عندما يكون النموذج لوغاريتميًا طبيعيًا ، يُفترض أن المتغير يتبع عملية أورنشتاين-أولينبيك ويُفترض أن يتبع . ${\displaystyle W_{t}\,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

فيما يلي نماذج ذات عامل واحد، حيث يحدد عامل عشوائي واحد - سعر الفائدة القصير - التطور المستقبلي لجميع أسعار الفائدة. وبصرف النظر عن نموذجي ريندلمان-بارتر وهو-لي، اللذين لا يلتقطان عودة أسعار الفائدة إلى المتوسط ، يمكن اعتبار هذه النماذج حالات محددة لعمليات أورنشتاين-أولينبيك. نماذج فاسيسك وريندلمان-بارتر ونموذج CIR هي نماذج داخلية ولا تحتوي إلا على عدد محدود من المعلمات الحرة ، وبالتالي فمن غير الممكن تحديد قيم هذه المعلمات بطريقة تتطابق مع عدد قليل من أسعار السوق المرصودة ("المعايرة") لسندات القسيمة الصفرية أو المنتجات الخطية مثل اتفاقيات أسعار الفائدة الآجلة أو المقايضات، عادةً، أو يتم إجراء أفضل ملاءمة لهذه المنتجات الخطية للعثور على معلمات نماذج أسعار الفائدة القصيرة الداخلية الأقرب إلى أسعار السوق. وهذا لا يسمح بخيارات ملائمة مثل الحدود القصوى والأرضيات وخيارات المقايضات حيث تم استخدام المعلمات لملاءمة الأدوات الخطية بدلاً من ذلك. يتم التغلب على هذه المشكلة من خلال السماح للمعلمات بالتغير بشكل حتمي مع الوقت، ^{[3] [4]} أو عن طريق إضافة تحول حتمي إلى النموذج الداخلي. ^[5] وبهذه الطريقة، يمكن معايرة النماذج الخارجية مثل Ho-Lee والنماذج اللاحقة لبيانات السوق، مما يعني أنها يمكن أن تعيد بالضبط سعر السندات التي تتألف منها منحنى العائد، ويمكن استخدام المعلمات المتبقية لمعايرة الخيارات. يتم التنفيذ عادةً من خلال شجرة أسعار قصيرة ( ثنائية ) ^[6] أو محاكاة؛ انظر نموذج الشبكة (التمويل) § مشتقات أسعار الفائدة وطرق مونت كارلو لتسعير الخيارات ، على الرغم من أن بعض نماذج الأسعار القصيرة لديها حلول مغلقة الشكل لسندات القسيمة الصفرية، وحتى الحدود القصوى أو الأرضية، مما يسهل مهمة المعايرة إلى حد كبير. ندرج النماذج الداخلية التالية أولاً.

1. يوضح نموذج ميرتون (1973) المعدل القصير على النحو التالي : حيث هي حركة براونية أحادية البعد تحت مقياس مارتينجال النقطي . ^[7] في هذا النهج، يتبع المعدل القصير حركة براونية حسابية .${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. نموذج فاسيسك (1977) ينمذج سعر الفائدة القصير على النحو التالي ؛ غالبًا ما يُكتب . ^[8] الشكل الثاني هو الأكثر شيوعًا، ويجعل تفسير المعلمات أكثر مباشرة، حيث يكون المعامل هو سرعة عودة المتوسط، ويكون المعامل هو المتوسط ​​طويل الأجل، ويكون المعامل هو التقلب اللحظي. في نموذج سعر الفائدة القصير هذا، تُستخدم عملية أورنشتاين-أولينبيك لسعر الفائدة القصير. يسمح هذا النموذج بأسعار فائدة سلبية، لأن توزيع احتمالات سعر الفائدة القصير هو غاوسي. كما يسمح هذا النموذج بحلول مغلقة الشكل لسعر السند وخيارات السندات والحدود القصوى/الأرضيات، وباستخدام خدعة جمشيديان ، يمكن للمرء أيضًا الحصول على صيغة لخيارات المبادلة. ^[2]${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma }$
3. يوضح نموذج Rendleman–Bartter (1980) ^[9] أو نموذج Dothan (1978) ^[10] سعر الفائدة القصير على النحو التالي . في هذا النموذج، يتبع سعر الفائدة القصير حركة براونية هندسية . لا يحتوي هذا النموذج على صيغ مغلقة الشكل للخيارات ولا يعكس المتوسط. علاوة على ذلك، فإنه يواجه مشكلة حساب مصرفي متوقع لا نهائي بعد فترة قصيرة. ستكون نفس المشكلة موجودة في جميع نماذج سعر الفائدة القصير اللوغاريتمي الطبيعي ^[2]${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. يفترض نموذج كوكس -إنجرسول-روس (1985) ، وغالبًا ما يُكتب . يستبعد العامل (بشكل عام) إمكانية أسعار الفائدة السلبية. ^[11] تفسير المعلمات، في الصيغة الثانية، هو نفسه الموجود في نموذج فاسيسيك. يضمن شرط فيلر أسعار فائدة قصيرة موجبة تمامًا. يتبع هذا النموذج عملية الجذر التربيعي لفيلر وله أسعار غير سلبية، ويسمح بحلول مغلقة الشكل لسعر السند وخيارات السندات والحدود القصوى/الأرضيات، وباستخدام خدعة جمشيديان ، يمكن للمرء أيضًا الحصول على صيغة لخيارات المبادلة. يُطلق على كل من هذا النموذج ونموذج فاسيسيك اسم النماذج التآلفية، لأن صيغة سعر الفائدة الفوري المركب باستمرار لاستحقاق محدود T في الوقت t هي دالة تآلفية لـ . ^[2]${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$${\displaystyle 2ab>\سيجما ^{2}}$${\displaystyle r_{t}}$

نقوم الآن بإدراج عدد من نماذج أسعار الفائدة القصيرة الخارجية.

1. نموذج Ho–Lee (1986) ينمذج سعر الفائدة القصير على أنه . ^[12] يسمح المعامل بأن يكون هيكل الأجل الأولي لأسعار الفائدة أو أسعار السندات مدخلاً للنموذج. يتبع هذا النموذج مرة أخرى حركة براونية حسابية مع معامل انجراف حتمي يعتمد على الوقت.${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \theta _{t}}$
2. نموذج هال وايت (1990) - والذي يُسمى أيضًا نموذج فاسيسيك الموسع - يفترض . في العديد من العروض التقديمية، لا تعتمد واحدة أو أكثر من المعلمات و على الوقت. يكون توزيع السعر القصير طبيعيًا، ويسمح النموذج بمعدلات سلبية. النموذج ذو الثابت و هو الأكثر استخدامًا ويسمح بحلول مغلقة الشكل لأسعار السندات وخيارات السندات والحدود والأرضيات ومبادلات الأسعار من خلال خدعة جمشيديان. يسمح هذا النموذج بمعايرة دقيقة للهيكل الأولي لأسعار الفائدة من خلال الدالة المعتمدة على الوقت . عادةً ما يكون التنفيذ القائم على الشبكة لمبادلات برمودا والمنتجات بدون صيغ تحليلية ثلاثي الحدود . ^{[13] [14]}${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle \theta ,\alpha }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta _{t}}$
3. يتضمن نموذج بلاك-ديرمان-توي (1990) تقلبات أسعار الفائدة القصيرة المعتمدة على الوقت وغير ذلك؛ والنموذج لوغاريتمي طبيعي. ^[15] ولا يحتوي النموذج على صيغ مغلقة الشكل للخيارات. كما أنه، مثل جميع النماذج اللوغاريتمية الطبيعية، يعاني من مشكلة انفجار الحساب المصرفي المتوقع في وقت محدود.${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. نموذج بلاك-كاراسينسكي (1991)، وهو نموذج لوغاريتمي طبيعي، له . ^[16] يمكن اعتبار النموذج تطبيقًا لوغاريتميًا طبيعيًا لنموذج هال-وايت؛ ^[17] كما أن تنفيذه القائم على الشبكة ثلاثي الحدود (ثنائي الحدين يتطلب خطوات زمنية متفاوتة). ^[6] لا يحتوي النموذج على حلول مغلقة الشكل، وحتى المعايرة الأساسية لهيكل المصطلح الأولي يجب أن تتم باستخدام طرق عددية لتوليد أسعار السندات ذات القسيمة الصفرية. يعاني هذا النموذج أيضًا من مشكلة انفجار الحساب المصرفي المتوقع في وقت محدود.${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. يحتوي نموذج كالوتاي -ويليامز-فابوزي (1993) على معدل قصير مثل ، وهو نظير لوغاريتمي طبيعي لنموذج هو-لي، وحالة خاصة لنموذج بلاك-ديرمان-توي. ^[18] هذا النهج مشابه فعليًا لـ " نموذج سالومون براذرز الأصلي " (1987)، ^[19] وهو أيضًا متغير لوغاريتمي طبيعي على هو-لي. ^[20]${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. نموذج CIR++، الذي قدمه ودرسه بالتفصيل بريجو وميركوريو ^[5] في عام 2001، وصاغه سكوت (1995) ^[21] في وقت سابق ، استخدم نموذج CIR ولكن بدلاً من إدخال معلمات تعتمد على الوقت في الديناميكيات، فإنه يضيف تحولًا خارجيًا. تمت صياغة النموذج على النحو التالي حيث هو تحول حتمي. يمكن استخدام التحول لاستيعاب بنية مصطلح السوق وجعل النموذج متوافقًا تمامًا مع هذا. يحافظ هذا النموذج على قابلية المعالجة التحليلية لنموذج CIR الأساسي، مما يسمح بحلول مغلقة الشكل للسندات وجميع المنتجات الخطية، وخيارات مثل الحدود القصوى والأرضية وخيارات المبادلة من خلال خدعة جمشيديان. يسمح النموذج بالحفاظ على المعدلات الإيجابية إذا تم تقييد التحول ليكون إيجابيًا، أو يسمح بمعدلات سلبية إذا سُمح للتحول بأن يصبح سلبيًا. تم تطبيقه كثيرًا في مخاطر الائتمان أيضًا، لمقايضة التخلف عن سداد الائتمان وخيارات المبادلة، في هذه النسخة الأصلية أو مع القفزات. ^[22]${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$${\displaystyle \phi }$

يمكن تطبيق فكرة التحول الحتمي أيضًا على نماذج أخرى لها خصائص مرغوبة في شكلها الداخلي. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يطبق التحول على نموذج Vasicek، ولكن نظرًا لخطية عملية Ornstein-Uhlenbeck، فإن هذا يعادل إنشاء دالة تعتمد على الوقت، وبالتالي يتزامن مع نموذج Hull-White. ^[5]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle b}$

بالإضافة إلى نماذج العامل الواحد المذكورة أعلاه، هناك أيضًا نماذج متعددة العوامل لسعر الفائدة القصير، ومن أشهرها نموذج العاملان لونجستاف وشوارتز ونموذج العوامل الثلاثة لشين (يُطلق عليه أيضًا "نموذج المتوسط ​​العشوائي والتقلب العشوائي"). لاحظ أنه لأغراض إدارة المخاطر، "لإنشاء محاكاة واقعية لسعر الفائدة "، فإن نماذج سعر الفائدة القصير متعددة العوامل هذه تُفضل أحيانًا على نماذج العامل الواحد، لأنها تنتج سيناريوهات تكون بشكل عام "متوافقة بشكل أفضل مع تحركات منحنى العائد الفعلية". ^[23]

• يفترض نموذج لونجستاف-شوارتز (1992) أن ديناميكيات الأسعار القصيرة تُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

حيث يتم تعريف السعر القصير على أنه

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[24]

• نموذج تشين (1996) الذي يحتوي على متوسط ​​عشوائي وتقلب للسعر القصير، يتم إعطاؤه بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[25]

• نماذج هال وايت ثنائية العوامل أو G2++ هي نماذج تم استخدامها بسبب قابليتها للتنفيذ. تم تلخيص هذه النماذج وإثبات أنها متكافئة في Brigo و Mercurio (2006). يعتمد هذا النموذج على إضافة عمليتين مترابطتين من Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) بالإضافة إلى التحول للحصول على السعر القصير. يسمح هذا النموذج بالمعايرة الدقيقة لهيكل الأجل، وحلول الشكل شبه المغلق للخيارات، والتحكم في هيكل الأجل المتقلب لأسعار العقود الآجلة اللحظية من خلال معامل الارتباط، وخاصة بالنسبة للأسعار السلبية، والتي أصبحت مهمة مع تحول الأسعار إلى سلبية في الأسواق المالية. ^[26]

الإطار الرئيسي الآخر لنمذجة أسعار الفائدة هو إطار هيث-جارو-مورتون . وعلى النقيض من نماذج أسعار الفائدة القصيرة الموضحة أعلاه، فإن هذه الفئة من النماذج غير ماركوفية بشكل عام. وهذا يجعل نماذج HJM العامة صعبة الحساب لمعظم الأغراض. والميزة العظيمة لنماذج HJM هي أنها تقدم وصفًا تحليليًا لمنحنى العائد بالكامل، وليس فقط سعر الفائدة القصير. ولأغراض معينة (على سبيل المثال، تقييم الأوراق المالية المدعومة بالرهن العقاري)، يمكن أن يكون هذا تبسيطًا كبيرًا. ويمكن التعبير عن نموذجي كوكس-إنجرسول-روس وهال-وايت في بُعد واحد أو أكثر بشكل مباشر في إطار HJM. ولا تحتوي نماذج أسعار الفائدة القصيرة الأخرى على أي تمثيل مزدوج بسيط لـ HJM.

غالبًا ما يتم تفضيل إطار عمل HJM مع مصادر متعددة للعشوائية، بما في ذلك نموذج Brace–Gatarek–Musiela ونماذج السوق، للنماذج ذات الأبعاد الأعلى.

يتم استخدام النماذج المبنية على معدل الظل لفيشر بلاك عندما تقترب أسعار الفائدة من الحد الأدنى الصفري .

• نسب الدخل الثابت

• مارتن باكستر وأندرو ريني (1996). حساب التفاضل والتكامل المالي . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-55289-9.
• داميانو بريجو؛ فابيو ميركوريو (2001). نماذج أسعار الفائدة – النظرية والتطبيق مع سمايل والتضخم والائتمان (الطبعة الثانية، طبعة 2006). دار سبرينغر للنشر. رقم ISBN 978-3-540-22149-4.
• جيرالد بيتو وجيمس سوكاكي (2001). نماذج البنية المصطلحية باستخدام الأشجار ذات الحدين . مؤسسة أبحاث AIMR ( معهد المحللين الماليين المعتمدين ). رقم ISBN 978-0-943205-53-3.
• أندرو جيه جي كيرنز (2004). نماذج أسعار الفائدة – مقدمة . دار نشر جامعة برينستون . رقم ISBN 978-0-691-11894-9.
• أندرو جيه جي كيرنز (2004). نماذج أسعار الفائدة؛ مدخل في موسوعة العلوم الاكتوارية. جون وايلي وأولاده . 2004. ISBN 978-0-470-84676-6.
• كيه سي تشان، جي أندرو كارولي، فرانسيس لونجستاف ، وأنتوني ساندرز (1992). مقارنة تجريبية بين النماذج البديلة لسعر الفائدة في الأمد القصير (PDF) . مجلة التمويل ، المجلد السابع والأربعون، العدد 3، يوليو 1992.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• لين تشين (1996). ديناميكيات أسعار الفائدة، وتسعير المشتقات، وإدارة المخاطر . سبرينغر . رقم ISBN 978-3-540-60814-1.
• راجنا جيبسون، فرانسوا سيرج لابيتانت، ودينيس تالاي (1999). نمذجة هيكل أسعار الفائدة الآجل: نظرة عامة . مجلة المخاطر، 1(3): 37-62، 1999.
• لين هيوغستون (2003). الماضي والحاضر والمستقبل لنمذجة البنية الزمنية؛ مدخل في بيتر فيلد (2003). إدارة المخاطر الحديثة . كتب المخاطر. رقم ISBN 978-1-906348-30-4.
• جيسيكا جيمس ونيك ويبر (2000). نمذجة أسعار الفائدة . وايلي فاينانس . رقم ISBN 978-0-471-97523-6.
• روبرت جارو (2002). نمذجة الأوراق المالية ذات الدخل الثابت وخيارات أسعار الفائدة (الطبعة الثانية) . مجلة ستانفورد للاقتصاد والتمويل. رقم ISBN 978-0-8047-4438-6.
• روبرت جارو (2009). "البنية الزمنية لأسعار الفائدة". المراجعة السنوية للاقتصاد المالي . 1 (1): 69-96. doi :10.1146/annurev.financial.050808.114513.
• إف سي بارك (2004). "تنفيذ نماذج أسعار الفائدة: دليل عملي" (PDF) . منشور بحثي صادر عن مركز أبحاث السياسة الاقتصادية . مؤرشف من الأصل (PDF) في 2010-08-16.
• ريكاردو ريبوناتو (2002). التسعير الحديث لمشتقات أسعار الفائدة . مطبعة جامعة برينستون . رقم ISBN 978-0-691-08973-7.
• ريكاردو ريبوناتو (2003). "نماذج هيكل المصطلح: مراجعة" (PDF) . ورقة عمل صادرة عن مركز البحوث الكمية التابع لبنك رويال اسكتلندا .