بليزيوهيدرون

في الهندسة ، يُعدّ البليسيوهيدرون نوعًا خاصًا من متعددات السطوح التي تملأ الفراغ ، ويُعرَّف بأنه خلية فورونوي لمجموعة ديلون المتناظرة . يمكن ملء الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بالكامل بنسخ من أيٍّ من هذه الأشكال، دون أي تداخل. وستكون للشبكة السداسية الناتجة تناظرات تسمح بتحويل أي نسخة من البليسيوهيدرون إلى أي نسخة أخرى.

تشمل الأشكال ثلاثية الأوجه المكعب ، والمنشور السداسي ، والمعين ذو الاثني عشر وجهًا ، وثماني الأوجه المقطوع . ويبلغ الحد الأقصى لعدد الأوجه التي يمكن أن يمتلكها الشكل ثلاثي الأوجه 38 وجهًا.

مجسم ثلاثي الأوجه ذو 17 وجهًا وشبكته الشبيهة بخلية النحل ، ومخطط فورونوي لمخطط لافيس

مجموعة${\displaystyle S}$تُسمى مجموعة النقاط في الفضاء الإقليدي مجموعة ديلون إذا وُجد عدد${\displaystyle \varepsilon >0}$بحيث كل نقطتين من${\displaystyle S}$على الأقل على مسافة${\displaystyle \varepsilon }$بمعزل عن بعضها البعض، بحيث تكون كل نقطة في الفضاء ضمن مسافة${\displaystyle 1/\varepsilon }$بنقطة واحدة على الأقل في${\displaystyle S}$. لذا${\displaystyle S}$يملأ الفراغ، لكن نقاطه لا تقترب من بعضها البعض أبدًا. ولكي يكون هذا صحيحًا،${\displaystyle S}$يجب أن تكون لانهائية. بالإضافة إلى ذلك، المجموعة${\displaystyle S}$يكون متناظرًا (بالمعنى اللازم لتعريف المجسم متعدد الأوجه) إذا كان، لكل نقطتين${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$ل${\displaystyle S}$، هناك حركة جامدة للفضاء تأخذ${\displaystyle S}$ل${\displaystyle S}$و${\displaystyle p}$ل${\displaystyle q}$أي تناظرات${\displaystyle S}$يتصرف بشكل متعدٍ على${\displaystyle S}$[ ^{1 ]​}

مخطط فورونوي لأي مجموعة${\displaystyle S}$تقسم النقاط الفضاء إلى مناطق تسمى خلايا فورونوي، وهي أقرب إلى نقطة معينة.${\displaystyle S}$أكثر من أي شيء آخر. عندما${\displaystyle S}$هي مجموعة ديلون، خلية فورونوي لكل نقطة${\displaystyle p}$في${\displaystyle S}$هو متعدد السطوح محدب . تقع أوجه هذا متعدد السطوح على المستويات التي تنصف بشكل عمودي القطع المستقيمة من${\displaystyle p}$إلى نقاط أخرى قريبة من${\displaystyle S}$[ ^{2 ]​}

متى${\displaystyle S}$بالإضافة إلى كونها متناظرة، يجب أن تكون خلايا فورونوي متطابقة مع بعضها البعض، وذلك لتناظرات${\displaystyle S}$يجب أن تكون هناك أيضًا تناظرات في مخطط فورونوي. في هذه الحالة، يُشكّل مخطط فورونوي شكلًا يشبه خلية النحل ، حيث يوجد شكل أولي واحد فقط ، وهو شكل خلايا فورونوي هذه. يُسمى هذا الشكل بالمجسم ثلاثي الأوجه. التبليط الناتج بهذه الطريقة متساوي الأوجه ، مما يعني أنه لا يحتوي فقط على شكل أولي واحد ("أحادي الأوجه")، بل يمكن أيضًا نقل أي نسخة من هذا الشكل إلى أي نسخة أخرى بفضل تناظر التبليط. ^{[ 1 ]}

كما هو الحال مع أي متعدد السطوح يملأ الفراغ، فإن ثابت دين لمتعدد السطوح البليسيهيدرون يساوي صفرًا بالضرورة. ^{[ 3 ]}

تشمل البليزيوهيدرا المتوازيات الخمسة . وهي متعددات وجوه تُستخدم لتبليط الفضاء بحيث يكون كل بلاطة متناظرة مع كل بلاطة أخرى بتناظر انتقالي، دون دوران. وبصورة مكافئة، تُعدّ البليزيوهيدرا خلايا فورونوي للشبكات ، لأنها مجموعات ديلون المتناظرة انتقاليًا. تُعتبر البليزيوهيدرا حالة خاصة من الستيريوهيدرا ، وهي البلاطات الأولية للتبليطات متساوية السطوح بشكل عام. ^{[ 1 ]} لهذا السبب (ولأن مخططات فورونوي تُعرف أيضًا باسم تبليطات ديريشليه)، فقد سُميت أيضًا "ستيريوهيدرا ديريشليه" ^{[ 4 ].}

يوجد عدد محدود فقط من الأنواع التوافقية للمجسمات ثلاثية الأوجه. ومن أبرز المجسمات ثلاثية الأوجه الفردية ما يلي:

• المتوازيات الخمسة: المكعب (أو بشكل أعم متوازي المستطيلات )، والمنشور السداسي ، والمعين ذو الاثني عشر وجهاً ، والاثني عشر وجهاً الممدود ، وثماني الأوجه المقطوع . ^{[ 5 ]}
• المنشور المثلثي ، وهو النموذج الأولي لقرص العسل المنشوري المثلثي . ^{[ 6 ]} وبشكل أعم، يمكن تمثيل كل نوع من أنواع تبليط لافيس الأحد عشر للمستوى بواسطة مضلعات محدبة متطابقة (وكل نوع فرعي من هذه التبليطات ذات مجموعات التناظر المختلفة) كخلايا فورونوي لمجموعة ديلون متناظرة في المستوى. ^{[ 7 ]} ويترتب على ذلك أن المنشورات فوق كل شكل من هذه الأشكال هي أشكال ثلاثية الأوجه. بالإضافة إلى المنشورات المثلثية، تشمل هذه المنشورات أشكالًا رباعية وخماسية وسداسية معينة.
• الجيروبيفاستيجيوم هو مجسم ثلاثي الأوجه، ولكنه ليس مجسمًا ثلاثي الأوجه، لأن النقاط الموجودة في مراكز خلايا تبليطه وجهًا لوجه (حيث تُجبر على التمركز بفعل التناظر) لها خلايا فورونوي مختلفة الشكل. مع ذلك، فإن النسخة المسطحة من الجيروبيفاستيجيوم، ذات الأوجه المصنوعة من مثلثات قائمة الزاوية متساوية الساقين ومستطيلات فضية ، هي مجسم ثلاثي الأوجه.
• الهرم الرباعي المقتطع ثلاثي الأوجه ، والبروتوتيل لقرص العسل رباعي الأوجه المقطوع ثلاثي الأوجه، والهرم الثلاثي الأوجه الناتج عن شبكة الماس ^{[ 1 ]}
• المجسم شبه المعيني ذو الاثني عشر وجهًا ، والبروتوتيل لقرص العسل شبه المعيني ذو الاثني عشر وجهًا، والمجسم البليسيوهيدرون الناتج عن التعبئة السداسية المتقاربة ^{[ 8 ].}
• خلايا فورونوي ذات 17 جانبًا في الرسم البياني لافيس ^{[ 9 ]}

تُعرف العديد من الأشكال البليسيوهيدرية الأخرى. وقد اكتشف عالم البلورات بيتر إنجل شكلين مختلفين منها، يمتلكان أكبر عدد معروف من الأوجه، وهو 38 وجهًا. ^{[ 1 ] [ 10 ]} لسنوات عديدة، ظلّ الحد الأقصى لعدد أوجه البليسيوهيدرون مسألة مفتوحة ، ^{[ 11 ] [ 4 ]} ولكن تحليل التناظرات الممكنة للفضاء ثلاثي الأبعاد أظهر أن هذا العدد لا يتجاوز 38. ^{[ 12 ]}

خلايا فورونوي المكونة من نقاط موزعة بانتظام على سطح حلزوني تملأ الفراغ، وهي متطابقة فيما بينها، ويمكن أن تحتوي على عدد كبير من الأوجه. ^{[ 13 ]} ومع ذلك، فإن النقاط الموجودة على السطح الحلزوني ليست مجموعة ديلون، وخلايا فورونوي الخاصة بها ليست متعددة السطوح محدودة.

يقدم شميت دراسة حديثة. ^{[ 12 ]}

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "متعدد السطوح الذي يملأ الفراغ" ، عالم الرياضيات