مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا

المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا هو متعدد السطوح يتكون من اثني عشر معينًا ، طول قطر كل وجه منها يساوي بالضبط${\displaystyle {\sqrt {2}}}$مضروبًا في طول القطر القصير للوجه ^{[ 1 ]} وقياس الزاوية الحادة هو${\textstyle \arccos(1/3)\approx 70.53^{\circ }}$. الزاوية ثنائية السطوح بين معينين هي 120 درجة. ^{[ 2 ]}

المعين ذو الاثني عشر وجهًا هو مجسم كاتالاني ، أي أنه المجسم الثنائي لمجسم أرخميدس ، وهو المكعب الثماني الأوجه ؛ إذ يشتركان في نفس التناظر، وهو التناظر الثماني الأوجه . ^{[ 2 ]} وهو مجسم متعدٍّ على الأوجه ، أي أن مجموعة التناظر الخاصة به تؤثر بشكل متعدٍّ على مجموعة أوجهه. بعبارة أخرى، هذا يعني أنه لأي وجهين، يوجد دوران أو انعكاس للمجسم يجعله يشغل نفس المنطقة من الفضاء عند نقل وجه إلى آخر. ^{[ 3 ]} إلى جانب المعين ذي الثلاثة عشر وجهًا ، يُعدّ المعين ذو الاثني عشر وجهًا أحد مجسمين كاتالانيين اللذين يتميزان بخاصية أن مجموعات التناظر الخاصة بهما متعدية على الحواف ؛ أما فئات المجسمات المحدبة الأخرى فهي المجسمات الأفلاطونية الخمسة والمجسمان الأرخميديان الآخران: مجسمه الثنائي والمجسم ذو العشرين اثني عشر وجهًا .

يشير إلى${\displaystyle a}$طول ضلع المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهاً،

• نصف قطر الكرة المحيطة بها (وهي كرة مماسة لكل وجه من أوجه المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا) هو: ( OEIS : A157697  )$${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.817a,}$$
• نصف قطر مركز الكرة هو: OEIS : A179587  )$${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.943a,}$$
• نصف قطر الكرة التي تمر عبر الرؤوس الستة من الرتبة الرابعة، ولكن ليس عبر الرؤوس الثمانية من الرتبة الثالثة، هو: ( OEIS : A020832  )$${\displaystyle r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.155a,}$$
• نصف قطر الكرة التي تمر عبر الرؤوس الثمانية من الرتبة الثالثة يساوي تمامًا طول الأضلاع:${\textstyle r_{\mathrm {t} }=a}$

مساحة السطح${\displaystyle A}$والحجم${\displaystyle V}$لشكل معيني ذي اثني عشر وجهًا بطول حافة${\displaystyle a}$هي: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}&\approx 11.314a^{2},\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}&\approx 3.079a^{3}.\end{aligned}}}$$

يمكن اعتبار المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا بمثابة الغلاف المحدب لاتحاد رؤوس المكعب وثماني الأوجه المنتظم، حيث تتقاطع الحواف بشكل عمودي. الرؤوس الستة التي تلتقي عندها أربعة معينات تُطابق رؤوس ثماني الأوجه ، بينما الرؤوس الثمانية التي تلتقي عندها ثلاثة معينات تُطابق رؤوس المكعب .

يُطلق على الهيكل العظمي للمجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا اسم الرسم البياني المعيني ذي الاثني عشر وجهًا ، ويتكون من 14 رأسًا و24 ضلعًا. وهو الرسم البياني لليفي لتكوين ميكيل ( 8 ₃ 6 ₄ ). ^{[ 5 ]}

صورة للمجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا المعطى بالنقاط ذات الإحداثيات (±1، ±1، ±1)، (±2، 0، 0)، (0، ±2، 0) و (0، 0، ±2).

أشكال البيريتوهيدرون المختلفة بين المكعب والمعين ذي الاثني عشر وجهاً. في منتصف عملية التحول، يصبح متعدد السطوح شكلاً منتظماً ذا اثني عشر وجهاً.

بناء مجسم ذي اثني عشر وجهًا معينيًا عن طريق قلب الأهرامات المركزية لمكعب

لطول الحافة${\displaystyle {\sqrt {3}}}$تُعطى إحداثيات الرؤوس الثمانية التي تلتقي فيها ثلاثة أوجه بزواياها المنفرجة بالإحداثيات الديكارتية (±1، ±1، ±1). أما إحداثيات الرؤوس الستة التي تلتقي فيها أربعة أوجه بزواياها الحادة، فهي (±2، 0، 0)، (0، ±2، 0)، و(0، 0، ±2).

يمكن اعتبار الشكل المعيني ذو الاثني عشر وجهًا حالة حدية متدهورة من الشكل البيريتوهيدرون ، مع تبديل الإحداثيات (±1، ±1، ±1) و (0، 1 + h ، 1 − h ² ) مع المعلمة h  =  1.

توضح هذه الإحداثيات أن المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا يُمكن اعتباره مكعبًا مُلحقًا به ستة أهرامات مربعة على كل وجه، مما يسمح بتداخلها لتشكيل مكعب. وبالتالي، فإن حجم المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا يساوي ضعف حجم المكعب المُحاط به، والذي تتساوى أطوال أضلاعه مع الأقطار القصيرة للمعينات. ^{[ 6 ]} وبدلاً من ذلك، يُمكن إنشاء المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا عن طريق قلب ستة أهرامات مربعة حتى تلتقي رؤوسها في مركز المكعب. ^{[ 7 ]}

في تصميم عجلات رد الفعل للمركبات الفضائية، يُستخدم عادةً تكوين رباعي الأوجه لأربع عجلات. بالنسبة للعجلات التي تؤدي أداءً متساوياً (من حيث ذروة عزم الدوران وأقصى زخم زاوي) في كلا اتجاهي الدوران وعبر جميع العجلات الأربع، يتم تحديد أقصى عزم دوران وأقصى زخم لنظام التحكم في الوضع ثلاثي المحاور (مع الأخذ في الاعتبار المحركات المثالية) عن طريق إسقاط المكعب الفائق الذي يمثل حدود عزم دوران أو زخم كل عجلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد عبر مصفوفة 3 × 4 لمحاور العجلات؛ ويكون المجسم ثلاثي الأبعاد الناتج عبارة عن مجسم معيني ذي اثني عشر وجهاً. ^{[ 11 ]} لا يُعدّ هذا الترتيب لعجلات رد الفعل التكوين الوحيد الممكن (إذ يتألف ترتيب أبسط من ثلاث عجلات مثبتة لتدور حول محاور متعامدة)، ولكنه يتميز بتوفير نظام احتياطي للتخفيف من آثار تعطل إحدى العجلات الأربع (مع انخفاض الأداء الكلي المتاح من العجلات الثلاث النشطة المتبقية)، كما أنه يوفر نطاقًا أكثر تحدبًا من المكعب، مما يقلل من اعتماد المناورة على اتجاه المحور (من وجهة نظر المشغل/النظام). تؤثر خصائص كتلة المركبة الفضائية على زخم النظام الكلي ومناورته، لذا فإن انخفاض التباين في حدود النطاق لا يؤدي بالضرورة إلى زيادة التجانس في انحيازات المحور المفضل (أي أنه حتى مع وجود حد أداء موزع بشكل مثالي داخل النظام الفرعي للمشغل، فإن محاور الدوران المفضلة ليست بالضرورة عشوائية على مستوى النظام).

يُعد المجسم متعدد الأوجه أيضًا أساسًا لشبكة HEALPix ، المستخدمة في علم الكونيات لتخزين ومعالجة خرائط الخلفية الكونية الميكروية ، وفي رسومات الحاسوب لتخزين خرائط البيئة .

تضمّ مجموعات متحف اللوفر نردًا على شكل مجسم معيني ذي اثني عشر وجهًا، يعود تاريخه إلى مصر البطلمية . نُقشت على أوجهه أحرف يونانية تمثل الأرقام من 1 إلى 12: Α Β Γ Δ Ε Ϛ Z Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. وظيفة هذا النرد غير معروفة. ^{[ 12 ]}

مجسم ذو اثني عشر وجهًا معينيًا، لكن بوجوه مربعة ومعينية.

مجسم بيلينسكي ذو الاثني عشر وجهًا

تُعدّ الأشكال المتناظرة الأخرى للمجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا أيضًا أشكالًا تملأ الفراغ، وباعتبارها متوازيات أوجه، فهي تُشبه أشكالًا مختلفة من المجسمات الثمانية السطوح المبتورة التي تملأ الفراغ . ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، ذو 4 أوجه مربعة، وأوجه معينية بزاوية 60 درجة، وتناظر ثنائي السطوح _D4h ، من الرتبة 16. ويمكن اعتباره مجسمًا ثماني السطوح مكعبًا مع أهرامات مربعة متصلة في الأعلى والأسفل.

في عام 1960، اكتشف ستانكو بيلينسكي شكلاً ثانياً من أشكال المجسمات المعينية الاثني عشرية، يتكون من 12 وجهاً معينياً متطابقاً، وهو مجسم بيلينسكي ذو الاثني عشر وجهاً . يتميز هذا المجسم بنفس البنية الطوبولوجية ولكن بهندسة مختلفة. وتتطابق نسبة الأوجه المعينية في هذا الشكل مع النسبة الذهبية . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

رسم ونموذج بلوري لمجسم اثني عشري دلتويدي

يُعدّ المجسم ذو الاثني عشر وجهًا الدلتاوي مكافئًا طوبولوجيًا آخر لشكل المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا. ^{[ 16 ]} وهو متماثل الأوجه ذو تناظر رباعي الأوجه من الرتبة 24، مما يُشوّه الأوجه المعينية إلى أشكال طائرة ورقية (دلتويدية). يحتوي على 8 رؤوس مُعدّلة للداخل أو للخارج في مجموعات متناوبة من 4، مع حالة حدية عبارة عن غلاف رباعي الأوجه. يمكن تمثيل الاختلافات بالمعامل ( a , b )، حيث يعتمد b و a على بعضهما البعض بحيث يكون حجم رباعي الأوجه المُحدد برؤوس الوجه الأربعة صفرًا، أي أنه وجه مستوٍ . (1,1 ) هو الحل المعيني. عندما يقترب a من 1/2 ، يقترب b من اللانهاية. من الثابت دائماً أن 1 / a + 1 / b = 2 ، حيث a و b > 1 / 2 .

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

( أ ، أ ، أ )، (-أ ، -أ ، أ ) ، (-أ ، أ ، -أ ) ، ( أ ، -أ ، -أ )

(− b , − b , − b ), (− b , b , b ), ( b , − b , b ), ( b , b , − b )

(1,1)	( ⁠ 7 / 8 ⁠ , ⁠ 7 / 6 ⁠ )	( ⁠ 3 / 4 ⁠ , ⁠ 3 / 2 ⁠ )	( ⁠ 2 / 3 ⁠ ,2)	( ⁠ 5 / 8 ⁠ , ⁠ 5 / 2 ⁠ )	( 9 / 16 , 9 / 2 )​​​​

بعض الأشكال المعينية النجمية ذات الاثني عشر وجهًا

كغيره من المجسمات المحدبة، يمكن تحويل المعين ذي الاثني عشر وجهًا إلى شكل نجمي بتمديد أوجهه أو حوافه حتى تلتقي لتشكل مجسمًا جديدًا. وقد وصف دورمان لوك العديد من هذه الأشكال النجمية. ^{[ 17 ]} الشكل النجمي الأول، والذي يُطلق عليه غالبًا اسم المعين ذي الاثني عشر وجهًا النجمي ، يُمكن اعتباره معينًا ذا اثني عشر وجهًا مُضافًا إليه هرم قاعدته معينية، بحيث يكون ارتفاع الهرم بحيث تقع جوانبه في مستويات الأوجه المجاورة. ويصف لوك أربعة أشكال نجمية أخرى: الشكلان النجميان الثاني والثالث (المتوسعان للخارج)، وشكل ناتج عن إزالة الشكل الثاني من الشكل الثالث، وآخر ناتج عن إضافة المعين ذي الاثني عشر وجهًا الأصلي إلى الشكل السابق.

يشكّل المعين ذو الاثني عشر وجهًا غلاف الإسقاط الرأسي الأول لمكعب رباعي الأبعاد إلى ثلاثة أبعاد. توجد طريقتان فقط لتقسيم المعين ذي الاثني عشر وجهًا إلى أربعة معينات متطابقة ، مما ينتج عنه ثمانية معينات ممكنة كإسقاطات للخلايا المكعبة الثمانية للمكعب الرباعي الأبعاد. إحدى مجموعات متجهات الإسقاط هي: u = (1,1,−1,−1)، v = (−1,1,−1,1)، w = (1,−1,−1,1).

يشكّل المعين ذو الاثني عشر وجهًا المقطع العرضي الأقصى لمجسم ذي 24 خلية ، كما يشكّل غلاف إسقاطه المتوازي ذي الرؤوس المتقابلة في ثلاثة أبعاد. يمكن تقسيم المعين ذو الاثني عشر وجهًا إلى ستة أهرامات ثنائية مربعة متطابقة (لكنها غير منتظمة) تلتقي عند رأس واحد في المركز؛ تشكّل هذه الأهرامات صورًا لستة أزواج من الخلايا الثمانية السطوح للمجسم ذي الـ 24 خلية. أما الخلايا الثمانية السطوح الـ 12 المتبقية فتسقط على أوجه المعين ذي الاثني عشر وجهًا. يعود عدم انتظام هذه الصور إلى التشوه الإسقاطي؛ أما أوجه المجسم ذي الـ 24 خلية فهي ثمانيات سطوح منتظمة في الفضاء الرباعي الأبعاد.

يُتيح هذا التفكيك طريقةً مثيرةً للاهتمام لبناء المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا: يُقطع مكعب إلى ستة أهرامات مربعة متطابقة، وتُلصق هذه الأهرامات بأوجه مكعب آخر. تقع الأوجه المثلثية لكل زوج من الأهرامات المتجاورة على نفس المستوى، وبالتالي تندمج لتُشكّل معينات. ويمكن أيضًا بناء المجسم ذي الأربع والعشرين خلية بطريقة مماثلة باستخدام مكعبين رباعيي الأبعاد . ^{[ 18 ]}

• ربط ثلاثي الأوجه المعيني ومركب اثني عشري معيني ، مركب اثني عشري معيني خماسي ومركب اثني عشري معيني خماسي بواسطة ساندور كاباي، مشروع عروض وولفرام .

• تقويم على شكل معين ذي اثني عشر وجهًا - اصنع تقويمًا على شكل معين ذي اثني عشر وجهًا بدون غراء
• تقويم آخر على شكل معين ذي اثني عشر وجهًا، مؤرشف بتاريخ 1 يوليو 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) - مصنوع من خلال جدل شرائط ورقية

• أمثلة من معهد أرخميدس لمشاريع بناء المساكن الفعلية باستخدام هذا التصميم الهندسي