بليمبتون 322

لوح بليمبتون 322 هو لوح طيني بابلي ، يُعتقد أنه كُتب حوالي عام 1800 قبل الميلاد، ويحتوي على جدول رياضي مكتوب بالخط المسماري . يرتبط كل صف من الجدول بثلاثية فيثاغورس ، أي ثلاثية من الأعداد الصحيحة. $(s,l,d)$ الذي يحقق نظرية فيثاغورس ، $s^{2}+l^{2}=d^{2}$ وهي القاعدة التي تُساوي مجموع مربعي ضلعي المثلث القائم الزاوية بمربع الوتر. وقد كُتبت مخطوطة بليمبتون 322 قبل ما يقارب 13 إلى 15 قرنًا من العصر الذي شهد الاكتشافات اليونانية الكبرى في الهندسة.

عندما أدرك أوتو نويغباور وأبراهام ساكس الأهمية الرياضية للوح في أربعينيات القرن العشرين، كانت بعض الألواح البابلية القديمة التي تستخدم قاعدة فيثاغورس معروفة بالفعل. ^{[ 1 ]} إضافةً إلى تقديم دليل إضافي على معرفة كتّاب بلاد ما بين النهرين بهذه القاعدة واستخدامهم لها، فقد أشار بليمبتون 322 بقوة إلى امتلاكهم طريقة منهجية لتوليد ثلاثيات فيثاغورس، إذ إن بعض هذه الثلاثيات كبيرة جدًا ومن غير المرجح اكتشافها بطرق عشوائية . على سبيل المثال، يتعلق الصف الرابع من الجدول بالثلاثية (12709، 13500، 18541).

يسرد الجدول حصريًا الثلاثيات $(s,l,d)$ حيث الساق الأطول، $l$ العدد (غير المذكور على اللوح) هو عدد منتظم ، أي عدد عوامله الأولية هي 2 أو 3 أو 5. ونتيجة لذلك، فإن النسب $s/l$ و $d/l$ أما الضلعان الآخران للساق الطويلة فلهما تمثيلات دقيقة ومنتهية في النظام العددي الستيني (الأساس 60) لسكان بلاد ما بين النهرين. من المرجح أن يحتوي العمود الأول على مربع النسبة الأخيرة. $d^{2}/l^{2}$ وهي مرتبة تنازليًا، بدءًا من رقم قريب من 2، قيمة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين ذي الزوايا $45^{\circ }$ ، $45^{\circ }$ ، $90^{\circ }$ وينتهي الأمر بنسبة المثلث ذي الزوايا التقريبية $32^{\circ }$ ، $58^{\circ }$ ، $90^{\circ }$ مع ذلك، يُعتقد أن البابليين لم يستخدموا مفهوم الزاوية المقاسة. يُفسَّر العمودان الثاني والثالث عادةً على أنهما يحتويان على الضلع القصير والوتر. ونظرًا لبعض الأخطاء في الجدول وتلف اللوح، فمن الممكن وجود تفسيرات بديلة، لا تزال مرتبطة بالمثلثات القائمة الزاوية.

لا يُعرف الغرض من جدول بليمبتون 322. رأى نويغباور وساكس في هذا الجدول دراسةً لحلول معادلة فيثاغورس بالأعداد الصحيحة، واقترحا دافعًا نظريًا عدديًا . واقترحا أن الجدول جُمع باستخدام قاعدة مشابهة لتلك التي استخدمها إقليدس في كتاب الأصول . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} وقد فضّل العديد من الباحثين اللاحقين اقتراحًا مختلفًا، حيثُ يُستخدم عدد $x$ يُستخدم العدد الأكبر من 1، ذو البسط والمقام المنتظمين، لتكوين الكمية ${\tfrac {1}{2}}\left(x+{\tfrac {1}{x}}\right)$ هذه الكمية لها تمثيل ستينيّ محدود، ولها الخاصية الأساسية وهي أنه إذا رُبّعت وطُرح منها 1، فإن الناتج له جذر تربيعي نسبيّ له أيضًا تمثيل ستينيّ محدود. هذا الجذر التربيعي، في الواقع، يساوي ${\tfrac {1}{2}}\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)$ والنتيجة هي أن

\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),1,{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)

هو ثلاثي فيثاغورسي نسبي، يمكن من خلاله الحصول على ثلاثي فيثاغورسي صحيح عن طريق إعادة القياس. تدعم عناوين الأعمدة على اللوح، بالإضافة إلى وجود الألواح YBC 6967 وMS 3052 وMS 3971 التي تحتوي على حسابات ذات صلة، هذا الاقتراح.

يرى معظم الباحثين المعاصرين أن الدافع النظري العددي وراء لوح بليمبتون 322 غير مناسب تاريخيًا ، نظرًا لما هو معروف عن الرياضيات البابلية عمومًا. كما يُستبعد اقتراح أن يكون اللوح جدولًا حسابيًا للمثلثات لأسباب مماثلة، إذ يبدو أن البابليين لم يكونوا على دراية بمفهوم قياس الزوايا. وقد طُرحت اقتراحات مختلفة، منها أن اللوح كان له غرض عملي في الهندسة المعمارية أو المساحة، أو أنه كان بحثًا هندسيًا بدافع الاهتمام الرياضي، أو أنه كان تجميعًا لمعايير تمكّن المعلم من وضع مسائل للطلاب. وفيما يتعلق بالاقتراح الأخير، يطرح كريتون باك ، في تقريره عن عمل لم يُنشر لـ د. ل. فويلز، احتمال أن يكون للوح علاقة عرضية فقط بالمثلثات القائمة، وأن يكون غرضه الأساسي هو المساعدة في وضع مسائل تتعلق بالأزواج المقلوبة، على غرار مسائل المعادلات التربيعية الحديثة. ويذكر باحثون آخرون، مثل يوران فريبيرغ وإليانور روبسون ، الذين يؤيدون أيضًا تفسير اللوح كأداة مساعدة للمعلم، أن المسائل المقصودة ربما كانت تتعلق بالمثلثات القائمة. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

الأصل والتأريخ

لوح بليمبتون 322 مكسور جزئيًا، ويبلغ عرضه حوالي 13 سم (5.1 بوصة) ، وارتفاعه 9 سم (3.5 بوصة) ، وسُمكه 2 سم (0.8 بوصة) . اشترى الناشر النيويوركي جورج آرثر بليمبتون اللوح من تاجر الآثار إدغار ج. بانكس حوالي عام 1922، وأوصى به مع بقية مجموعته لجامعة كولومبيا في منتصف ثلاثينيات القرن العشرين. ووفقًا لبانكس، فإن اللوح جاء من سنكره، وهو موقع في جنوب العراق يُطابق مدينة لارسا القديمة . ^[⁶^]

يُعتقد أن اللوح كُتب حوالي عام 1800 قبل الميلاد (باستخدام التسلسل الزمني الأوسط )، ^{[ 7 ]} استنادًا جزئيًا إلى أسلوب الكتابة اليدوية المستخدمة في كتابته المسمارية : يكتب روبسون (2002) أن هذه الكتابة اليدوية "نموذجية للوثائق من جنوب العراق التي يعود تاريخها إلى ما بين 4000 و3500 عام". وبشكل أكثر تحديدًا، استنادًا إلى أوجه التشابه في التنسيق مع ألواح أخرى من لارسا تحمل تواريخ صريحة، فمن المرجح أن يكون لوح بليمبتون 322 من الفترة ما بين 1822 و1784 قبل الميلاد. ^{[ 8 ]} ويشير روبسون إلى أن لوح بليمبتون 322 كُتب بنفس تنسيق الوثائق الإدارية الأخرى، وليس الوثائق الرياضية، في تلك الفترة. ^{[ 9 ]}

محتوى

المحتوى الرئيسي للوحة بليمبتون 322 عبارة عن جدول أرقام، يتألف من أربعة أعمدة وخمسة عشر صفًا، مكتوبًا بالنظام الستيني البابلي . العمود الرابع هو مجرد رقم صف، مرتب من 1 إلى 15. العمودان الثاني والثالث ظاهران بوضوح في اللوحة المتبقية. مع ذلك، فقد انكسرت حافة العمود الأول، وهناك تفسيران متسقان لما قد تكون عليه الأرقام المفقودة؛ ويكمن الاختلاف بين هذين التفسيرين في ما إذا كان كل رقم يبدأ برقم إضافي يساوي 1 أم لا.

مع اختلاف الاستقراءات الموضحة بين قوسين، والأجزاء التالفة من العمودين الأول والرابع التي يُفترض محتواها والموضحة بخط مائل، وستة أخطاء مفترضة موضحة بخط غامق إلى جانب التصحيحات المقترحة عمومًا بين قوسين مربعين أسفلها، فإن هذه الأرقام هي

ta kiltum of the diagonal from which 1 is to tear out so the width comes up	ÍB.SI ₈ من العرض	ÍB.SI ₈ من القطر	خطها
(1) 59 00 15	1 59	2 49	الأول
(1) 56 56 58 14 56 15 (1) 56 56 58 14 [50 06] 15	56 07	3 12 01 [1 20 25]	الثاني
(1) 55 07 41 15 33 45	1 16 41	1 50 49	الثالث
(1) 5 3 10 29 32 52 16	3 31 49	5 09 01	الرابع
(1) 48 54 01 40	1 05	1 37	الخامس
(1) 47 06 41 40	5 19	8 01	السادس
(1) 43 11 56 28 26 40	38 11	59 01	السابع
(1) 41 33 59 03 45 (1) 41 33 [45 14] 03 45	13 19	20 49	الثامن
(1) 38 33 36 36	9 01 [8] 01	12 49	التاسع
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40	1 22 41	2 16 01	العاشر
(1) 33 45	45	1 15	الحادي عشر
(1) 29 21 54 02 15	27 59	48 49	الثاني عشر
(1) 27 00 03 45	7 12 01 [2 41]	4 49	الثالث عشر
(1) 25 48 51 35 06 40	29 31	53 49	الرابع عشر
(1) 23 13 46 40	56 56 [28] (بديل)	53 [1 46] 53 (بديل)	الخامس عشر

يظهر بديلان محتملان للتصحيح في الصف 15: إما استبدال 53 في العمود الثالث بضعف قيمته، 1 46، أو استبدال 56 في العمود الثاني بنصف قيمته، 28.

من المحتمل وجود أعمدة إضافية في الجزء المكسور من اللوح إلى يسار هذه الأعمدة. لم يحدد النظام الستيني البابلي قوة العدد 60 التي تُضرب بها كل قيمة، مما يجعل تفسير هذه القيم غامضًا. تُعتبر القيم في العمودين الثاني والثالث عمومًا أعدادًا صحيحة. أما القيم في العمود الأول، فلا يمكن فهمها إلا على أنها كسور، وتقع جميع قيمها بين 1 و2 (بافتراض وجود الرقم 1 في البداية، وتقع بين 0 و1 في حال عدم وجوده).

هذه الكسور دقيقة، وليست كسورًا مختصرة أو تقريبية. يظهر أدناه التحويل العشري للوح وفقًا لهذه الافتراضات. معظم الكسور الستينية الدقيقة في العمود الأول لا تحتوي على توسعات عشرية منتهية، وقد تم تقريبها إلى سبعة منازل عشرية.

$d^{2}/l^{2}$ أو $s^{2}/l^{2}$	الجانب القصير $s$	قطري $d$	صف #
(1).9834028	119	169	1
(1).9491586	3367	4825	2
(1).9188021	4601	6649	3
(1).8862479	12709	18,541	4
(1).8150077	65	97	5
(1).7851929	319	481	6
(1).7199837	2291	3541	7
(1).6927094	799	1249	8
(1).6426694	481	769	9
(1).5861226	4961	8161	10
(1).5625	45 ^*	75 ^*	11
(1).4894168	1679	2929	12
(1).4500174	161	289	13
(1).4302388	1771	3229	14
(1).3871605	56 ^*	106 ^*	15

^كما في السابق، يوجد تصحيح بديل محتمل للصف 15، حيث يحتوي العمود الثاني على 28 والعمود الثالث على 53. تحتوي القيم في العمودين الثاني والثالث من الصف 11، على عكس جميع الصفوف الأخرى باستثناء الصف 15 ربما، على عامل مشترك. من الممكن أن يُفهم العددان 45 و1/15 على أنهما 3/4 و5/4، وهو ما يتوافق مع القياس القياسي (0.75، 1، 1.25) للمثلث القائم الزاوية المألوف (3، 4، 5) في الرياضيات البابلية.

في كل صف، يمكن تفسير الرقم الموجود في العمود الثاني على أنه الجانب الأقصر $s$ في المثلث القائم الزاوية، ويمكن تفسير الرقم الموجود في العمود الثالث على أنه الوتر $d$ من المثلث. في جميع الحالات، الضلع الأطول $l$ وهو أيضًا عدد صحيح، مما يجعل $s$ و $d$ عنصران من عناصر ثلاثية فيثاغورس . العدد الموجود في العمود الأول هو إما الكسر ${\textstyle s^{2}/l^{2}}$ (إذا لم يتم تضمين الرقم "1") أو ${\textstyle {\frac {d^{2}}{l^{2}}}\,=\,1+{\frac {s^{2}}{l^{2}}}}$ (إذا تم تضمين الرقم "1"). في كل الأحوال، يكون الجانب الأطول $l$ هو عدد منتظم ، أي أنه قاسم صحيح لقوة من قوى العدد 60، أو بصورة مكافئة، حاصل ضرب قوى الأعداد 2 و3 و5. ولهذا السبب، فإن الأعداد في العمود الأول أعداد دقيقة، لأن قسمة عدد صحيح على عدد منتظم ينتج عنه عدد ستيني منتهٍ. على سبيل المثال، يمكن تفسير السطر 1 من الجدول على أنه يصف مثلثًا طول ضلعه القصير 119 ووتره 169، مما يعني أن طول ضلعه الطويل 169. ${\sqrt {169^{2}-119^{2}}}=120$ وهو عدد عادي (2 ³ × 3 × 5). العدد في العمود 1 هو إما (169/120) ² أو (119/120) ² .

عناوين الأعمدة

يحتوي كل عمود على عنوان مكتوب باللغة الأكادية . بعض الكلمات عبارة عن رموز سومرية ، كان من الممكن أن يفهمها القراء على أنها ترمز إلى كلمات أكادية. تشمل هذه الرموز ÍB.SI _{8 ، وهي اختصار}لكلمة mithartum الأكادية ("مربع")، وMU.BI.IM، وهي اختصار لكلمة šumšu الأكادية ("خطه")، وSAG، وهي اختصار لكلمة pūtum الأكادية ("عرض"). يسبق كل رقم في العمود الرابع الرمز السومري KI، الذي، وفقًا لنويغباور وساكس (1945) ، "يمنحها صفة الأعداد الترتيبية". في الجدول الستيني أعلاه، تمثل الكلمات المائلة وأجزاء الكلمات أجزاءً من النص غير قابلة للقراءة بسبب تلف اللوح أو عدم وضوحها، والتي أعاد الباحثون المعاصرون بناءها. تم ترك المصطلحين ÍB.SI ₈ و takiltum دون ترجمة لوجود جدل مستمر حول معناهما الدقيق.

يمكن ترجمة عناوين العمودين 2 و3 إلى "مربع العرض" و"مربع القطر"، لكن روبسون (2001) (ص 173-174) يرى أن المصطلح ÍB.SI ₈ قد يشير إما إلى مساحة المربع أو إلى ضلعه، وفي هذه الحالة يجب فهمه على أنه "ضلع المربع" أو ربما "الجذر التربيعي". وبالمثل ، يلاحظ بريتون وبروست وشنايدر (2011) (ص 526) أن المصطلح يظهر غالبًا في المسائل التي يُستخدم فيها إكمال المربع لحل ما يُعرف الآن بالمعادلات التربيعية، حيث يشير في هذا السياق إلى ضلع المربع المكتمل، ولكنه قد يُستخدم أيضًا للإشارة إلى "أن المقصود هو بُعد خطي أو قطعة مستقيمة ". من ناحية أخرى، يقدم نويغباور وساكس (1945) (ص 35، 39) أمثلة يشير فيها المصطلح إلى نتائج مجموعة واسعة من العمليات الرياضية المختلفة ويقترحون الترجمة "عدد الحل للعرض (أو القطر)". وبالمثل، يقترح فريبيرغ (1981) (ص 300) الترجمة "الجذر".

في العمود الأول، تالفة الأجزاء الأولى من سطري العنوان. أعاد نويغباور وساكس (1945) بناء الكلمة الأولى على أنها "تاكيلتي" (صيغة من "تاكيلتوم ")، وهي قراءة اعتمدها معظم الباحثين اللاحقين. كان يُنظر إلى العنوان عمومًا على أنه غير قابل للترجمة حتى اقترح روبسون (2001) إدخال الرقم 1 في الجزء المكسور من السطر الثاني، ونجح في فك شفرة الكلمة الأخيرة غير المقروءة، مما أنتج القراءة الواردة في الجدول أعلاه. بناءً على تحليل لغوي مفصل، يقترح روبسون ترجمة " تاكيلتوم " إلى "إمساك المربع". ^{[ 10 ]}

استعرض بريتون، وبروست، وشنايدر (2011) الحالات القليلة المعروفة نسبيًا لكلمة "تاكيلتوم" في الرياضيات البابلية القديمة. وبينما لاحظوا أنها، في معظم الحالات، تشير إلى البُعد الخطي للمربع الإضافي المُضاف إلى الشكل أثناء إكمال المربع، وهي الكمية المطروحة في الخطوة الأخيرة من حل المعادلة التربيعية، إلا أنهم يتفقون مع روبسون على أنها في هذه الحالة تُفهم على أنها تشير إلى مساحة المربع. من جهة أخرى، يقترح فريبيرغ (2007) أن الجزء المكسور من العنوان " تاكيلتوم" ربما سبقته كلمة "أ-شا " ("مساحة"). وهناك الآن اتفاق واسع النطاق على أن العنوان يصف العلاقة بين المربعات على العرض (الضلع القصير) والقطر لمستطيل طوله (الضلع الطويل) 1: طرح المساحة 1 من المربع على القطر يُعطي مساحة المربع على العرض.

أخطاء

كما هو موضح في الجدول أعلاه، يعتقد معظم الباحثين أن اللوح يحتوي على ستة أخطاء، وباستثناء التصحيحين المحتملين في الصف 15، هناك اتفاق واسع النطاق حول القيم الصحيحة. ويختلف الباحثون حول كيفية حدوث هذه الأخطاء وما تعنيه بالنسبة لطريقة حساب اللوح. وفيما يلي ملخص للأخطاء.

تُعتبر الأخطاء في الصف الثاني، العمود الأول (إهمال ترك مسافات بين 50 و6 لغياب الرقمين 1 و10) والصف التاسع، العمود الثاني (كتابة 9 بدلًا من 8) أخطاءً طفيفة في النسخ من لوح الكتابة (أو ربما من نسخة سابقة من الجدول). أما الخطأ في الصف الثامن، العمود الأول (استبدال الرقمين الستينيين 45 و14 بمجموعهما، 59) فيبدو أنه لم يُلاحظ في بعض الأوراق المبكرة المتعلقة باللوح. وقد اعتُبر أحيانًا (على سبيل المثال في روبسون (2001) ) خطأً بسيطًا ارتكبه الناسخ أثناء النسخ من لوح الكتابة.

كما ورد في بريتون، بروست، وشنايدر (2011) ، اقترح عدد من الباحثين أن هذا الخطأ يُفسَّر على نحوٍ أكثر منطقية بأنه خطأ في الحساب الذي أدى إلى ظهور الرقم، كأن يغفل الكاتب مثلاً عن الصفر الأوسط (الفراغ الذي يُمثِّل الرقم صفر) عند إجراء عملية الضرب. ويتوافق هذا التفسير للخطأ مع كلا المقترحين الرئيسيين لطريقة إنشاء الجدول. (انظر أدناه).

أما الأخطاء الثلاثة المتبقية فلها آثار على طريقة حساب الجدول. فالرقم 7 12 1 في الصف 13، العمود 2، هو مربع القيمة الصحيحة، 2 41. وبافتراض أن الأطوال في العمود 2 حُسبت بأخذ الجذر التربيعي لمساحة المربع المقابل، أو أن الطول والمساحة حُسبا معًا، يُمكن تفسير هذا الخطأ إما بإهمال أخذ الجذر التربيعي، أو بنسخ الرقم الخاطئ من جدول عمل. ^{[ 11 ]}

إذا فُهم الخطأ في الصف 15 على أنه كتابة 56 بدلاً من 28 في العمود 2، فيمكن تفسير هذا الخطأ كنتيجة لتطبيق غير صحيح لخوارزمية الجزء الأخير، وهي خوارزمية ضرورية إذا تم حساب الجدول باستخدام أزواج المقلوب كما هو موضح أدناه. ويتمثل هذا الخطأ في تطبيق إجراء تكراري لإزالة العوامل المنتظمة المشتركة بين الأرقام في العمودين 2 و3 عددًا غير صحيح من المرات في أحد العمودين. ^{[ 12 ]}

لا توجد علاقة واضحة بين الرقم في الصف الثاني، العمود الثالث، والرقم الصحيح، وتفترض جميع التفسيرات لكيفية الحصول على هذا الرقم وجود أخطاء متعددة. لاحظ بروينز (1957) أن الرقم 3 12 01 قد يكون مجرد خطأ في نسخ الرقم 3 13. إذا كان هذا هو الحال، فإن تفسير الرقم غير الصحيح 3 13 يُشابه تفسير الخطأ في الصف الخامس عشر. ^{[ 13 ]}

يُستثنى من هذا الرأي السائد دراسة فريبيرغ (2007) ، حيث تفترض، في خروج عن التحليل السابق للمؤلف نفسه ( فريبيرغ (1981) )، أن الأرقام في الصف 15 ليست خاطئة، بل كُتبت كما هو مُراد، وأن الخطأ الوحيد في الصف 2، العمود 3، هو كتابة 3 13 خطأً على أنها 3 12 01. وبناءً على هذه الفرضية، من الضروري إعادة تفسير العمودين 2 و3 على أنهما "اللب المُختزل للعوامل الأمامية والقطرية". اللب المُختزل للعوامل هو العدد بعد إزالة العوامل المربعة المنتظمة؛ وكان حساب اللب المُختزل للعوامل جزءًا من عملية حساب الجذور التربيعية في الرياضيات البابلية القديمة. وفقًا لـ Friberg، "لم يكن قصد مؤلف Plimpton 322 أبدًا هو اختزال سلسلته من الثلاثيات القطرية المعيارية (بطول يساوي 1 في كل ثلاثية) إلى سلسلة مقابلة من الثلاثيات القطرية الأولية (حيث يكون الجزء الأمامي والطول والقطر مساويًا لأعداد صحيحة بدون عوامل مشتركة)." ^{[ 14 ]}

بناء الجدول

لا يزال الباحثون يختلفون حول كيفية توليد هذه الأرقام. فقد حدد كل من باك (1980) وروبسون (2001) مقترحين رئيسيين لطريقة إنشاء الجدول: طريقة توليد الأزواج، التي اقترحها نويغباور وساكس (1945) ، وطريقة الأزواج المتبادلة، التي اقترحها بروينز ^{[ 15 ]} وطورها فويلز ^{[ 16 ]} ، وشميدت (1980) ، وفريبيرغ ^{[ 17 ] .}

توليد الأزواج

إذا استخدمنا المصطلحات الحديثة $p$ و $q$ هي أعداد طبيعية بحيث $p>q$ ثم $(p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})$ يشكل مثلثًا فيثاغورسيًا. هذا المثلث أولي، أي أن أضلاعه الثلاثة لا يوجد بينها عامل مشترك، إذا $p$ و $q$ هي أعداد أولية فيما بينها وليست فردية في الوقت نفسه. يقترح نويغباور وساكس أن اللوح تم إنشاؤه عن طريق اختيار $p$ و $q$ أن تكون أعدادًا منتظمة أولية فيما بينها (لكن قد يكون كلاهما فرديًا - انظر الصف 15) وحسابها $d=p^{2}+q^{2}$ ، $s=p^{2}-q^{2}$ ، و $l=2pq$ (لهذا السبب $l$ وهو أيضًا عدد عادي).

على سبيل المثال، سيتم إنشاء السطر 1 عن طريق ضبط $p=12$ و $q=5$ يشير كل من باك وروبسون إلى أن وجود العمود 1 في هذا المقترح أمرٌ غامض، إذ لا يلعب أي دور في عملية البناء، وأن المقترح لا يفسر سبب ترتيب صفوف الجدول على هذا النحو، بدلاً من ترتيبها، على سبيل المثال، وفقًا لقيمة $p$ أو $q$ والتي، وفقًا لهذه الفرضية، ربما كانت مدرجة في الأعمدة الموجودة على اليسار في الجزء المكسور من اللوح. ويجادل روبسون أيضًا بأن الاقتراح لا يفسر كيف يمكن أن تنشأ الأخطاء في الجدول بشكل معقول، ولا يتوافق مع الثقافة الرياضية السائدة في ذلك الوقت. ^{[ 18 ]}

الأزواج المتبادلة

في اقتراح الزوج المتبادل، تكون نقطة البداية كسرًا ستينيًا منتظمًا واحدًا x مع مقلوبه 1/ x . يُقصد بـ "الكسر الستيني المنتظم" أن x هو حاصل ضرب قوى (قد تكون سالبة) للأعداد 2 و3 و5. تشكل الكميات ( x - 1/ x )/2 و1 و( x + 1/ x )/2 ما يُعرف الآن بالثلاثية الفيثاغورسية النسبية. علاوة على ذلك، فإن جميع الأضلاع الثلاثة لها تمثيلات ستينية منتهية.

يشير مؤيدو هذا الاقتراح إلى أن الأزواج المتبادلة المنتظمة ( x ، 1/ x ) تظهر في مسألة مختلفة تقريبًا في نفس الوقت والمكان اللذين ظهرت فيهما مسألة بليمبتون 322، وهي مسألة إيجاد أضلاع مستطيل مساحته 1 بحيث يزيد طول ضلعه الأطول عن طول ضلعه الأقصر بمقدار معين c (والذي يمكن حسابه اليوم كحلول للمعادلة التربيعية) . ${\textstyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$ ). قام روبسون (2002) بتحليل اللوح YBC 6967، الذي تم فيه حل هذه المشكلة عن طريق حساب سلسلة من القيم الوسيطة v ₁ = c /2، v ₂ = v ₁² ، v ₃ = 1 + v ₂ ، و v ₄ = v ₃^1/2 ، والتي يمكن من خلالها حساب x = v ₄ + v ₁ و 1/ x = v ₄ − v ₁ .

على الرغم من أن حساب الجذر التربيعي لـ _v³سيؤدي عمومًا إلى إجابات لا تملك تمثيلات ستينية منتهية، فقد صُممت المسألة في YBC 6967 - أي تم اختيار قيمة c بشكل مناسب - لإعطاء إجابة جيدة. في الواقع، هذا هو أصل الشرط المذكور أعلاه بأن يكون x كسرًا ستينيًا منتظمًا: اختيار x بهذه الطريقة يضمن أن يكون لكل من x و 1/ x تمثيلات ستينية منتهية. لتصميم مسألة بإجابة جيدة، يحتاج واضع المسألة ببساطة إلى اختيار قيمة x مناسبة وجعل المعطى الابتدائي c يساوي x - 1/ x . وكنتيجة جانبية، ينتج عن ذلك مثلث فيثاغورس كسري، بضلعين قائمين v₁ و _v₁ ووتر v₄ _.

يشير روبسون إلى أن المسألة الواردة في YBC 6967 تحل المعادلة بالفعل ${\textstyle x-{\tfrac {1\ 00}{x}}=x-{\tfrac {60}{x}}=c}$ وهذا يستلزم استبدال التعبير الخاص بـ v ₃ أعلاه بـ v ₃ = 60 + v _2. وبالتالي، يختفي التأثير الجانبي المتمثل في الحصول على ثلاثية نسبية حيث تصبح الأضلاع v ₁ . ${\sqrt {60}}$ ، و 4. في هذا الاقتراح _، يجب افتراض أن البابليين كانوا على دراية بكلا شكلي المشكلة. ^{[ 19 ]}

يجادل روبسون بأن أعمدة بليمبتون 322 يمكن تفسيرها على النحو التالي:

v ₃ = (( x + 1/ x )/2) ² = 1 + ( c /2) ² في العمود الأول،

a · v ₁ = a ·( x − 1/ x )/2 لمعامل ضرب مناسب a في العمود الثاني، و

a · v ₄ = a ·( x + 1/ x )/2 في العمود الثالث.

في هذا التفسير، كان من المفترض أن تظهر _قيمتاx و 1/ x (أو ربما v1 و v4 ) على اللوح في الجزء المكسور إلى يسار العمود الأول. وبالتالي، يُفسَّر وجود العمود 1 كخطوة وسيطة في الحساب، ويكون ترتيب الصفوف تنازليًا حسب قيم _x( أو v1 ). أما المضاعف a المستخدم لحساب القيم في العمودين 2 و ₃ ، والذي يمكن اعتباره إعادة قياس لأطوال الأضلاع، فينشأ من تطبيق "خوارزمية الجزء الأخير"، حيث تُضرب كلتا القيمتين بشكل متكرر في مقلوب أي عامل منتظم مشترك بين آخر 60 رقمًا من كلتيهما، حتى لا يتبقى أي عامل مشترك. ^[²⁰^]

كما ذُكر سابقًا، فإن جميع الأخطاء الواردة في الجدول لها تفسيرات منطقية في اقتراح الزوج المتبادل. من جهة أخرى، تشير روبسون إلى أن دور العمودين 2 و3 والحاجة إلى المضاعف a لا يزالان غير مُفسَّرين في هذا الاقتراح، وتقترح أن هدف مُعدّ الجدول لم يكن توفير معايير لمسائل تربيعية من النوع الذي تم حله في YBC 6967، بل "لنوع من مسائل المثلث القائم الزاوية". كما تُشير إلى أن الطريقة المُستخدمة لإنشاء الجدول والغرض الذي صُمِّم من أجله ليسا بالضرورة متطابقين. ^{[ 21 ]}

يُعزز بقوة فكرة أن الأرقام على اللوح قد تم توليدها باستخدام أزواج متبادلة، لوحان من مجموعة شوين ، هما MS 3052 وMS 3971. قام يوران فريبيرغ بترجمة اللوحين وتحليلهما، واكتشف أن كليهما يحتوي على أمثلة لحساب أطوال أقطار وأضلاع مستطيل باستخدام أزواج متبادلة كنقطة بداية. يعود كلا اللوحين إلى العصر البابلي القديم، ويقارب عمر لوح بليمبتون 322، ويُعتقد أنهما من مدينة أوروك ، بالقرب من لارسا. ^{[ 22 ]}

أُجري تحليل إضافي للوحين في بريتون، بروست ، وشنايدر (2011) . تحتوي المخطوطة رقم 3971 على قائمة بخمس مسائل، تبدأ المسألة الثالثة منها بعبارة "لكي تتمكن من رؤية خمسة أقطار" وتنتهي بعبارة "خمسة أقطار". تتكون البيانات المعطاة لكل جزء من أجزاء المسألة الخمسة من زوج مقلوب. لكل جزء، يتم حساب طول كل من القطر وعرض (الضلع القصير) مستطيل. لم يُذكر طول (الضلع الطويل)، لكن الحساب يشير إلى أنه يُفترض أن يكون 1. بتعبير أدق، يتم الحساب كما يلي: بمعلومية x و 1/ x ، يتم أولاً حساب ( x + 1/ x )/2، وهو القطر. ثم يتم حساب

{\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},

العرض. نظرًا لتلف جزء من اللوح الذي يحتوي على الجزء الأول من الأجزاء الخمسة، فقد فُقدت صياغة المسألة لهذا الجزء، باستثناء آثار البيانات الأولية، والحل. أما الأجزاء الأربعة الأخرى فهي سليمة في معظمها، وتحتوي جميعها على نصوص متشابهة جدًا. لم يُذكر سبب اعتبار القطر نصف مجموع مقلوب القطرين في النص السليم. يُكافئ حساب العرض ( x - 1/ x )/2، ولكن لم تُستخدم هذه الطريقة المباشرة للحساب، بل فُضِّل استخدام القاعدة التي تربط مربع القطر بمجموع مربعي الضلعين.

تعرض نص المسألة الثانية من المخطوطة رقم 3052 لأضرار بالغة، إلا أن ما تبقى منه يُشابه في بنيته الأجزاء الخمسة للمسألة الثالثة من المخطوطة رقم 3971. تحتوي المسألة على شكل، يُرجّح، وفقًا لفريبيرغ، أنه "مستطيل بدون أقطار". ^{[ 23 ]} يؤكد بريتون، وبروست، وشنايدر (2011) أن الأجزاء المحفوظة من النص تُحدد صراحةً أن الطول يساوي 1، وتُحسب صراحةً القيمة 1 التي تُطرح من مربع القطر عند حساب العرض كمربع الطول. البيانات الأولية وقيم العرض والقطر المحسوبة للمسائل الست على اللوحين مُوضحة في الجدول أدناه.

مشكلة	x	1/ س	عرض	طول	قطري
MS 3052 § 2	2	نصف	3/4	1	5/4
MS 3971 § 3a	16/15(?)	15/16 (؟)	31/480(?)	1	481/480(?)
MS 3971 § 3b	5/3	3/5	8/15	1	17/15
MS 3971 § 3c	3/2	2/3	5/12	1	13/12
MS 3971 § 3d	4/3	3/4	7/24	1	25/24
MS 3971 § 3e	6/5	5/6	11/60	1	61/60

تُعدّ معلمات المسألة MS 3971 § 3a غير مؤكدة بسبب تلف اللوح. تتوافق معلمات المسألة من MS 3052 مع إعادة تحجيم المثلث القائم الزاوية القياسي (3، 4، 5)، والذي يظهر كصف 11 من جدول بليمبتون 322. لا تتطابق أي من معلمات المسائل من MS 3971 مع أي من صفوف جدول بليمبتون 322. وكما سيتم توضيحه لاحقًا، فإن جميع صفوف جدول بليمبتون 322 تحتوي على x ≥ 9/5، بينما جميع مسائل MS 3971 تحتوي على x < 9/5. مع ذلك، فإن جميع معلمات MS 3971 تتطابق مع صفوف الامتداد المقترح من قِبل دي سولا برايس لجدول بليمبتون 322، والذي سيتم توضيحه أيضًا لاحقًا.

يختلف دور الزوج المقلوب في المسألة الواردة في YBC 6967 عنه في المادتين MS 3052 وMS 3971 (وبالتالي، في Plimpton 322). في المسألة YBC 6967، يمثل كل عنصر من عناصر الزوج المقلوب أطوال أضلاع مستطيل مساحته 1. لم يُذكر المعنى الهندسي لـ x و1/ x في النص المتبقي للمسألتين MS 3052 وMS 3971. ويبدو أن الهدف كان تطبيق إجراء معروف لإنتاج مستطيلات ذات عرض وقطر ستينيين محدودين. ^{[ 24 ]} لم تُستخدم خوارزمية النقطة اللاحقة لإعادة قياس أطوال الأضلاع في هاتين المسألتين.

مقارنة المقترحات

تُقابل الكمية x في اقتراح الزوج المتبادل النسبة p / q في اقتراح الزوج المُولِّد. في الواقع، على الرغم من اختلاف الاقتراحين في طريقة الحساب، إلا أن هناك فرقًا رياضيًا طفيفًا بين النتائج، إذ يُنتج كلاهما نفس الثلاثيات، باستثناء عامل إجمالي قدره 2 في حالة كون p و q فرديين. (لسوء الحظ، الموضع الوحيد الذي يظهر فيه هذا في الجدول هو الصف 15، الذي يحتوي على خطأ، وبالتالي لا يمكن استخدامه للتمييز بين الاقتراحين). يختلف مؤيدو اقتراح الزوج المتبادل حول ما إذا كانت x قد حُسبت من قيمتين أساسيتين p و q ، ولكن باستخدام التركيبتين p / q و q / p فقط في حسابات الجدول ^[²⁵^] ، أو ما إذا كانت x قد حُصل عليها مباشرةً من مصادر أخرى، مثل جداول التبادل. ^[²⁶^]

تكمن إحدى صعوبات الفرضية الأخيرة في أن بعض القيم المطلوبة لـ x أو 1/ x هي أعداد ستينية بأربعة أرقام عشرية، ولا توجد جداول مقلوب معروفة بأربعة أرقام عشرية. في الواقع، أشار نويغباور وساكس إلى إمكانية استخدام أزواج المقلوب في عملهما الأصلي، ورفضاها لهذا السبب. مع ذلك، يجادل روبسون بأن المصادر المعروفة والأساليب الحسابية من العصر البابلي القديم يمكنها تفسير جميع قيم x المستخدمة.

اختيار الأزواج

يشير نويغباور وساكس إلى أن أبعاد المثلث في اللوح تتراوح بين أبعاد مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين تقريبًا (طول الضلع الأقصر 119، وهو قريب من طول الضلع الأطول 120) إلى أبعاد مثلث قائم الزاوية بزوايا حادة تقارب 30° و60°، وأن الزاوية تتناقص بشكل منتظم تقريبًا بخطوات مقدارها 1°. ويقترحان أن الزوجين p و q قد تم اختيارهما عمدًا مع وضع هذا الهدف في الاعتبار.

لاحظ دي سولا برايس (1964) ، في إطار نظرية الأزواج المولدة، أن كل صف في الجدول يُولّد بواسطة قيمة q تحقق الشرط 1 ≤ q < 60، أي أن q دائمًا عدد ستينيّ من رقم واحد. وتأخذ النسبة p / q أكبر قيمة لها، 12/5 = 2.4، في الصف الأول من الجدول، وبالتالي فهي دائمًا أقل من 1. ${\sqrt {2}}+1\approx 2.414$ ، وهو شرط يضمن أن يكون p ² − q ² هو الضلع الطويل و 2 pq هو الضلع القصير للمثلث والذي، بالمصطلحات الحديثة، يعني أن الزاوية المقابلة للضلع الذي طوله p ² − q ² أقل من 45 درجة.

تكون النسبة في أدنى مستوياتها في الصف 15 حيث p / q = 9/5 لزاوية تبلغ حوالي 31.9 درجة. علاوة على ذلك، توجد 15 نسبة منتظمة بالضبط بين 9/5 و12/5 شاملةً، حيث q عدد ستينيّ من رقم واحد، وتتطابق هذه النسب تمامًا مع صفوف اللوح. ويشير أيضًا إلى أن التباعد المتساوي بين الأرقام قد لا يكون مقصودًا، بل ربما نشأ ببساطة من كثافة نسب الأعداد المنتظمة في نطاق الأرقام المذكورة في الجدول.

جادل دي سولا برايس بأن الحد الأدنى الطبيعي للنسبة هو 1، وهو ما يُقابل زاوية 0°. ووجد أنه مع الحفاظ على شرط أن يكون q عددًا ستينيًا من رقم واحد، توجد 23 زوجًا إضافيًا إلى جانب تلك المُمثلة على اللوح، ليصبح المجموع 38 زوجًا. ويشير إلى أن التدريج الرأسي بين الأعمدة على اللوح قد امتد إلى الجهة الخلفية، مما يُوحي بأن الناسخ ربما كان ينوي توسيع اللوح. ويدّعي أن المساحة المتاحة تتسع بشكل صحيح لـ 23 صفًا إضافيًا. وقد دافع مؤيدو اقتراح الأزواج المتبادلة أيضًا عن هذا المخطط. ^{[ 27 ]}

لم تتناول روبسون (2001) هذا الاقتراح بشكل مباشر، لكنها وافقت على أن الجدول لم يكن "مكتملًا". وأشارت إلى أنه في اقتراح الزوج المتبادل، فإن كل قيمة x ممثلة في اللوح هي عدد ستينيّ من أربعة أرقام على الأكثر، وله مقلوب من أربعة أرقام على الأكثر، وأن إجمالي عدد الأرقام في x و 1/ x معًا لا يتجاوز 7. إذا اعتُبرت هذه الخصائص شروطًا، فهناك ثلاث قيم x "مفقودة" من اللوح، والتي تجادل بأنها ربما حُذفت لأنها غير مرغوبة لأسباب مختلفة. وهي تُقرّ بالطبيعة "الارتجالية الصادمة " لهذا المخطط، والذي يُستخدم أساسًا كأداة بلاغية لانتقاد جميع المحاولات لاستشفاف معايير اختيار مؤلف اللوح. ^{[ 28 ]}

الغرض والتأليف

جادل أوتو إي. نويغباور ( 1957 ) لصالح تفسير نظري للأعداد ، ولكنه اعتقد أيضًا أن الإدخالات في الجدول كانت نتيجة لعملية اختيار متعمدة تهدف إلى تحقيق انخفاض منتظم إلى حد ما للقيم في العمود 1 ضمن بعض الحدود المحددة.

يشير كل من باك (1980) وروبسون (2002) إلى وجود تفسير مثلثي ، ينسبه روبسون إلى مؤلفي العديد من الكتب التاريخية العامة والأعمال غير المنشورة، ولكنه قد يكون مستمدًا من ملاحظة نويغباور وساكس (1945) بأن قيم العمود الأول يمكن تفسيرها على أنها مربع القاطع أو الظل (بحسب الرقم المفقود) للزاوية المقابلة للضلع القصير للمثلث القائم الزاوية الذي يمثله كل صف، ويتم ترتيب الصفوف وفقًا لهذه الزوايا بزيادات تقريبية قدرها درجة واحدة. ^{[ 29 ]}

بمعنى آخر، إذا أخذنا العدد في العمود الأول، مع استبعاد الواحد (1)، واستخرجنا جذره التربيعي، ثم قسمنا الناتج على العدد في العمود الثاني، فسيكون الناتج هو طول الضلع الأطول في المثلث. وبالتالي، فإن الجذر التربيعي للعدد (مطروحًا منه الواحد) في العمود الأول هو ما نسميه اليوم ظل الزاوية المقابلة للضلع الأقصر. أما إذا احتُسب الواحد (1)، فإن الجذر التربيعي لهذا العدد هو القاطع (القاطع) .

خلافًا للتفسيرات السابقة للوح، تزعم روبسون (2002) أن الأدلة التاريخية والثقافية واللغوية تشير جميعها إلى أن اللوح قد بُني على الأرجح من "قائمة من الأزواج المتبادلة المنتظمة ". ^[³⁰^] وتجادل روبسون، استنادًا إلى أسس لغوية، بأن النظرية المثلثية "مُتقادمة من الناحية المفاهيمية": فهي تعتمد على العديد من الأفكار الأخرى غير الموجودة في سجل الرياضيات البابلية من ذلك الوقت. في عام 2003، منحت جمعية الرياضيات الأمريكية روبسون جائزة ليستر ر. فورد لعملها، مشيرةً إلى أنه "من غير المرجح أن يكون مؤلف بليمبتون 322 رياضيًا محترفًا أو هاويًا. على الأرجح أنه كان مُعلمًا، وأن بليمبتون 322 عبارة عن مجموعة من التمارين". ^[³¹^] تتبنى روبسون منهجًا يُمكن وصفه، وفقًا للمصطلحات الحديثة، بأنه جبري ، على الرغم من أنها تصفه بمصطلحات هندسية ملموسة ، وتجادل بأن البابليين كانوا سيفسرون هذا المنهج هندسيًا أيضًا.

وبالتالي، يمكن تفسير اللوح على أنه يقدم سلسلة من التمارين المحلولة. وهو يستخدم أساليب رياضية نموذجية لمدارس الكتابة في ذلك الوقت، ومكتوب بصيغة وثيقة كان يستخدمها الإداريون في تلك الفترة. ^{[ 32 ]} لذلك، يجادل روبسون بأن المؤلف كان على الأرجح ناسخًا، أي موظفًا حكوميًا في لارسا. ^{[ 33 ]} إن الترتيب الرياضي المتكرر للوح، ولألواح مماثلة مثل BM 80209، كان مفيدًا في تمكين المعلم من وضع مسائل بنفس الصيغة ولكن ببيانات مختلفة.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ Høyrup (1999) ، ص 396.
^ نيوجيباور وساكس (1945) ، ص. 40.
^ نيوجيباور (1957) ، ص 36-40.
↑ روبسون (2001) ، ص 202، "علاوة على ذلك، إذا اعتقدنا أن بليمبتون 322 كان المقصود منه أن يكون قائمة بالمعايير للمساعدة في وضع مسائل الرياضيات المدرسية (والأدلة النمطية تشير إلى ذلك)، فإن السؤال "كيف تم حساب اللوحة؟" لا يجب أن يكون له نفس إجابة السؤال "ما هي المسائل التي تحددها اللوحة؟" يمكن الإجابة على السؤال الأول بشكل مرضٍ للغاية من خلال الأزواج المتبادلة، كما اقترح لأول مرة منذ نصف قرن، والسؤال الثاني من خلال نوع من مسائل المثلث القائم الزاوية."
↑ فريبيرج (2007) ، ص 448. يؤكد فريبيرج أنه يمكن استخدام بليمبتون 322 لوضع مسائل مثل تلك الموجودة في المسألة 3 من اللوحة MS 3971، حيث يتم حساب قطر مستطيل طوله 1 من زوج متبادل، ثم يتم حساب العرض باستخدام قاعدة فيثاغورس.
↑ روبسون (2002) ، ص 109.
عند مقارنة التواريخ الواردة في مصادر مختلفة، تجدر الإشارة إلى أن العديد من مقالات ويكيبيديا حول العالم القديم تستخدم التسلسل الزمني القصير، بينما تستخدم معظم أدبيات تاريخ الرياضيات التسلسل الزمني المتوسط. ويُستثنى من ذلك كتاب بريتون، بروست، وشنايدر (2011) ، الذي يستخدم التسلسل الزمني الطويل.
↑ روبسون (2002) ، ص 111.
↑ روبسون (2002) ، ص 110.
↑ روبسون (2001) ، ص 191
^ فريبيرج (1981) ، ص. 298؛ روبسون (2001) ، ص. 192؛ بريتون، بروست وشنايدر (2011) ، ص، 538
^ فريبيرج (1981) ، ص. 298؛ روبسون (2001) ، ص. 193؛ بريتون، بروست وشنايدر (2011) ، ص، 538
↑ انظر أيضًا Friberg (1981) ، ص 298-299؛ Robson (2001) ، ص 193؛ Britton، Proust & Shnider (2011) ، ص 537-538.
↑ فريبيرغ (2007) ، ص 449
↑ بروينز (1949) ، بروينز (1951) ، بروينز (1957)
↑ غير منشور، ولكن تم وصفه في باك (1980)
^ فريبيرج (1981) ، فريبيرج (2007)
↑ روبسون (2001) ، ص 179
↑ روبسون (2001) ، ص 184
↑ فريبيرغ (2007) ، ص 24
↑ روبسون (2001) ، الصفحات 201-202
^ فريبيرج (2007) ، ص 245 ، 255
↑ فريبيرغ (2007) ، ص 275
↑ بريتون، بروست وشنايدر (2011) ، ص 559
^ فريبيرج (1981) ، بريتون وبروست وشنايدر (2011)
↑ بروينز (1957) ، روبسون (2001)
^ فريبيرج (1981) ، بريتون وبروست وشنايدر (2011)
↑ روبسون (2001) ، ص 199
↑ انظر أيضًا جويس، ديفيد إي. (1995)، بليمبتون 322وماور ، إيلي (1993)، "بليمبتون 322: أقدم جدول حساب مثلثي؟" ، روائع حساب المثلثات ، مطبعة جامعة برينستون، ص 30-34 ، ISBN 978-0-691-09541-7تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي في 5 أغسطس 2010 ، وتم استرجاعه في 28 نوفمبر 2010.
↑ روبسون (2002) ، ص 116.
↑ جوائز وجوائز مهرجان الرياضيات 2003 ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، 2003
↑ روبسون (2002) ، ص 117-118.
↑ روبسون (2002) ، ص 118.

مراجع

بريتون، جون ب.؛ بروست، كريستين ؛ شنايدر، ستيف (2011)، "بليمبتون 322: مراجعة ومنظور مختلف"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 65 (5): 519-566 ، doi : 10.1007/s00407-011-0083-4 ، S2CID 120417550
Bruins، Evert M. ( 1949)، “On Plimpton 322، أرقام فيثاغورس في الرياضيات البابلية”، Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings ، 52 : 629–632
بروينز، إيفرت م . (1951)، "الثلاثيات الفيثاغورية في الرياضيات البابلية: الأخطاء في بليمبتون 322"، سومر ، 11 : 117-121
بروينز، إي إم (1957)، "الثلاثيات الفيثاغورية في الرياضيات البابلية"، المجلة الرياضية ، 41 (335): 25-28 ، doi : 10.2307/3611533 ، JSTOR 3611533 ، S2CID 126382606
باك، آر. كريتون (1980)، "شرلوك هولمز في بابل" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 87 (5)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 335-345 ، doi : 10.2307/2321200 ، JSTOR 2321200
فريبيرغ، يوران (1981)، "أساليب وتقاليد الرياضيات البابلية: بليمبتون 322. ثلاثيات فيثاغورس ومعادلات معلمات المثلث البابلي"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 8 : 277-318 ، doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0
فريبيرغ، يوران (2007)، مجموعة رائعة من النصوص الرياضية البابلية: المخطوطات في مجموعة شوين، النصوص المسمارية 1 ، مصادر ودراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية، برلين: سبرينغر
هيروب، ينس (1999). “قاعدة” فيثاغورس و “النظرية” – مرآة العلاقة بين الرياضيات البابلية واليونانية”. في رينجر، يوهانس (محرر). بابل: مركز بلاد ما بين النهرين Geschichte، Wiege früher Gelehrsamkeit، Mythos in der Moderne. 2. الندوة الدولية للشرق الألماني 24.–26. مارس 1998 في برلين (PDF) . برلين: Deutsche Orient-Gesellschaft / ساربروكن: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. ص 393 – 407.
Neugebauer، Otto (1957)، العلوم الدقيقة في العصور القديمة ، Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium، المجلد. 9، منشورات دوفر، الصفحات من 36 إلى 40، PMID 14884919
نويغباور، أو .؛ ساكس، أ. ج. (1945)، نصوص رياضية مسمارية ، سلسلة الدراسات الشرقية الأمريكية، المجلد 29، نيو هيفن: الجمعية الشرقية الأمريكية والمدارس الأمريكية للبحوث الشرقية، الصفحات 38-41
روبسون، إليانور (أغسطس 2001)، "لا شرلوك هولمز ولا بابل: إعادة تقييم بليمبتون 322" ، هيستوريا ماث. ، 28 (3): 167-206 ، doi : 10.1006/hmat.2001.2317 ، MR 1849797
روبسون، إليانور (فبراير 2002)، "كلمات وصور: ضوء جديد على بليمبتون 322" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 109 (2)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 105-120 ، doi : 10.2307/2695324 ، JSTOR 2695324 ، MR 1903149
دي سولا برايس، ديريك ج. (سبتمبر 1964)، "لوح "مثلث فيثاغورس" البابلي"، سنتوروس ، 10 (1): 1-13 ، رمز Bibcode : 1964Cent...10....1D ، doi : 10.1111/j.1600-0498.1964.tb00385.x ، MR 0172779
شميدت، أولاف (1980)، "حول بليمبتون 322. الأعداد الفيثاغورية في الرياضيات البابلية"، سنتوروس ، 24 (1): 4-13 ، رمز Bibcode : 1980Cent...24....4S ، doi : 10.1111/j.1600-0498.1980.tb00363.x

للمزيد من القراءة

عبد العزيز، عبد الرحمن علي (2010)، لوح بليمبتون 322 والطريقة البابلية لتوليد ثلاثيات فيثاغورس ، arXiv : 1004.0025 ، Bibcode : 2010arXiv1004.0025A
كاسلمان، بيل (2003)، اللوح البابلي بليمبتون 322 ، جامعة كولومبيا البريطانية
كيربي، لورانس (2011)، بليمبتون 322: الجذور القديمة للرياضيات الحديثة (فيلم وثائقي مدته نصف ساعة) ، كلية باروخ ، جامعة مدينة نيويورك
ينس كليب، "270 ثلاثية صالحة أسفل وبين وفوق الأسطر من 1 إلى 15 من بليمبتون 322"، CDLN 2023:5، ملاحظات المكتبة الرقمية للكتابة المسمارية، 22-02-2023، الرقم الدولي الموحد للدوريات: 1546-6566

المعارض

"قبل فيثاغورس: ثقافة الرياضيات البابلية القديمة" ، معهد دراسة العالم القديم ، جامعة نيويورك ، 12 نوفمبر - 17 ديسمبر 2010. يتضمن صورة ووصفًا لـ Plimpton 322 .
روثستين، إدوارد (27 نوفمبر 2010). "أساتذة الرياضيات من بابل القديمة" . نيويورك تايمز . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 نوفمبر 2010 .مراجعة لمعرض "قبل فيثاغورس"، مع الإشارة إلى الجدل الدائر حول بليمبتون 322.
"جواهر في تاجها: كنوز من المجموعات الخاصة لمكتبات كولومبيا" ، مكتبة الكتب والمخطوطات النادرة، جامعة كولومبيا ، 8 أكتوبر 2004 - 28 يناير 2005. صورة ووصف للعنصر 158: بليمبتون المسماري 322.

روابط خارجية

كتالوج مبادرة المكتبة الرقمية للكتابة المسمارية (CDLI)، بما في ذلك الصور الرقمية عالية الجودة:

[1] Høyrup (1999) ، ص 396.

[2] نيوجيباور وساكس (1945) ، ص. 40.

[3] نيوجيباور (1957) ، ص 36-40.

[4] روبسون (2001) ، ص 202، "علاوة على ذلك، إذا اعتقدنا أن بليمبتون 322 كان المقصود منه أن يكون قائمة بالمعايير للمساعدة في وضع مسائل الرياضيات المدرسية (والأدلة النمطية تشير إلى ذلك)، فإن السؤال "كيف تم حساب اللوحة؟" لا يجب أن يكون له نفس إجابة السؤال "ما هي المسائل التي تحددها اللوحة؟" يمكن الإجابة على السؤال الأول بشكل مرضٍ للغاية من خلال الأزواج المتبادلة، كما اقترح لأول مرة منذ نصف قرن، والسؤال الثاني من خلال نوع من مسائل المثلث القائم الزاوية."

[5] فريبيرج (2007) ، ص 448. يؤكد فريبيرج أنه يمكن استخدام بليمبتون 322 لوضع مسائل مثل تلك الموجودة في المسألة 3 من اللوحة MS 3971، حيث يتم حساب قطر مستطيل طوله 1 من زوج متبادل، ثم يتم حساب العرض باستخدام قاعدة فيثاغورس.

[6] روبسون (2002) ، ص 109.

[7] عند مقارنة التواريخ الواردة في مصادر مختلفة، تجدر الإشارة إلى أن العديد من مقالات ويكيبيديا حول العالم القديم تستخدم التسلسل الزمني القصير، بينما تستخدم معظم أدبيات تاريخ الرياضيات التسلسل الزمني المتوسط. ويُستثنى من ذلك كتاب بريتون، بروست، وشنايدر (2011) ، الذي يستخدم التسلسل الزمني الطويل.

[8] روبسون (2002) ، ص 111.

[9] روبسون (2002) ، ص 110.

[10] روبسون (2001) ، ص 191

[11] فريبيرج (1981) ، ص. 298؛ روبسون (2001) ، ص. 192؛ بريتون، بروست وشنايدر (2011) ، ص، 538

[12] فريبيرج (1981) ، ص. 298؛ روبسون (2001) ، ص. 193؛ بريتون، بروست وشنايدر (2011) ، ص، 538

[13] انظر أيضًا Friberg (1981) ، ص 298-299؛ Robson (2001) ، ص 193؛ Britton، Proust & Shnider (2011) ، ص 537-538.

[14] فريبيرغ (2007) ، ص 449

[15] بروينز (1949) ، بروينز (1951) ، بروينز (1957)

[16] غير منشور، ولكن تم وصفه في باك (1980)

[17] فريبيرج (1981) ، فريبيرج (2007)

[18] روبسون (2001) ، ص 179

[19] روبسون (2001) ، ص 184

[20] فريبيرغ (2007) ، ص 24

[21] روبسون (2001) ، الصفحات 201-202

[22] فريبيرج (2007) ، ص 245 ، 255

[23] فريبيرغ (2007) ، ص 275

[24] بريتون، بروست وشنايدر (2011) ، ص 559

[25] فريبيرج (1981) ، بريتون وبروست وشنايدر (2011)

[26] بروينز (1957) ، روبسون (2001)

[27] فريبيرج (1981) ، بريتون وبروست وشنايدر (2011)

[28] روبسون (2001) ، ص 199

[29] انظر أيضًا جويس، ديفيد إي. (1995)، بليمبتون 322وماور ، إيلي (1993)، "بليمبتون 322: أقدم جدول حساب مثلثي؟" ، روائع حساب المثلثات ، مطبعة جامعة برينستون، ص 30-34 ، ISBN 978-0-691-09541-7تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي في 5 أغسطس 2010 ، وتم استرجاعه في 28 نوفمبر 2010.

[30] روبسون (2002) ، ص 116.

[31] جوائز وجوائز مهرجان الرياضيات 2003 ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، 2003

[32] روبسون (2002) ، ص 117-118.

[Robson118-33] روبسون (2002) ، ص 118.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ] .

[ 18 ]

[ 19 ]

[

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[

[

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[

[ 32 ]

[ 33 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗