إهليلج بوينسو

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يُعدّ بناء بوينسو (نسبةً إلى لويس بوينسو ) طريقةً هندسيةً لتصوّر الحركة الخالية من العزم لجسم صلب دوّار ، أي حركة جسم صلب لا تؤثر عليه أي قوى خارجية. لهذه الحركة أربعة ثوابت: الطاقة الحركية للجسم، ومكونات الزخم الزاوي الثلاثة ، مُعبّرًا عنها بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري. متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$إن سرعة الدوران للدوار الصلب ليست ثابتة ، ولكنها تخضع لمعادلات أويلر . يوفر قانون حفظ الطاقة الحركية والزخم الزاوي قيدين على حركة الدوار.${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$.

بدون حل هذه المعادلات بشكل صريح، فإن الحركة${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$يمكن وصفها هندسياً على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

• يتم تحديد حركة الجسم الصلب بالكامل من خلال حركة القطع الناقص للقصور الذاتي ، والذي يتم تثبيته بشكل صلب على الجسم الصلب مثل إطار إحداثيات.
• يتدحرج شكله الإهليلجي بالقصور الذاتي، دون انزلاق، على المستوى الثابت ، مع وجود مركز الإهليلج على ارتفاع ثابت فوق المستوى.
• في جميع الأوقات،${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$هي نقطة التماس بين الشكل الإهليلجي والمستوى.

الحركة شبه دورية .${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$يرسم منحنى مغلقًا على القطع الناقص، ولكنه يرسم منحنى على المستوى ليس بالضرورة منحنى مغلقًا.

• المنحنى المغلق على القطع الناقص هو القطب القطبي .
• المنحنى الموجود على المستوى هو الهيربولود .

إذا كان للجسم الصلب عزمان متساويان في القصور الذاتي (وهي حالة تسمى الجسم المتناظر )، فإن القطعة المستقيمة من نقطة الأصل إلى${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$يرسم مخروطًا (ونقطته النهائية دائرة). هذا هو التبادر الحر لمحور دوران الدوار.

ينص قانون حفظ الطاقة على أنه في حالة عدم وجود تبديد للطاقة أو عزم دوران مطبق، فإن الطاقة الحركية الزاوية${\displaystyle T\ }$يتم الحفاظ عليه، لذلك${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$.

يمكن التعبير عن الطاقة الحركية الزاوية بدلالة موتر عزم القصور الذاتي${\displaystyle \mathbf {I} }$ومتجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

أين${\displaystyle \omega _{k}\ }$هي مركبات متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$و${\displaystyle I_{k}\ }$تمثل هذه العزوم الرئيسية للعطالة عندما يكون كلاهما في إطار الجسم. وبالتالي، فإن قانون حفظ الطاقة الحركية يفرض قيدًا على متجه السرعة الزاوية ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$; في إطار المحور الرئيسي، يجب أن يقع على القطع الناقص المحدد بالمعادلة أعلاه، والذي يسمى القطع الناقص للقصور الذاتي .

المسار الذي يرسمه متجه السرعة الزاوية على هذا الشكل الإهليلجي${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$يُطلق عليه اسم "polhode" (صاغه بوينسوت من الجذور اليونانية التي تعني "مسار القطب") وعادة ما يكون دائريًا أو على شكل تاكو .

ينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أنه في حالة عدم وجود عزم دوران خارجي، فإن متجه الزخم الزاوي${\displaystyle \mathbf {L} }$يتم الحفاظ على القيمة في إطار مرجعي قصوري ، لذلك${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$.

متجه الزخم الزاوي${\displaystyle \mathbf {L} }$يمكن التعبير عنها بدلالة موتر عزم القصور الذاتي${\displaystyle \mathbf {I} }$ومتجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

مما يؤدي إلى المعادلة

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}\cdot \mathbf {L} .}$

بما أن حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$و${\displaystyle \mathbf {L} }$ثابت، و${\displaystyle \mathbf {L} }$هو نفسه ثابت، متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ له مركبة ثابتة في اتجاه متجه الزخم الزاوي${\displaystyle \mathbf {L} }$وهذا يفرض قيدًا ثانيًا على المتجه${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$في الفضاء المطلق، يجب أن يقع على المستوى الثابت المحدد بواسطة حاصل ضربه النقطي مع المتجه المحفوظ${\displaystyle \mathbf {L} }$يكون متجه العمودي على المستوى الثابت محاذيًا لـ${\displaystyle \mathbf {L} }$المسار الذي يرسمه متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$يُطلق على المستوى الثابت اسم herpolhode (مشتق من جذور يونانية تعني "مسار القطب المتعرج").

يكون منحنى هيربولد عادةً منحنى مفتوحًا، مما يعني أن الدوران لا يتكرر بشكل مثالي، بينما يكون منحنى بولود منحنى مغلقًا (انظر أدناه). ^{[ 2 ]}

يعمل هذان القيدان في إطارين مرجعيين مختلفين؛ فالقيد الإهليلجي ينطبق في إطار المحور الرئيسي (الدوار)، بينما يعمل ثابت المستوى غير المتغير في الفضاء المطلق. ولربط هذين القيدين، نلاحظ أن متجه تدرج الطاقة الحركية بالنسبة لمتجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$يساوي متجه الزخم الزاوي${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .}$

وبالتالي، فإن المتجه العمودي على القطع الناقص للطاقة الحركية عند${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$يتناسب مع${\displaystyle \mathbf {L} }$وينطبق هذا أيضاً على المستوى الثابت. وبما أن متجهاتهما العمودية تشير إلى نفس الاتجاه، فإن هذين السطحين سيتقاطعان بشكل مماس.

تُظهر هذه النتائج مجتمعةً أنه في إطار مرجعي مطلق، يكون متجه السرعة الزاوية اللحظية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هي نقطة التقاطع بين مستوى ثابت غير متغير وقطع ناقص للطاقة الحركية مماس له ويدور عليه دون انزلاق. هذا هو بناء بوينسو . (لاحظ أن شرط عدم الانزلاق لا يستبعد إمكانية الدوران عند نقطة التماس. على وجه الخصوص، إذا كان الجسم يدور حول أحد محاوره الرئيسية، فإن القطع الناقص يدور ببساطة حول نقطة واحدة من المستوى الثابت).

في إطار المحور الرئيسي (الذي يدور في الفضاء المطلق)، لا يكون اتجاه متجه الزخم الزاوي ثابتًا بشكل عام، حتى في غياب العزوم المؤثرة، بل يتغير وفقًا لمعادلات أويلر . ومع ذلك، في غياب العزوم المؤثرة، فإن مقداره${\displaystyle L\ }$الزخم الزاوي والطاقة الحركية${\displaystyle T\ }$كلاهما محفوظ

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}}$

حيث${\displaystyle L_{k}\ }$هي مركبات متجه الزخم الزاوي على طول المحاور الرئيسية، و${\displaystyle I_{k}\ }$هي عزمات القصور الذاتي الرئيسية.

تُعادل قوانين الحفظ هذه قيدين على متجه الزخم الزاوي ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {L} }$قيود الطاقة الحركية${\displaystyle \mathbf {L} }$الاستلقاء على سطح بيضاوي في الفضاء (${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}$)، بينما يقيد قيد الزخم الزاوي${\displaystyle \mathbf {L} }$أن تستلقي على كرة في هذا الفضاء. (في الفضاء (${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$(كما هو مستخدم سابقًا، يكون شكل القطع الناقص للطاقة الحركية "معاكسًا" - أطول في اتجاه المحور ذي أقل عزم قصور ذاتي وأضيق في اتجاه المحور ذي أعلى عزم قصور ذاتي). يتقاطع هذان السطحان في منحنيين على شكل حافة تاكو، يحددان الحلول الممكنة لـ ${\displaystyle \mathbf {L} }$وهذا يدل على أن${\displaystyle \mathbf {L} }$، والقطبين، يبقيان في حلقة مغلقة، في الإطار المرجعي المتحرك للجسم.

وبالتالي، فإن اتجاه الجسم في الفضاء له درجتان من الحرية. أولاً، يجب أن تتطابق نقطة ما على "حافة التاكو" مع${\displaystyle \mathbf {L} ,}$وهو متجه ثابت في الفضاء المطلق. ثانيًا، يمكن للجسم أن يدور حول هذا المتجه بأي مقدار. لذا، بشكل عام، يكون اتجاه الجسم نقطة ما على سطح حلقي ثنائي الأبعاد داخل السطح الثلاثي الأبعاد لجميع الاتجاهات. بشكل عام، سيسلك الجسم مسارًا غير دوري على هذا السطح الحلقي، ولكنه قد يسلك مسارًا دوريًا. الزمن المستغرق لـ${\displaystyle \mathbf {L} }$إن إكمال دورة واحدة حول مسارها في إطار الجسم ثابت، ولكن بعد دورة واحدة، سيدور الجسم بمقدار قد لا يكون عددًا منطقيًا من الدرجات، وفي هذه الحالة لن يكون التوجيه دوريًا، بل شبه دوري .

بشكل عام، يتحدد شكل الحلقة تقريبًا بثلاثة معايير: نسب عزمي القصور الذاتي الثاني والثالث إلى أعلى عزم قصور ذاتي من بين الثلاثة، والنسبة${\displaystyle L^{2}/(TI_{3})}$يربط هذا بين الزخم الزاوي والطاقة مضروبة في أعلى عزم قصور ذاتي. ولكن لأي مجموعة من هذه المعاملات، يوجد حلقتان، لوجود "تاكو" (يُقابل قطبين). تُحوّل مجموعة من الدورانات بزاوية 180 درجة أي اتجاه لحلقة إلى اتجاه الحلقة الأخرى بحيث تكون النقطة المقابلة مُحاذية لمتجه الزخم الزاوي. إذا كان الزخم الزاوي مُحاذيًا تمامًا لأحد المحاور الرئيسية، فإن الحلقة تتحول إلى حلقة واحدة. إذا تساوى عزمان من عزمي القصور الذاتي (ما يُسمى بالقمة المتناظرة )، فبالإضافة إلى الحلقات، سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلقات، وإذا تساوى عزم القصور الذاتي في جميع العزوم الثلاثة، فسيكون هناك حلقات ولكن لن تكون هناك حلقات. إذا كانت عزوم القصور الذاتي الثلاثة مختلفة،${\displaystyle L^{2}=TI_{2}}$لكن إذا لم يكن المحور الوسيط متوافقًا مع الزخم الزاوي، فسيكون البودود عبارة عن حافة تمتد من أحد طرفي المحور الوسيط إلى الطرف الآخر، و${\displaystyle \mathbf {L} }$ستتحرك بشكل تقاربي نحو أحد طرفيها. بعبارة أخرى، ستبقى على نصف أحد طرفي الحلقة.

ونتيجةً لذلك، عندما تختلف عزمات القصور الذاتي الثلاثة، ولا يكون متجه السرعة الزاوية (أو متجه الزخم الزاوي) قريبًا من محور القصور الذاتي الأعلى أو الأدنى، فإن الجسم "ينقلب". تدور معظم الأقمار حول محور قصورها الذاتي الأكبر (بسبب تأثيرات اللزوجة)، لكن هايبريون (قمر زحل)، وقمرين من بلوتو ، والعديد من الأجرام الصغيرة الأخرى في النظام الشمسي، تدور دورانًا دوارًا.

إذا وُضع الجسم في دوران حول محوره الرئيسي الوسيط، فإن تقاطع القطع الناقص والكرة يكون أشبه بحلقتين متقاطعتين عند نقطتين، محاذيتين لهذا المحور. أما إذا لم يكن المحاذاة مع المحور الوسيط مثالية،${\displaystyle \mathbf {L} }$ستتحرك في النهاية من هذه النقطة على طول أحد المسارات الأربعة التي تنطلق منها، وتتجه إلى النقطة المقابلة. وهذا يتوافق مع${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ينتقل إلى نقطة مقابلة له على سطح بوينسو الإهليلجي. شاهد الفيديو على اليمين ونظرية مضرب التنس .

يختلف هذا البناء عن بناء بوينسو لأنه يأخذ في الاعتبار متجه الزخم الزاوي${\displaystyle \mathbf {L} }$بدلاً من متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$يبدو أنه تم تطويره بواسطة جاك فيليب ماري بينيه .

تُبسط الحركة في حالة ما يُسمى " البلبل المتناظر "، وهو جسم له عزمان رئيسيان متساويان في عزم القصور الذاتي. (لا نتحدث هنا عن بلبل يدور على سطح، لأن الجاذبية تُؤثر بعزم دوران في هذه الحالة). يعني هذا عادةً أن للجسم محور تناظر دوراني من الرتبة n ، حيث n ≥ 3 ، أو تناظرًا دائريًا . (لكن إذا كان يمتلك أيضًا عناصر التناظر الرباعي الأوجه اللولبي ، كما هو الحال في التناظر الثماني الأوجه والتناظر الاثني عشري الأوجه ، فإن عزوم القصور الذاتي الثلاثة ستكون متساوية، وسيكون محور الدوران ثابتًا). يشمل ذلك دوران شكل كروي مُطاول (شكل كرة الرجبي )، أو دوران شكل كروي مُفلطح (شكل كرة مُسطحة). في هذه الحالة، يصف متجه السرعة الزاوية مخروطًا، ويكون كل من القطب القطبي والقطب القطبي الخلفي عبارة عن دوائر (أو نقطة واحدة)، ويمكن التعبير عن الاتجاه كدالة مغلقة للزمن. (هذا يختلف عن التبادر المحوري للكوكب، الناتج عن عزم الدوران الذي تمارسه الشمس، وفي حالة الأرض، القمر. بل هو "التذبذب الحر" المعروف باسم تذبذب تشاندلر ).

يمكن اعتبار حركة الجسم مزيجًا من دوران المحور الرئيسي (المحور الرئيسي الذي له عزم قصور ذاتي مختلف، وعادةً ما يكون محور تناظر) حول${\displaystyle \mathbf {L} }$يُطلق على هذه الحركة اسم التبادر، بالإضافة إلى دوران إضافي حول المحور الرئيسي يُسمى الدوران الذاتي. في الدوران الذاتي، يكون المتجه${\displaystyle \mathbf {L} }$يتحرك حول الجسم في إطار مرجعي للجسم. بشكل عام، هناك مكون ثالث، وهو الدوران حول خط العقد، ويسمى التذبذب (انظر زوايا أويلر )، ولكن في حالة الجسم المتناظر يكون هذا المكون صفرًا. إذا رمزنا للمحور الرئيسي بالرقم 1 وللمحاور العمودية عليه بالرقم 2، فإن مكونات${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$نكون${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}.}$معدل الدوران الذاتي هو

$${\displaystyle \omega _{rot}=\left(1-{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right)\omega _{1}}$$

ومعدل التبادر هو:

$${\displaystyle \omega _{pre}={\sqrt {\left({\frac {I_{1}}{I_{2}}}\omega _{1}\right)^{2}+\omega _{2}^{2}}}}$$

الزاوية بين المحور الرئيسي ومتجه الزخم الزاوي ثابتة، وتساوي:

$${\displaystyle \alpha =\arctan \left({\frac {I_{1}}{I_{2}}}{\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\right)}$$

لو${\displaystyle \omega _{rot}/\omega _{pre}}$إذا كان العدد عددًا نسبيًا، فإن الحركة ستكون دورية، وإلا ستكون شبه دورية.

النسبة${\displaystyle I_{1}/I_{2}}$تقع قيمة في الفترة (0، 2). يكون للمجسم الكروي المطاول قيمة أقل من 1، ويكون دورانه في نفس اتجاه التبادر. مثال على ذلك كرة قدم تم رميها بشكل سيئ . أما المجسم الكروي المفلطح، فتكون قيمته أكبر من 1، ويكون دورانه معاكساً وأصغر من التبادر. مثال على ذلك قرص تم رميه بشكل سيئ .

يمكننا بسهولة التعبير عن حركة الجسم المتناظر باستخدام الكواترنيونات (انظر الكواترنيونات والدوران المكاني ). نأخذ${\displaystyle \mathbf {L} }$أن يكون متجهًا في اتجاه المحور z. من وضع ابتدائي يكون فيه "القطب الشمالي" للمحور الرئيسي مائلًا بعيدًا عن المحور z بزاوية${\displaystyle \alpha }$في الاتجاه السيني، يكون الدوران حتى الزمن t عبارة عن تركيب لدوران جوهري${\displaystyle \left(\cos(\omega _{rot}t/2),\ \sin \alpha \sin(\omega _{rot}t/2),\ 0,\ \cos \alpha \sin(\omega _{rot}t/2)\right)}$والترنح${\displaystyle \left(\cos(\omega _{pre}t/2),\ 0,\ 0,\ \sin(\omega _{pre}t/2)\right):}$

$${\displaystyle {\Big (}\cos(\omega _{pre}t/2),\ 0,\ 0,\ \sin(\omega _{pre}t/2){\Big )}{\Big (}\cos(\omega _{rot}t/2),\ \sin \alpha \sin(\omega _{rot}t/2),\ 0,\ \cos \alpha \sin(\omega _{rot}t/2){\Big )}=}$$

${\displaystyle {\Big (}\cos(\omega _{pre}t/2)\cos(\omega _{rot}t/2)-\cos \alpha \sin(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2),\ }$${\displaystyle \sin \alpha \cos(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2),\ }$${\displaystyle \sin \alpha \sin(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2),\ }$${\displaystyle \sin(\omega _{pre}t/2)\cos(\omega _{rot}t/2)+\cos \alpha \cos(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2){\Big )}}$

إذا اعتبرنا الوضع المرجعي هو الوضع الذي يشير فيه "القطب الشمالي" إلى الاتجاه السالب للمحور z، فإن الوضع عند الزمن t يُعطى عن طريق إضافة دوران بمقدار 180°−α من الوضع المرجعي إلى الوضع الأولي، أي${\displaystyle \left(\sin(\alpha /2),\ 0,\ -\cos(\alpha /2),\ 0\right).}$وبعد التبسيط، يصبح التوجيه عند الزمن t كما يلي:

${\displaystyle {\Big (}\sin(\alpha /2)\cos((\omega _{pre}-\omega _{rot})t/2),\ }$${\displaystyle \cos(\alpha /2)\sin((\omega _{pre}+\omega _{rot})t/2),\ }$${\displaystyle -\cos(\alpha /2)\cos((\omega _{pre}+\omega _{rot})t/2),\ }$${\displaystyle \sin(\alpha /2)\sin((\omega _{pre}-\omega _{rot})t/2){\Big )}}$

مثال: لنأخذ الحالة (الدورية) التي${\displaystyle \omega _{rot}=\omega _{pre}}$وسنسمي هذا${\displaystyle \omega _{com}.}$(هذا ممكن فقط إذا${\displaystyle I_{1}/I_{2}\leq 1/2.}$في هذه الحالة، يكون الدوران حتى الزمن t هو:

$${\displaystyle {\Big (}\cos ^{2}(\omega _{com}t/2)-\cos \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ \sin \alpha \cos(\omega _{com}t/2)\sin(\omega _{com}t/2),\ \sin \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ (1+\cos \alpha )\cos(\omega _{com}t/2)\sin(\omega _{com}t/2){\Big )}}$$

والذي يتبسط إلى:

$${\displaystyle {\Big (}\cos ^{2}(\omega _{com}t/2)-\cos \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ \sin \alpha \sin(\omega _{com}t)/2,\ \sin \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ (1+\cos \alpha )\sin(\omega _{com}t)/2{\Big )}}$$

بالنسبة للاتجاه المرجعي مع توجيه "القطب الشمالي" في الاتجاه السالب للمحور z، فإن الاتجاه عند الزمن t يُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\Big (}\sin(\alpha /2),\ \cos(\alpha /2)\sin(\omega _{com}t),\ -\cos(\alpha /2)\cos(\omega _{com}t),\ 0{\Big )}}$$

هذا دائمًا دوران بمقدار 180°−α من الوضع المرجعي. عندما يقترب شكل الجسم من شكل قضيب ضيق، تتغير النسبة${\displaystyle I_{1}/I_{2}}$عندما تقترب من الصفر، تقترب α من 90 درجة، ويكون الاتجاه دائمًا أعلى بقليل من 90 درجة من الاتجاه المرجعي.

تتمثل إحدى تطبيقات تصميم بوينسو في تصور دوران المركبة الفضائية في مدارها. ^{[ 3 ]}

• بوينسو (1834) نظرية دوران الجثث الجديدة ، باشيليه، باريس.
• لاندو إل دي وليفشيتز إي إم (1976) الميكانيكا ، الطبعة الثالثة، دار بيرغامون للنشر. رقم ISBN 0-08-021022-8(غلاف مقوى) ورقم ISBN 0-08-029141-4(غلاف ورقي).
• جولدشتاين، هـ. (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ، الطبعة الثانية، أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-02918-9
• سايمون، ك. ر. (1971). الميكانيكا ، الطبعة الثالثة، أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-07392-7

• بناء نقاط بوينسو في محاكاة ثلاثية الأبعاد مجسمة - عبر الإنترنت ومجاناً .