تماثل ثماني السطوح

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( مايو 2013 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

مجموعات النقاط المختارة في ثلاثة أبعاد

التماثل الالتفافي C s , (*) [ ] =	التناظر الدوري C nv , (*nn) [n] =	تماثل ثنائي السطوح D nh , (*n22) [n,2] =
المجموعة المتعددة السطوح ، [n,3]، (*n32)
تماثل رباعي السطوح T d ، (*332) [3,3] =	تماثل ثماني السطوح O h , (*432) [4,3] =	تماثل عشريني الوجوه I h , (*532) [5,3] =

يحتوي ثماني السطوح المنتظم على 24 تماثلًا دورانيًا (أو محافظًا على الاتجاه)، و48 تماثلًا إجمالاً. وتشمل هذه التماثلات التحويلات التي تجمع بين الانعكاس والدوران. يحتوي المكعب على نفس مجموعة التماثلات، حيث أن متعدد السطوح هو ثنائي ثماني السطوح.

مجموعة التناظرات المحافظة على الاتجاه هي S ₄ ، وهي المجموعة المتماثلة أو مجموعة تبديلات أربعة أشياء، حيث يوجد تماثل واحد فقط لكل تبديل من تبديلات الأقطار الأربعة للمكعب.

التناظر الكيرالي والثماني السطوح الكامل (أو اللاكيرالي ) هو التناظرات النقطية المنفصلة (أو ما يعادلها، التناظرات على الكرة ) مع أكبر مجموعات التناظر المتوافقة مع التناظر الانتقالي . وهي من بين المجموعات النقطية البلورية للنظام البلوري المكعب .

فصول التزاوج

عناصر O		انقلابات عناصر الأكسجين
هوية	0	انقلاب	0′
3 × دوران بمقدار 180 درجة حول محور رباعي الأضلاع	7 ، 16 ، 23	3 × انعكاس في مستوى عمودي على محور رباعي الأضلاع	7′ , 16′ , 23′
8 × دوران بمقدار 120 درجة حول محور ثلاثي الأضلاع	3، 4، 8، 11، 12، 15، 19، 20	8 × انعكاس الدوران بمقدار 60 درجة	3'، 4'، 8'، 11'، 12'، 15'، 19'، 20'
6 × دوران بمقدار 180 درجة حول محور ثنائي الطي	1'، 2'، 5'، 6'، 14'، 21'	6 × انعكاس في مستوى عمودي على محور ثنائي الأضلاع	1، 2، 5، 6، 14، 21
6 × دوران بمقدار 90 درجة حول محور رباعي الأضلاع	9'، 10'، 13'، 17'، 18'، 22'	6 × انعكاس دوار بمقدار 90 درجة	9، 10، 13، 17، 18، 22

أمثلة
${\displaystyle (0,0)=0}$	${\displaystyle (3,0)=7}$	${\displaystyle (0,3)=3}$	${\displaystyle (7,1)=1'}$	${\displaystyle (4,5)=9'}$
${\displaystyle (7,0)=0'}$	${\displaystyle (4,0)=7'}$	${\displaystyle (7,3)=3'}$	${\displaystyle (0,1)=1}$	${\displaystyle (3,5)=9}$
يمكن العثور على القائمة الكاملة في مقالة ويكي الجامعة.

نظرًا لأن المجموعة فوق ثماني السطوح ذات البعد 3 فإن المجموعة ثماني السطوح الكاملة هي حاصل ضرب الإكليل ، والطريقة الطبيعية لتحديد عناصرها هي كأزواج ( m ، n ) مع و . ولكن نظرًا لأنها أيضًا حاصل ضرب مباشر S ₄ × S ₂ ، فيمكن للمرء ببساطة تحديد عناصر المجموعة الفرعية رباعية السطوح T _d على أنها وانعكاساتها على أنها . ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}}$
${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$${\displaystyle n\in [0,3!)}$
${\displaystyle a\in [0,4!)}$${\displaystyle a'}$

على سبيل المثال، يتم تمثيل الهوية (0، 0) على أنها 0 ويتم تمثيل العكس (7، 0) على أنه 0′. يتم تمثيل
(3، 1) على أنه 6 و (4، 1) على أنه 6′.

الانعكاس الدوراني هو مزيج من الدوران والانعكاس.

توضيح للانعكاسات الدوارة
${\displaystyle 7'\circ 4=8'}$
${\displaystyle 7'\circ 22'=17}$

محاور الدوران
ج 4	ج 3 >	ج 2
3	4	6

O ، 432 ، أو [4,3] ⁺ من الدرجة 24، هو تماثل ثماني السطوح كيرالي أو تماثل ثماني السطوح دوراني . هذه المجموعة تشبه تماثل رباعي السطوح كيرالي T، لكن محاور C ₂ هي الآن محاور C ₄ ، بالإضافة إلى ذلك يوجد 6 محاور C ₂ ، عبر نقاط المنتصف لحواف المكعب. T _d وO متماثلان كمجموعات مجردة: كلاهما يتوافق مع S ₄ ، المجموعة المتماثلة على 4 أجسام. T _d هو اتحاد T والمجموعة التي تم الحصول عليها عن طريق الجمع بين كل عنصر من عناصر O \ T مع الانعكاس. O هي مجموعة دوران المكعب وثماني السطوح المنتظم .

تماثل ثماني السطوح كيرالي

الإسقاط المتعامد	الإسقاط المجسم
2 أضعاف	4 أضعاف	ثلاثة أضعاف	2 أضعاف

O _h ، *432 ، [4,3]، أو m3m من الدرجة 48 - تماثل ثماني السطوح اللاأكيرالي أو تماثل ثماني السطوح الكامل . تحتوي هذه المجموعة على نفس محاور الدوران مثل O، ولكن مع مستويات مرآوية، تضم كل من مستويات المرآوية لـ T _d و T _th . هذه المجموعة متماثلة الشكل لـ S ₄ .C ₂ ، وهي مجموعة التماثل الكامل للمكعب وثماني السطوح . وهي مجموعة ثماني السطوح الفائقة لـ n = 3. انظر أيضًا تماثلات المكعب .

مع المحاور الأربعة كمحاور إحداثية، يتم إعطاء المجال الأساسي لـ O _h بواسطة 0 ≤ x ≤ y ≤ z . يتميز الجسم ذو هذا التناظر بجزء الجسم في المجال الأساسي، على سبيل المثال ، يتم إعطاء المكعب بواسطة z = 1 ، وثماني السطوح بواسطة x + y + z = 1 (أو المتباينات المقابلة، للحصول على الجسم الصلب بدلاً من السطح). يعطي ax + by + cz = 1 متعدد السطوح بـ 48 وجهًا، على سبيل المثال، مجسم اثنا عشري السطوح من نوع ديسدياكيس.

الوجوه هي 8 × 8 مدمجة مع وجوه أكبر لـ a = b = 0 (مكعب) و 6 × 6 لـ a = b = c (ثماني السطوح).

يمكن تقسيم خطوط المرآة التسعة ذات التناظر الثماني السطوح الكامل إلى مجموعتين فرعيتين من 3 و6 (مرسومة باللون الأرجواني والأحمر)، وتمثل في تماثلين فرعيين متعامدين: D _2h و T _d . ويمكن مضاعفة تماثل D _{2h إلى D 4h} عن طريق استعادة مرآتين من أحد الاتجاهات الثلاثة.

التناظر الثماني السطوح والمجموعات الفرعية العاكسة
الإسقاط التقويمي الإسقاط المجسم 4 أضعاف ثلاثة أضعاف 2 أضعاف أوه , [4,3] ,، تناسق ثماني السطوح الكامل (3+6 مرايا) ت د ، [3،3]=[1 + ،4،3]،=، المجموعة الفرعية رباعية السطوح (6 مرايا) ج 3ف ، [3]،، المجموعة الفرعية ثنائية السطوح (3 مرايا)	الإسقاط التقويمي الإسقاط المجسم 4 أضعاف ثلاثة أضعاف 2 أضعاف د 4ح ، [4،2]،مجموعة فرعية ثنائية السطوح (1+2+2 مرآة) د 2ح ، [2,2]=[4,3*]،= مجموعة فرعية ثنائية السطوح (1+1+1 مرآة) ج 4ف ، [4]،، المجموعة الفرعية ثنائية السطوح (2+2 مرآة)

خذ مجموعة مصفوفات التبديل 3×3 وقم بتعيين إشارة + أو - لكل من المصفوفات الثلاثة 1. هناك تبديلات ومجموعات إشارات لإجمالي 48 مصفوفة، مما يعطي المجموعة الثمانية السطوح الكاملة. 24 من هذه المصفوفات لها محدد +1؛ ​​هذه هي مصفوفات الدوران للمجموعة الثمانية السطوح الكيرالية. المصفوفات الـ 24 الأخرى لها محدد -1 وتتوافق مع الانعكاس أو الانعكاس. ${\displaystyle 3!=6}$${\displaystyle 2^{3}=8}$

نحتاج إلى ثلاث مصفوفات مولدات انعكاسية لتحقيق التناظر الثماني السطوح، والتي تمثل المرايا الثلاث في مخطط كوكستر-دينكين . ينتج حاصل ضرب الانعكاسات 3 مولدات دورانية.

[4،3]،

	تأملات			الدورات			انعكاس الدوران
المولدات	ر 0	ر 1	ر 2	ر 0 ر 1	ر 1 ر 2	ر 0 ر 2	ر 0 ر 1 ر 2
مجموعة
طلب	2	2	2	4	3	2	6
المصفوفة	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

الرسوم البيانية الدورية للمجموعات الفرعية من الدرجة 24

شوي.	كوكستر		محجر العين.	صاحبة الجلالة	بناء	دورة.	طلب	فِهرِس
أوه​	[4,3]		*432	م 3 م	س 4 × س 2		48	1
ت د	[3,3]		*332	4 3م	س 4		24	2
د 4 ساعات	[2,4]		*224	4/ممم	د 2 ×د 8		16	3
د 2س	[2,2]		*222	ممم	د 2 3 = د 2 × د 4		8	6
ج 4ف	[4]		*44	4 مم	د 8		8	6
ج 3ف	[3]		*33	3م	د 6 = س 3		6	8
ج 2 ف	[2]		*22	مم2	د 2 2 =د 4		4	12
ج س = ج 1 ف	[ ]		*	2 أو م	د 2		2	24
ذ​	[3 + ,4]		3*2	م 3	أ 4 × س 2		24	2
ج 4ح	[4 + ،2]		4*	4/م	ز 4 ×د 2		8	6
د 3د	[2 + ،6]		2*3	3 م	د 12 =ز 2 ×د 6		12	4
د 2د	[2 + ،4]		2*2	4 2م	د 8		8	6
ج 2ح = د 1د	[2 + ,2]		2*	2/م	ز 2 × د 2		4	12
س 6	[2 + ,6 + ]		3×	3	ز 6 = ز 2 × ز 3		6	8
س 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	ز 4		4	12
س 2	[2 + ,2 + ]		×	1	س 2		2	24
ا	[4,3] +		432	432	س 4		24	2
ت	[3,3] +		332	23	أ 4		12	4
د 4	[2,4] +		224	422	د 8		8	6
د 3	[2,3] +		223	322	د 6 = س 3		6	8
د 2	[2,2] +		222	222	د 4 =ز 2 2		4	12
ج 4	[4] +		44	4	ز 4		4	12
ج 3	[3] +		33	3	ز 3 = أ 3		3	16
ج 2	[2] +		22	2	ز 2		2	24
ج 1	[ ] +		11	1	ز 1		1	48

المجموعات الفرعية الثماني السطوح في تدوين كوكستر [1]

يحتوي المكعب على 48 عنصر تماثل، تشكل مجموعة التماثل O _h ، المتماثلة مع S ₄  × Z _2. ويمكن تصنيفها على النحو التالي:

• O (الهوية و23 دورة صحيحة) مع فئات الاقتران التالية (بين قوسين يتم إعطاء تبديلات أقطار الجسم وتمثيل رباعية الوحدة ):
  • الهوية (الهوية؛ 1)
  • الدوران حول محور من مركز وجه إلى مركز الوجه المقابل بزاوية 90 درجة: 3 محاور، 2 لكل محور، معًا 6 ((1 2 3 4)، إلخ؛ ((1 ±  i  )/ √ 2 ، إلخ.)
  • كذلك بزاوية 180 درجة: 3 محاور، 1 لكل محور، معًا 3 ((1 2) (3 4)، إلخ؛ i ، j ، k )
  • الدوران حول محور من مركز حافة إلى مركز الحافة المقابلة بزاوية 180 درجة: 6 محاور، 1 لكل محور، معًا 6 ((1 2)، إلخ؛ (( i  ±  j  )/ √ 2 ، إلخ.)
  • الدوران حول جسم قطريًا بزاوية 120 درجة: 4 محاور، 2 لكل محور، معًا 8 ((1 2 3)، إلخ؛ (1 ±  i  ±  j  ±  k )/2)
• الأمر نفسه مع الانعكاس ( يتم تعيين x إلى − x ) (أيضًا 24 تماثلًا). لاحظ أن الدوران بزاوية 180 درجة حول محور مقترنًا بالانعكاس هو مجرد انعكاس في المستوى العمودي. إن الجمع بين الانعكاس والدوران حول جسم قطريًا بزاوية 120 درجة هو دوران حول الجسم قطريًا بزاوية 60 درجة، مقترنًا بالانعكاس في المستوى العمودي (الدوران نفسه لا يعين المكعب لنفسه؛ تقاطع مستوى الانعكاس مع المكعب هو مسدس منتظم ) .

يمكن تحديد تساوي قياس المكعب بعدة طرق:

• من خلال الوجوه، يتم تعيين ثلاثة وجوه متجاورة معينة (على سبيل المثال 1 و2 و3 على النرد) إلى
• من خلال صورة مكعب على أحد وجهيه علامة غير متماثلة: الوجه الذي عليه العلامة، سواء كان طبيعيًا أو صورة معكوسة، والاتجاه
• عن طريق تبديل الأقطار الأربعة للجسم (كل من التبديلات الـ 24 ممكنة)، مع تبديل لعكس المكعب، أو لا

بالنسبة للمكعبات ذات الألوان أو العلامات (مثل تلك الموجودة في النرد )، فإن مجموعة التماثل هي مجموعة فرعية من O _h .

أمثلة:

• ج _4ف ، [4]، (*422): إذا كان أحد الوجوه له لون مختلف (أو كان وجهان متقابلان لهما ألوان مختلفة عن بعضهما البعض وعن الأربعة الآخرين)، فإن المكعب يحتوي على 8 تماثلات، مثل المربع في ثنائي الأبعاد.
• د _2ح ، [2،2]، (*222): إذا كانت الوجوه المتقابلة لها نفس الألوان، مختلفة لكل مجموعة من اثنين، فإن المكعب يحتوي على 8 تماثلات، مثل المكعب .
• د _4ح ، [4،2]، (*422): إذا كان وجهان متعاكسان لهما نفس اللون، وكل الوجوه الأخرى لها لون مختلف، فإن المكعب يحتوي على 16 تماثلًا، مثل المنشور المربع (الصندوق المربع).
• ج _2ف ، [2]، (*22):
  • إذا كان وجهان متجاوران لهما نفس اللون، وكل الوجوه الأخرى لها لون مختلف، فإن المكعب يحتوي على 4 تماثلات.
  • إذا كان هناك ثلاثة أوجه، منها وجهان متقابلان، لها لون واحد والثلاثة وجوه الأخرى لها لون آخر، فإن المكعب يحتوي على 4 تماثلات.
  • إذا كان هناك وجهان متعاكسان لهما نفس اللون، ووجهان متعاكسان آخران أيضًا، وكان الوجهان الأخيران لهما ألوان مختلفة، فإن المكعب يحتوي على 4 تماثلات، مثل قطعة من الورق الفارغ ذات شكل له تماثل مرآوي.
• جـ ، [ ]، (*) _:
  • إذا كان وجهان متجاوران لهما ألوان مختلفة عن بعضهما البعض، وكان للوجوه الأربعة الأخرى لون ثالث، فإن المكعب يحتوي على تماثلين.
  • إذا كان وجهان متعاكسان لهما نفس اللون، وكل الوجوه الأخرى لها ألوان مختلفة، فإن المكعب يحتوي على تماثلين، مثل قطعة ورق فارغة غير متماثلة.
• ج _3ف ، [3]، (*33): إذا كانت ثلاثة أوجه، ليس بينها أي وجه مقابل للآخر، لها لون واحد والثلاثة الأخرى لها لون آخر، فإن المكعب له 6 تماثلات.

بالنسبة لبعض المجموعات الفرعية الأكبر حجمًا، لا يمكن إنشاء مكعب يحتوي على تلك المجموعة كمجموعة تماثل بمجرد تلوين الوجوه بالكامل. يجب رسم نمط ما على الوجوه.

أمثلة:

• د _2د ، [2 ⁺ ، 4]، (2*2): إذا كان أحد الوجوه يحتوي على قطعة مستقيمة تقسم الوجه إلى مستطيلين متساويين، وكان الوجه الآخر يحتوي على نفس الشيء في اتجاه عمودي، فإن المكعب يحتوي على 8 تماثلات؛ يوجد مستوى تماثل وتماثل دوراني ثنائي الأضلاع مع محور بزاوية 45 درجة على هذا المستوى، ونتيجة لذلك، يوجد أيضًا مستوى تماثل آخر عمودي على الأول، ومحور آخر من التماثل الدوراني ثنائي الأضلاع عمودي على الأول.
• ث _، [3 ⁺ ، 4]، (3*2): إذا كان لكل وجه قطعة مستقيمة تقسم الوجه إلى مستطيلين متساويين، بحيث لا تلتقي قطع مستقيمة للوجوه المتجاورة عند الحافة، فإن المكعب يحتوي على 24 تماثلًا: التباديل الزوجية لأقطار الجسم ونفس الشيء مجتمعًا مع الانعكاس ( يتم تعيين x إلى − x ).
• T _d ، [3،3]، (*332): إذا كان المكعب يتكون من ثمانية مكعبات أصغر، أربعة بيضاء وأربعة سوداء، توضع معًا بالتناوب في جميع الاتجاهات القياسية الثلاثة، فإن المكعب يحتوي مرة أخرى على 24 تماثلًا: هذه المرة التباديل الزوجية لأقطار الجسم ومعكوسات الدورات الصحيحة الأخرى .
• T، [3،3] ⁺ ، (332): إذا كان لكل وجه نفس النمط مع تناسق دوراني ثنائي، على سبيل المثال الحرف S، بحيث يلتقي الجزء العلوي من أحد الحرفين S بجانب من الحرف S الآخر عند جميع الحواف، فإن المكعب يحتوي على 12 تماثلًا: التباديل الزوجية لأقطار الجسم.

يتم الحفاظ على التماثل الكامل للمكعب، O _h ، [4,3]، (*432)، إذا وفقط إذا كانت جميع الوجوه لها نفس النمط بحيث يتم الحفاظ على التماثل الكامل للمربع ، مع وجود مجموعة تماثل للمربع، Dih ₄ ، [4]، من الدرجة 8.

يتم الحفاظ على التماثل الكامل للمكعب تحت الدورات الصحيحة، O، [4,3] ⁺ ، (432)، إذا وفقط إذا كانت جميع الوجوه لها نفس النمط مع تماثل دوراني رباعي الأضلاع ، Z ₄ ، [4] ⁺ .

في نظرية سطح ريمان ، يتم الحصول على سطح بولزا ، والذي يُسمى أحيانًا منحنى بولزا، باعتباره غطاءً مزدوجًا متفرعًا لكرة ريمان، مع موضع تفريع عند مجموعة رؤوس ثماني السطوح المنتظم المنقوش. تتضمن مجموعة التماثل الذاتي الخاصة به الالتفاف المفرط الذي يقلب صفحتي الغطاء. ينتج الحاصل بواسطة المجموعة الفرعية من المرتبة 2 الناتجة عن الالتفاف المفرط مجموعة تماثلات ثماني السطوح على وجه التحديد. من بين الخصائص العديدة الرائعة لسطح بولزا حقيقة أنه يزيد من الانقباض بين جميع الأسطح الزائدية من الجنس 2.

فصل	اسم	صورة	وجوه	الحواف	رؤوس	الاسم المزدوج	صورة
الجسم الأرخميدي ( الجسم الكاتالوني )	مكعب سنوب		38	60	24	مجسم خماسي عشري الوجوه

فصل	اسم	صورة	وجوه	الحواف	رؤوس	الاسم المزدوج	صورة
صلب أفلاطوني	مكعب		6	12	8	المجسم الثماني
جسم أرخميدس ( جسم كاتالوني مزدوج )	مكعب ثماني السطوح		14	24	12	المعين الاثني عشري الوجوه
	مكعب مقطوع		14	36	24	مجسم ثلاثي الوجوه
	ثماني السطوح المقطوع		14	36	24	رباعي الوجوه سداسي الوجوه
	المعين المكعب ثماني السطوح		26	48	24	مثلث الشكل متوازي الأضلاع
	مكعب ثماني السطوح مقطوع		26	72	48	ديسدياكيس اثنا عشر وجها
متعدد السطوح المركب المنتظم	ثماني السطوح النجمي		8	12	8	ثنائي ذاتي
	المكعب وثماني السطوح		14	24	14	ثنائي ذاتي

• تماثل رباعي السطوح
• تماثل عشريني الوجوه
• مجموعة ثماني السطوح الثنائية
• مجموعة فوق ثماني السطوح
• مواد تعليمية متعلقة بالمجموعة الثماني السطوح الكاملة على موقع ويكي الجامعة

• بيتر ر. كرومويل، متعدد السطوح (1997)، ص 295
• تماثلات الأشياء 2008، جون إتش كونواي، هايدي بورجيل، حاييم جودمان شتراوس، ISBN  978-1-56881-220-5
• الكالييدوسكوب: كتابات مختارة لـ HSM Coxeter ، تحرير F. Arthur Sherk، Peter McMullen، Anthony C. Thompson، Asia Ivic Weiss، Wiley-Interscience Publication، 1995، ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
• NW Johnson : الهندسة والتحويلات ، (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 الفصل 11: مجموعات التناظر المحدود ، 11.5 مجموعات كوكستر الكروية 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الثماني السطوح". MathWorld .
• Groupprops: منتج مباشر من S4 وZ2