الرباعيات والدوران المكاني

يشير اقتران p بـ q إلى العملية p ↦ qpq ⁻¹ .

ضع في اعتبارك الدوران f حول المحور${\displaystyle {\vec {v}}=\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }$، بزاوية دوران تبلغ 120 درجة، أو 2 π / 3 راديان . 

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{3}}}$

طول${\displaystyle {\vec {v}}}$بما أن √3 ، فإن نصف الزاوية هو π / 3 (60° ) مع جيب تمام 1/2 ( cos 60° = 0.5 ) وجيب √3/ 2 ( sin 60 ° ≈ 0.866 ) . لذا ، نحن نتعامل مع اقتران بواسطة الكواترنيون الواحدي

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot {\frac {1}{\|{\vec {v}}\|}}{\vec {v}}\\&=\cos {\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{\sqrt {3}}}\\&={\frac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}\end{aligned}}}$

إذا كانت f هي دالة الدوران،

${\displaystyle f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=u(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )u^{-1}}$

يمكن إثبات أن معكوس الكواترنيون الواحدي يُحصل عليه ببساطة عن طريق تغيير إشارة مكوناته التخيلية. ونتيجة لذلك،

${\displaystyle u^{-1}={\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}}$

و

${\displaystyle f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )={\dfrac {1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} }{2}}(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} ){\dfrac {1-\mathbf {i} -\mathbf {j} -\mathbf {k} }{2}}}$

يمكن تبسيط ذلك باستخدام القواعد العادية لحسابات الأعداد الرباعية، إلى

${\displaystyle f(a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} )=c\mathbf {i} +a\mathbf {j} +b\mathbf {k} }$

وكما هو متوقع، فإن الدوران يتوافق مع تثبيت مكعب عند نقطة واحدة، وتدويره 120 درجة حول القطر الطويل الذي يمر عبر النقطة الثابتة (لاحظ كيف يتم تبديل المحاور الثلاثة بشكل دوري ).

دوران رباعي${\displaystyle \mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}}$(مع${\displaystyle \mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} }$يمكن تحويل ) جبريًا إلى دوران مصفوفة${\displaystyle \mathbf {p'} =\mathbf {Rp} }$، أين${\displaystyle \mathbf {R} }$مصفوفة الدوران المعطاة بواسطة: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}1-2s(q_{j}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2s(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2s(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{k}^{2})&2s(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2s(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r})&2s(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2s(q_{i}^{2}+q_{j}^{2})\end{bmatrix}}}$

هنا${\displaystyle s=\|q\|^{-2}}$وإذا كان q عبارة عن كواترنيون وحدة،${\displaystyle s=1^{-2}=1}$.

يمكن الحصول على ذلك باستخدام حساب المتجهات والجبر الخطي إذا عبرنا${\displaystyle \mathbf {p} }$و${\displaystyle \mathbf {q} }$كأجزاء قياسية ومتجهة، واستخدم صيغة عملية الضرب في المعادلة${\displaystyle \mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}}$إذا كتبنا${\displaystyle \mathbf {p} }$مثل${\displaystyle \left(0,\ \mathbf {p} \right)}$،${\displaystyle \mathbf {p} '}$مثل${\displaystyle \left(0,\ \mathbf {p} '\right)}$و${\displaystyle \mathbf {q} }$مثل${\displaystyle \left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)}$، أين${\displaystyle \mathbf {v} =\left(q_{i},q_{j},q_{k}\right)}$، تتحول معادلتنا إلى${\displaystyle \left(0,\ \mathbf {p} '\right)=\left(q_{r},\ \mathbf {v} \right)\left(0,\ \mathbf {p} \right)s\left(q_{r},\ -\mathbf {v} \right)}$باستخدام صيغة ضرب اثنين من الكواترنيونات التي يتم التعبير عنها كأجزاء قياسية ومتجهة،

${\displaystyle \left(r_{1},\ {\vec {v}}_{1}\right)\left(r_{2},\ {\vec {v}}_{2}\right)=\left(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}\right),}$

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}(0,\ \mathbf {p} ')=&((q_{r},\ \mathbf {v} )(0,\ \mathbf {p} ))s(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&(q_{r}0-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ q_{r}\mathbf {p} +0\mathbf {v} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )s(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&s(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )(q_{r},\ -\mathbf {v} )\\=&s(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} q_{r}-(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )\cdot (-\mathbf {v} ),\ (-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )(-\mathbf {v} )+q_{r}(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )+(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} )\times (-\mathbf {v} ))\\=&s\left(-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} q_{r}+q_{r}\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} ,\ \mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)+q_{r}^{2}\mathbf {p} +q_{r}\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\mathbf {v} \times \left(q_{r}\mathbf {p} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} \right)\right)\\=&\left(0,\ s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \otimes }$يشير إلى الضرب الخارجي ،${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة و${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{\times }}$هي مصفوفة التحويل التي عند ضربها من اليمين بمتجه${\displaystyle \mathbf {u} }$يعطي الضرب الاتجاهي${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {u} }$.

منذ${\displaystyle \mathbf {p} '=\mathbf {R} \mathbf {p} }$يمكننا تحديد${\displaystyle \mathbf {R} }$مثل${\displaystyle s\left(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}\right)}$، والذي عند توسيعه يجب أن ينتج عنه التعبير المكتوب في شكل مصفوفة أعلاه.

التعبير${\displaystyle \mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}}$يقوم بتدوير أي متجه رباعي${\displaystyle \mathbf {p} }$حول محور محدد بواسطة المتجه${\displaystyle \mathbf {a} }$من الزاوية${\displaystyle \theta }$، أين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \theta }$يعتمد على الرباعي${\displaystyle \mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} }$.

${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \theta }$يمكن إيجادها من المعادلات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{x},a_{y},a_{z})={}&{\frac {(q_{i},q_{j},q_{k})}{\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}}}\\[2pt]\theta =2\operatorname {atan2} &\left({\sqrt {q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}}},\,q_{r}\right),\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \operatorname {atan2} }$دالة الظل العكسي ذات الوسيطين .${\displaystyle \theta =2\operatorname {acos} (q_{r})}$يعمل، ولكنه غير مستقر عدديًا (غير دقيق) بالقرب من${\displaystyle q_{r}=\pm 1}$للأعداد ذات الدقة المحدودة.

ينبغي توخي الحذر عندما يقترب الكواترنيون من عدد قياسي ، لأنه بسبب الانحلال، فإن محور دوران الهوية غير محدد جيدًا.

تتمثل إحدى فوائد صياغة الكواترنيون لتركيب دورانين R _B و R _A في أنها تعطي مباشرة محور الدوران وزاوية الدوران المركب R _C = R _B R _A .

لنفترض أن الكواتيرنيون المرتبط بدوران مكاني R يتم إنشاؤه من محور دورانه S بزاوية الدوران${\displaystyle \varphi }$حول هذا المحور. ويُعطى الكواترنيون المرتبط به بواسطة $${\displaystyle S=\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathbf {S} \sin {\frac {\varphi }{2}}.}$$_{إذن ، يكون} تركيب الدوران RB مع RA هو الدوران RC = RBRA _، حيث يُحدد محور الدوران وزاويته بضرب الكواترنيونات _.$${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}},}$$ إنه $${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right).}$$

قم بتوسيع هذا المنتج للحصول على $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {\gamma }{2}}=\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)+\left(\mathbf {B} \sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).}$$

اقسم طرفي هذه المعادلة على المتطابقة، وهي قانون جيب التمام على الكرة . $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}},}$$ واحسب $${\displaystyle \mathbf {C} \tan {\frac {\gamma }{2}}={\frac {\mathbf {B} \tan {\frac {\beta }{2}}+\mathbf {A} \tan {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {B} \times \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}}}.}$$

هذه هي صيغة رودريغز للدوران لمحور دوران مركب مُعرَّف بدلالة محاور الدورانين. وقد اشتق هذه الصيغة في عام 1840 (انظر الصفحة 408). ^{[ 11 ]}

تشكل محاور الدوران الثلاثة A و B و C مثلثًا كرويًا، وتُحدد زوايا الدوران الزوايا الثنائية بين المستويات المتكونة من أضلاع هذا المثلث. وقد قدم هاميلتون ^{[ 12 ]} الصيغة المركبة لهذه المعادلات، موضحًا أن حاصل ضرب الكواترنيون يحسب الرأس الثالث لمثلث كروي من رأسين معطيين وأطوال أقواسهما، وهو ما يُعرّف أيضًا جبرًا للنقاط في الهندسة الإهليلجية .

يجب اشتقاق الكواترنيون المُدار p' = q p q ^{−1 بالنسبة إلى الكواترنيون المُدار} q ، عند تقدير الدوران من خلال التحسين العددي. يُعد تقدير زاوية الدوران إجراءً أساسيًا في تسجيل الأجسام ثلاثية الأبعاد أو معايرة الكاميرا. بالنسبة لـ q ذي العدد الواحد و p التخيلي البحت ، أي للدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن تمثيل مشتقات الكواترنيون المُدار باستخدام ترميز حساب المصفوفات كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial \mathbf {q} }}\equiv \left[{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{0}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{x}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{y}}},{\frac {\partial \mathbf {p'} }{\partial q_{z}}}\right]=\left[\mathbf {qp} -(\mathbf {qp} )^{*},(\mathbf {qpi} )^{*}-\mathbf {qpi} ,(\mathbf {qpj} )^{*}-\mathbf {qpj} ,(\mathbf {qpk} )^{*}-\mathbf {qpk} \right].\end{aligned}}}$

يمكن إيجاد الاشتقاق في ^{[ 13 ]}

يمكن تعريف الأعداد المركبة بإدخال رمز مجرد i يحقق قواعد الجبر المعتادة، بالإضافة إلى القاعدة ^i² = -1 . وهذا يكفي لإعادة إنتاج جميع قواعد حساب الأعداد المركبة، على سبيل المثال:

${\displaystyle (a+b\mathbf {i} )(c+d\mathbf {i} )=ac+ad\mathbf {i} +b\mathbf {i} c+b\mathbf {i} d\mathbf {i} =ac+ad\mathbf {i} +bc\mathbf {i} +bd\mathbf {i} ^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)\mathbf {i} .}$

وبالمثل، يمكن تعريف الأعداد الرباعية بإدخال رموز مجردة ⁱ و j و k تحقق القواعد i² = j² = ^k² = i j k = -1 والقواعد الجبرية المعتادة باستثناء قانون التبديل في الضرب (ومن الأمثلة الشائعة على هذا النوع من الضرب غير التبديلي ضرب المصفوفات ). ^ومن هذا تستنتج جميع قواعد حساب الأعداد الرباعية، مثل قواعد ضرب عناصر أساس الأعداد الرباعية . وباستخدام هذه القواعد، يمكن إثبات ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )(e+f\mathbf {i} +g\mathbf {j} +h\mathbf {k} )=\\&(ae-bf-cg-dh)+(af+be+ch-dg)\mathbf {i} +(ag-bh+ce+df)\mathbf {j} +(ah+bg-cf+de)\mathbf {k} .\end{aligned}}}$

الجزء الخيالي${\displaystyle b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }$يتصرف الكواترنيون كمتجه${\displaystyle {\vec {v}}=(b,c,d)}$في الفضاء المتجهي ثلاثي الأبعاد ، ويتصرف الجزء الحقيقي a ككمية قياسية في R. عند استخدام الكواترنيونات في الهندسة، يكون من الأنسب تعريفها على أنها كمية قياسية بالإضافة إلى متجه :

${\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+{\vec {v}}.}$

قد يجد البعض غريباً إضافة عدد إلى متجه ، فهما كائنان مختلفان تماماً في طبيعتهما، أو ضرب متجهين معاً، لأن هذه العملية غير مُعرَّفة عادةً. مع ذلك، إذا تذكرنا أنها مجرد رمز للجزء الحقيقي والجزء التخيلي من الكواترنيون، يصبح الأمر أكثر منطقية. بعبارة أخرى، المنطق الصحيح هو جمع كواترنيونين، أحدهما بجزء تخيلي متجهي يساوي صفراً، والآخر بجزء حقيقي قياسي يساوي صفراً.

${\displaystyle q_{1}=s+{\vec {v}}=\left(s,{\vec {0}}\right)+\left(0,{\vec {v}}\right).}$

يمكننا التعبير عن ضرب الكواترنيونات باللغة الحديثة للضرب الاتجاهي والضرب النقطي للمتجهات (والتي استُلهمت في الأصل من الكواترنيونات ^{[ 14 ] ). عند ضرب الأجزاء المتجهة /} التخيلية، بدلاً من القواعد i² = j² = ^k² = ijk = -1، ^لدينا قاعدة ضرب الكواترنيونات التالية:

${\displaystyle {\vec {v}}{\vec {w}}=-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\times {\vec {w}},}$

أين:

• ${\displaystyle {\vec {v}}{\vec {w}}}$وهو الكواترنيون الناتج،
• ${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}}$هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات (متجه)،
• ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}$هو حاصل ضرب متجهي قياسي (كمية قياسية).

عملية ضرب الكواترنيونات غير تبادلية (بسبب الضرب الاتجاهي، الذي يُعدّ مضادًا للتبادل )، بينما عمليات الضرب القياسي-القياسي والقياسي-المتجهي تبادلية. ومن هذه القواعد يتبين مباشرةً ما يلي (انظر الكواترنيونات §  الكواترنيونات والهندسة ثلاثية الأبعاد ):

${\displaystyle q_{1}q_{2}=\left(s+{\vec {v}}\right)\left(t+{\vec {w}}\right)=\left(st-{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right)+\left(s{\vec {w}}+t{\vec {v}}+{\vec {v}}\times {\vec {w}}\right).}$

يُعطى المعكوس الضربي (الأيسر والأيمن) أو المقلوب للرباعي غير الصفري بنسبة المرافق إلى المعيار ( انظر التفاصيل ):

${\displaystyle q_{1}^{-1}=\left(s+{\vec {v}}\right)^{-1}={\frac {\left(s+{\vec {v}}\right)^{*}}{\lVert s+{\vec {v}}\rVert ^{2}}}={\frac {s-{\vec {v}}}{s^{2}+\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}},}$

كما يمكن التحقق من ذلك عن طريق الحساب المباشر (لاحظ التشابه مع المعكوس الضربي للأعداد المركبة ).

يترك${\displaystyle {\vec {u}}}$ليكن متجه وحدة (محور الدوران) وليكن${\displaystyle q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}$هدفنا هو أن نوضح ذلك

${\displaystyle {\vec {v}}'=q{\vec {v}}q^{-1}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\vec {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}$

ينتج المتجه${\displaystyle {\vec {v}}}$تم تدويرها بزاوية${\displaystyle \alpha }$حول المحور${\displaystyle {\vec {u}}}$التوسع (مع الأخذ في الاعتبار أن${\displaystyle {\vec {u}}{\vec {v}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\left({\vec {u}}{\vec {v}}-{\vec {v}}{\vec {u}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\vec {u}}{\vec {v}}{\vec {u}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right){\vec {u}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right){\vec {u}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left(\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\times {\vec {u}}-\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {u}}\right)-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left(\left({\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)-0-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {u}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\left({\vec {v}}-2{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\left(2{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)-{\vec {v}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

إذا سمحنا${\displaystyle {\vec {v}}_{\bot }}$و${\displaystyle {\vec {v}}_{\|}}$تساوي مكونات${\displaystyle {\vec {v}}}$عمودي وموازٍ لـ${\displaystyle {\vec {u}}}$على التوالي، ثم${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\bot }+{\vec {v}}_{\|}}$و${\displaystyle {\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)={\vec {v}}_{\|}}$مما يؤدي إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\left(2{\vec {u}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)-{\vec {v}}\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&=\left({\vec {v}}_{\|}+{\vec {v}}_{\bot }\right)\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\left({\vec {v}}_{\|}-{\vec {v}}_{\bot }\right)\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\[6pt]&={\vec {v}}_{\|}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)+{\vec {v}}_{\bot }\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

باستخدام متطابقات فيثاغورس ومتطابقات الزاوية المزدوجة المثلثية ، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}'&={\vec {v}}_{\|}\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)+{\vec {v}}_{\bot }\left(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\\[6pt]&={\vec {v}}_{\|}+\left({\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)\sin \alpha +{\vec {v}}_{\bot }\cos \alpha \end{aligned}}}$

هذه هي صيغة الدوران بواسطة${\displaystyle \alpha }$حول المحور u →

إن ضرب الكواترنيونات ليس عملية تبادلية . هذه الحقيقة تفسر كيف يمكن لصيغة p ↦ q p q ⁻¹ أن تعمل أصلاً، حيث أن q q ⁻¹ = 1 بحسب التعريف. وبما أن ضرب الكواترنيونات الوحدوية يقابل تركيب الدورانات ثلاثية الأبعاد، يمكن جعل هذه الخاصية بديهية من خلال إثبات أن الدورانات ثلاثية الأبعاد ليست تبادلية بشكل عام.

يوضح الشكل على اليمين ذلك باستخدام النرد. استخدم يدك اليمنى لعمل دورانين بزاوية 90 درجة. يتم ضبط كلا النردين مبدئيًا كما هو  موضح في الزاوية العلوية اليسرى (مع وجود نقطة واحدة على الوجه العلوي). يبدأ المسار أ بدوران حول المحور -y (باستخدام قاعدة اليد اليمنى )، يليه دوران حول المحور + z ، مما ينتج عنه التكوين الموضح في الزاوية السفلية اليسرى (5 نقاط على الوجه العلوي). يعكس المسار ب تسلسل الدورانات، مما ينتج عنه 3 نقاط في الأعلى.

أو بدلاً من ذلك، ضع كتابين بجانب بعضهما. أدر أحدهما 90  درجة باتجاه عقارب الساعة حول المحور z ، ثم اقلبه 180  درجة حول المحور x . خذ الكتاب الآخر، اقلبه 180 درجة حول المحور x أولاً، ثم 90 درجة باتجاه عقارب الساعة حول المحور z لاحقاً. لن يصبح الكتابان متوازيين في النهاية. هذا يدل على أنه، بشكل عام، لا يمكن تبادل تركيب دورانين مختلفين حول محورين مكانيين مختلفين.

يُضفي الضرب الاتجاهي للمتجهات ، المستخدم لتعريف تمثيل المحور والزاوية، اتجاهًا ("يدوية") على الفضاء: ففي فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد، تُشكّل المتجهات الثلاثة في المعادلة a × b = c دائمًا مجموعة يمينية (أو مجموعة يسارية، اعتمادًا على تعريف الضرب الاتجاهي)، مما يُحدد اتجاهًا في الفضاء المتجهي. وبدلاً من ذلك، يُمكن التعبير عن الاعتماد على الاتجاه بالإشارة إلى...${\displaystyle {\vec {u}}}$يُحدد ذلك دورانًا بالنسبة للمتجهات المحورية . في الصيغة الرباعية، يتوافق اختيار اتجاه الفضاء مع ترتيب الضرب: ij = k ولكن ji = − k . إذا عُكس الاتجاه، فإن الصيغة أعلاه تصبح p ↦ q ⁻¹ p q ، أي أن الوحدة q تُستبدل بالرباعي المرافق - وهو نفس سلوك المتجهات المحورية.

يصنف الجدول أدناه التطبيقات حسب مدى التزامها بأي من اصطلاحات الكواترنيون: ^{[ 16 ]}

في حين أن استخدام أي من الاتفاقيتين لا يؤثر على قدرة أو صحة التطبيقات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة، فقد جادل مؤلفو ^{[ 16 ]} بأنه ينبغي التخلي عن اتفاقية شوستر لأنها تختلف عن اتفاقية ضرب الكواترنيون الأقدم بكثير التي وضعها هاميلتون وقد لا يتم اعتمادها أبدًا من قبل مجالات الفيزياء الرياضية أو النظرية.

يُعدّ تمثيل الدوران باستخدام الكواترنيون (أربعة أرقام) أكثر إيجازًا من تمثيله باستخدام المصفوفة المتعامدة (تسعة أرقام). علاوة على ذلك، يُمكن بسهولة إنشاء الكواترنيون المناسب لمحور وزاوية مُحددين، وبالعكس، يُمكن بسهولة استخلاص المحور والزاوية من كواترنيون مُحدد. ويُعدّ كلا الأمرين أكثر صعوبةً مع المصفوفات أو زوايا أويلر .

في ألعاب الفيديو وغيرها من التطبيقات، غالبًا ما يكون الاهتمام منصبًا على "الدوران السلس"، أي أن المشهد يجب أن يدور ببطء وليس دفعة واحدة. يمكن تحقيق ذلك باختيار منحنى ، مثل الاستيفاء الخطي الكروي في الكواترنيونات، حيث تكون إحدى نقطتي النهاية هي التحويل المطابق 1 (أو أي دوران ابتدائي آخر)، والأخرى هي الدوران النهائي المطلوب. لكن هذا الأمر يصبح أكثر تعقيدًا مع تمثيلات الدوران الأخرى.

عند إجراء عدة عمليات دوران على الحاسوب، تتراكم أخطاء التقريب حتمًا. حتى بعد تطبيع الكواترنيون الذي يختلف قليلاً، فإنه يظل يمثل دورانًا: قد لا تكون المصفوفة التي تختلف قليلاً متعامدة ، ويصعب تحويلها مرة أخرى إلى مصفوفة متعامدة صحيحة.

تتجنب الكواترنيونات أيضًا ظاهرة تُسمى " قفل جيمبال" ، والتي قد تحدث عندما، على سبيل المثال في أنظمة الدوران ذات المحاور الثلاثة (الميل/الانعراج/الدوران) ، يدور الميل بزاوية 90 درجة لأعلى أو لأسفل، بحيث يتوافق الانعراج والدوران مع نفس الحركة، مما يؤدي إلى فقدان درجة من حرية الدوران. في نظام الملاحة بالقصور الذاتي الفضائي القائم على الجيمبال ، على سبيل المثال، قد تكون لهذه الظاهرة نتائج كارثية إذا كانت الطائرة في حالة انحدار حاد أو صعود حاد.