ديناميكيات الأجسام الصلبة

تم تطوير عدة طرق لوصف اتجاهات الجسم الصلب في ثلاثة أبعاد. ويتم تلخيصها في الأقسام التالية.

زوايا تيت-برايان

هذه ثلاث زوايا، تُعرف أيضًا بزوايا الانعراج والميل والدوران، وزوايا الملاحة، وزوايا كاردان. رياضيًا، تُشكّل هذه الزوايا مجموعة من ستة احتمالات ضمن مجموعات الاثني عشر الممكنة لزوايا أويلر، ويُعدّ ترتيبها هو الأنسب لوصف اتجاه مركبة مثل الطائرة. في هندسة الطيران، يُشار إليها عادةً بزوايا أويلر.

للنظر في ديناميكيات الأجسام الصلبة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يجب توسيع قانون نيوتن الثاني لتحديد العلاقة بين حركة الجسم الصلب ونظام القوى وعزوم الدوران التي تؤثر عليه.

صاغ نيوتن قانونه الثاني للجسيمات على النحو التالي: "يتناسب تغير حركة الجسم طرديًا مع القوة المؤثرة عليه، ويكون في اتجاه الخط المستقيم الذي أثرت فيه القوة." ^{[ 3 ]} ولأن نيوتن كان يشير عادةً إلى حاصل ضرب الكتلة في السرعة على أنه "حركة" الجسيم، فإن عبارة "تغير الحركة" تشير إلى حاصل ضرب الكتلة في تسارع الجسيم، ولذلك يُكتب هذا القانون عادةً على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ حيث يُفترض أن F هي القوة الخارجية الوحيدة المؤثرة على الجسيم، و m هي كتلة الجسيم، و a هو متجه تسارعه. ويتم تطبيق قانون نيوتن الثاني على الأجسام الصلبة من خلال دراسة نظام صلب من الجسيمات.

إذا تم تجميع نظام من N جسيمًا، Pᵢ _، حيث i = 1، ...، N ، في جسم صلب، فإنه يمكن تطبيق قانون نيوتن الثاني على كل جسيم من جسيمات الجسم. إذا كانت _Fᵢ هي القوة الخارجية المؤثرة على الجسيم Pᵢ _ذي الكتلة mᵢ _، فإن $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$ حيث F _ij هي القوة الداخلية للجسيم P _j التي تؤثر على الجسيم P _i والتي تحافظ على المسافة الثابتة بين هذين الجسيمين.

يُمكن تبسيط معادلات القوى هذه بشكلٍ كبير من خلال إدخال محصلة القوة وعزم الدوران المؤثرين على النظام الصلب. تُحسب محصلة القوة وعزم الدوران باختيار إحدى الجسيمات في النظام كنقطة مرجعية، R ، حيث تُطبق كل قوة خارجية مع إضافة عزم الدوران المرتبط بها. تُعطى محصلة القوة F وعزم الدوران T بالصيغ التالية: $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$ حيث R _i هو المتجه الذي يحدد موضع الجسيم P _i .

يتحد قانون نيوتن الثاني للجسيمات مع هذه الصيغ لحساب القوة المحصلة وعزم الدوران ليعطي، $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$ حيث تتلاشى القوى الداخلية F_{_ij} في أزواج. تعطي حركية الجسم الصلب صيغة تسارع الجسيم P _{_i} بدلالة الموضع R والتسارع a للجسيم المرجعي، بالإضافة إلى متجه السرعة الزاوية ω ومتجه التسارع الزاوي α لنظام الجسيمات الصلب كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

تُمثَّل خصائص كتلة الجسم الصلب بمركز كتلته ومصفوفة القصور الذاتي . اختر نقطة مرجعية R بحيث تحقق الشرط التالي: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

ثم يُعرف باسم مركز كتلة النظام.

تُعرَّف مصفوفة القصور الذاتي [IR _] للنظام بالنسبة إلى نقطة المرجع R كما يلي:$${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

أين${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$هو متجه العمود R _i − R ؛${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$وهي منقولتها، و${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة 3×3 .

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$هو حاصل الضرب القياسي لـ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$مع نفسه، بينما${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$هو حاصل الضرب الموتري لـ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$مع نفسه.

باستخدام مركز الكتلة ومصفوفة القصور الذاتي، تأخذ معادلات القوة وعزم الدوران لجسم صلب واحد الشكل التالي: $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$ وتُعرف باسم قانون نيوتن الثاني للحركة للأجسام الصلبة.

تُصاغ ديناميكيات نظام مترابط من الأجسام الصلبة، حيث B _{_i} , j = 1, ..., M ، عن طريق عزل كل جسم صلب وإدخال قوى التفاعل. وتؤدي محصلة القوى الخارجية وقوى التفاعل المؤثرة على كل جسم إلى معادلات القوة والعزم. $${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

ينتج عن صياغة نيوتن 6 م معادلة تحدد ديناميكيات نظام مكون من م أجسام صلبة. ^{[ 4 ]}

قد يُظهر الجسم الدوار، سواء كان تحت تأثير عزم الدوران أم لا، سلوكيات التبادر والترنح . المعادلة الأساسية التي تصف سلوك الجسم الصلب الدوار هي معادلة أويلر للحركة . $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$ حيث أن المتجهات الزائفة τ و L هي، على التوالي، عزم الدوران على الجسم وعزمه الزاوي ، والكمية القياسية I هي عزم قصوره الذاتي ، والمتجه ω هو سرعته الزاوية، والمتجه α هو تسارعه الزاوي، و D هو التفاضل في إطار مرجعي قصوري و d هو التفاضل في إطار مرجعي نسبي ثابت مع الجسم.

تمت مناقشة حل هذه المعادلة عندما لا يكون هناك عزم دوران مطبق في مقالتي معادلة أويلر للحركة وقطع بوانسو الإهليلجي .

يستنتج من معادلة أويلر أن عزم الدوران τ المطبق عموديًا على محور الدوران، وبالتالي عموديًا على L ، ينتج عنه دوران حول محور عمودي على كل من τ و L. تُسمى هذه الحركة بالترنح . تُعطى السرعة الزاوية للترنح ΩP بالضرب الاتجاهي _التالي :$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

يمكن إثبات ظاهرة التبادر بوضع بلبل دوار بحيث يكون محوره أفقيًا ومثبتًا بشكل غير محكم (بدون احتكاك باتجاه التبادر) من أحد طرفيه. فبدلًا من السقوط، كما هو متوقع، يبدو البلبل وكأنه يتحدى الجاذبية بالبقاء على محوره أفقيًا، بينما يبقى الطرف الآخر للمحور غير مثبت ويدور ببطء في دائرة أفقية، مما ينتج عنه دوران التبادر. يُفسر هذا التأثير بالمعادلات المذكورة أعلاه. يتولد عزم الدوران المؤثر على البلبل من قوتين: قوة الجاذبية المؤثرة لأسفل على مركز كتلة الجهاز، وقوة مساوية لها تؤثر لأعلى لدعم أحد طرفي الجهاز. الدوران الناتج عن هذا العزم ليس لأسفل، كما قد يُتوقع بديهيًا، مما يؤدي إلى سقوط الجهاز، بل هو عمودي على كل من عزم الجاذبية (أفقي وعمودي على محور الدوران) ومحور الدوران (أفقي وخارجي من نقطة الدعم)، أي حول محور رأسي، مما يجعل الجهاز يدور ببطء حول نقطة الدعم.

تحت تأثير عزم دوران ثابت مقداره τ ، فإن سرعة التبادر Ω _P تتناسب عكسياً مع L ، وهو مقدار زخمها الزاوي: $${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$ حيث θ هي الزاوية بين المتجهين Ω _P و L. بالتالي، إذا تباطأ دوران الجسم (على سبيل المثال، بسبب الاحتكاك)، فإن زخمه الزاوي يقل، وبالتالي يزداد معدل التبادر. يستمر هذا حتى يعجز الجهاز عن الدوران بسرعة كافية لتحمل وزنه، وعندها يتوقف عن التبادر ويسقط عن دعامته، ويعود ذلك في الغالب إلى أن الاحتكاك الذي يعيق التبادر يُسبب تبادرًا آخر يؤدي إلى السقوط.

بحسب الاصطلاح، فإن هذه المتجهات الثلاثة - عزم الدوران، والدوران، والترنح - كلها موجهة بالنسبة لبعضها البعض وفقًا لقاعدة اليد اليمنى .

Work is computed from the dot product of each force with the displacement of its point of contact $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$ If the trajectory of a rigid body is defined by a set of generalized coordinatesq_j, j = 1, ..., m, then the virtual displacements δr_i are given by $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$ The virtual work of this system of forces acting on the body in terms of the generalized coordinates becomes $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

or collecting the coefficients of δq_j$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

For simplicity consider a trajectory of a rigid body that is specified by a single generalized coordinate q, such as a rotation angle, then the formula becomes $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

Introduce the resultant force F and torque T so this equation takes the form $${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

The quantity Q defined by $${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

is known as the generalized force associated with the virtual displacement δq. This formula generalizes to the movement of a rigid body defined by more than one generalized coordinate, that is $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ where $${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

It is useful to note that conservative forces such as gravity and spring forces are derivable from a potential function V(q₁, ..., q_n), known as a potential energy. In this case the generalized forces are given by $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

يُعرَّف التوازن السكوني لنظام ميكانيكي من الأجسام الصلبة بشرط أن يكون الشغل الافتراضي للقوى المؤثرة صفرًا لأي إزاحة افتراضية للنظام. يُعرف هذا بمبدأ الشغل الافتراضي. ^{[ 5 ]} وهذا يُكافئ شرط أن تكون القوى المعممة لأي إزاحة افتراضية صفرًا، أي Q _i = 0.

لنفترض أن نظامًا ميكانيكيًا يتكون من n جسمًا صلبًا، Bᵢ _، حيث i = 1، ...، n ، ولنفترض أن محصلة القوى المؤثرة على كل جسم هي أزواج القوة والعزم، Fᵢ و Tᵢ، حيث i = 1 _{، ...} ، n . لاحظ أن هذه القوى المؤثرة لا تشمل قوى رد الفعل عند نقاط اتصال الأجسام. أخيرًا، افترض أن السرعة Vᵢ والسرعات الزاوية _ωᵢ ، حيث _i = 1، ...، n ، لكل جسم صلب، تُحدد بإحداثي عام واحد q. يُقال إن نظام الأجسام الصلبة هذا له درجة حرية واحدة .

يُعطى الشغل الافتراضي للقوى والعزوم، F _i و T _{i ، المطبقة على هذا النظام ذي درجة الحرية الواحدة، بالعلاقة التالية:}$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$ أين $${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$ هي القوة المعممة المؤثرة على هذا النظام ذي درجة الحرية الواحدة.

إذا تم تعريف النظام الميكانيكي بواسطة m إحداثيات معممة، q _j ، j = 1، ...، m ، فإن النظام لديه m درجات حرية ويتم إعطاء الشغل الافتراضي بواسطة، $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ أين $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$ هي القوة المعممة المرتبطة بالإحداثي المعمم q _j . ينص مبدأ الشغل الافتراضي على أن التوازن السكوني يحدث عندما تكون هذه القوى المعممة المؤثرة على النظام صفرًا، أي $${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

تحدد هذه المعادلات m التوازن الساكن لنظام الأجسام الصلبة.

لنفترض جسمًا صلبًا واحدًا يتحرك تحت تأثير قوة محصلة F وعزم دوران T ، وله درجة حرية واحدة مُعرَّفة بالإحداثي المعمم q . بافتراض أن نقطة مرجع القوة المحصلة وعزم الدوران هي مركز كتلة الجسم، فإن قوة القصور الذاتي المعممة Q* المرتبطة بالإحداثي المعمم q تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

يمكن حساب قوة القصور الذاتي هذه من الطاقة الحركية للجسم الصلب، $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ باستخدام الصيغة $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

يمتلك نظام مكون من n جسمًا صلبًا بإحداثيات معممة m طاقة حركية $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ والتي يمكن استخدامها لحساب قوى القصور الذاتي المعممة m ^{[ 6 ]}$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ينص مبدأ دالمبير للعمل الافتراضي على أن نظامًا من الأجسام الصلبة يكون في حالة اتزان ديناميكي عندما يكون العمل الافتراضي الناتج عن مجموع القوى المؤثرة وقوى القصور الذاتي مساويًا للصفر لأي إزاحة افتراضية للنظام. وبالتالي، فإن الاتزان الديناميكي لنظام مكون من n جسمًا صلبًا ذي m إحداثيات معممة يتطلب ما يلي: $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ لأي مجموعة من الإزاحات الافتراضية δq _j . ينتج عن هذا الشرط m معادلة، $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$ والنتيجة هي مجموعة من m معادلات الحركة التي تحدد ديناميكيات نظام الجسم الصلب.

إذا كانت القوى المعممة Q _j قابلة للاشتقاق من طاقة الوضع V ( q ₁ , ..., q _m ) ، فإن معادلات الحركة هذه تأخذ الشكل التالي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

في هذه الحالة، نُدخل دالة لاغرانج ، L = T − V ، فتصبح معادلات الحركة هذه $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$ تُعرف هذه باسم معادلات لاغرانج للحركة .

يُصاغ الزخم الخطي والزاوي لنظام جسيمات صلب بقياس موضع وسرعة الجسيمات بالنسبة لمركز الكتلة. لنفترض أن نظام الجسيمات Pᵢ _، حيث i = 1، ...، n ، يقع عند الإحداثيات _rᵢ والسرعات vᵢ . _اختر نقطة مرجعية R واحسب متجهي الموضع والسرعة النسبيين. $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

متجهات الزخم الخطي والزاوي الكلي بالنسبة إلى نقطة المرجع R هي $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$ و $${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

إذا تم اختيار R كمركز الكتلة، فإن هذه المعادلات تتبسط إلى $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

لتخصيص هذه الصيغ لجسم صلب، افترض أن الجسيمات متصلة ببعضها البعض بشكل صلب بحيث يتم تحديد مواقع P _i ، حيث i=1,...,n بواسطة الإحداثيات r _i والسرعات v _i . حدد نقطة مرجعية R واحسب متجهات الموضع والسرعة النسبية. $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$ حيث ω هي السرعة الزاوية للنظام. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

الزخم الخطي والزخم الزاوي لهذا النظام الصلب، مقاسين بالنسبة إلى مركز الكتلة R، هما: $${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

تُبسط هذه المعادلات لتصبح، $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$ حيث M هي الكتلة الكلية للنظام و[IR _] هي مصفوفة عزم القصور الذاتي المعرفة بواسطة $${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$ حيث [r _i − R] هي المصفوفة المتناظرة المائلة التي تم إنشاؤها من المتجه r _i − R.