الرسم البياني متعدد الأوجه

في نظرية المخططات الهندسية ، وهي فرع من الرياضيات ، يُعرف المخطط متعدد السطوح بأنه مخطط غير موجه يتكون من رؤوس وحواف متعدد السطوح المحدب . أو بعبارة أخرى، من منظور نظرية المخططات البحتة، تُعرف المخططات متعددة السطوح بأنها مخططات مستوية متصلة بثلاثة رؤوس . أما المفهوم المماثل للمضلعات متعددة الأوجه ذات الأبعاد العامة فهو المخططات متعددة الأوجه .

يمثل مخطط شليغل للمجسم المحدب رؤوسه وحوافه كنقاط وقطع مستقيمة في المستوى الإقليدي ، مشكلاً تقسيمًا للمضلع المحدب الخارجي إلى مضلعات محدبة أصغر ( رسم محدب لمخطط المجسم). لا يحتوي هذا المخطط على أي تقاطعات، لذا فإن كل مخطط متعدد الأوجه هو أيضًا مخطط مستوٍ . بالإضافة إلى ذلك، وبحسب نظرية بالينسكي ، فهو مخطط متصل بثلاثة رؤوس .

وفقًا لنظرية شتاينيتز ، تكفي هاتان الخاصيتان في نظرية المخططات لوصف المخططات متعددة السطوح وصفًا كاملًا: فهي تحديدًا المخططات المستوية المتصلة بثلاثة رؤوس. أي أنه كلما كان المخطط مستويًا ومتصلًا بثلاثة رؤوس، يوجد متعدد سطوح تشكل رؤوسه وحوافه مخططًا متماثلًا . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وبوجود مثل هذا المخطط، يمكن إيجاد تمثيل له كتقسيم لمضلع محدب إلى مضلعات محدبة أصغر باستخدام تضمين توت . ^{[ 3 ]}

افترض تايت أن كل رسم بياني متعدد السطوح مكعب (أي رسم بياني متعدد السطوح يكون فيه كل رأس متصلاً بثلاثة أضلاع بالضبط) يحتوي على دورة هاميلتونية ، ولكن تم دحض هذا الافتراض بمثال مضاد هو رسم بياني WT Tutte ، وهو رسم بياني متعدد السطوح ولكنه غير هاميلتوني . إذا تم تخفيف شرط أن يكون الرسم البياني مكعبًا، فستكون هناك رسوم بيانية متعددة السطوح غير هاميلتونية أصغر بكثير. الرسم البياني ذو أقل عدد من الرؤوس والأضلاع هو رسم بياني هيرشل ذو 11 رأسًا و18 ضلعًا ، ^{[ 4 ]} ويوجد أيضًا رسم بياني متعدد السطوح غير هاميلتوني ذو 11 رأسًا جميع وجوهه مثلثات، وهو رسم بياني غولدنر-هاراري . ^{[ 5 ]}

وبقوة أكبر، يوجد ثابت${\displaystyle \alpha <1}$( أس القصر ) وعائلة لانهائية من الرسوم البيانية متعددة السطوح بحيث يكون طول أطول مسار بسيط لـ${\displaystyle n}$الرسم البياني ذو الرؤوس في العائلة هو${\displaystyle O(n^{\alpha })}$[ ^{6 ] [ 7 ]​}

توجد مشكلة ذات قيد إضافي واحد، وهي تخمين بارنيت ، الذي يسأل عما إذا كان كل رسم بياني متعدد السطوح ثنائي الأجزاء مكعب الشكل هو هاميلتوني، وهو ما لا يزال دون حل.

يُقدّم دويفستين إحصاءً للرسوم البيانية متعددة الأوجه التي يصل عدد حوافها إلى 26 حافة؛ ^{[ 8 ]} عدد هذه الرسوم البيانية التي تحتوي على 6، 7، 8، ... حواف هو

1، 0، 1، 2، 2، 4، 12، 22، 58، 158، 448، 1342، 4199، 13384، 43708، 144810، ... (التسلسل A002840 في OEIS ) .

يمكن أيضًا ترقيم الرسوم البيانية متعددة الأوجه حسب عدد رؤوسها: بالنسبة للرسوم البيانية التي تحتوي على 4، 5، 6، ... رؤوس، يكون عدد الرسوم البيانية متعددة الأوجه هو

1، 2، 7، 34، 257، 2606، 32300، 440564، 6384634، 96262938، 1496225352، ... (التسلسل A000944 في OEIS ) .

تُسمى الرسوم البيانية للرؤوس والحواف للأجسام الأفلاطونية أيضًا بالرسوم البيانية الأفلاطونية . إلى جانب امتلاكها جميع خصائص الرسوم البيانية متعددة السطوح، فهي رسوم بيانية متناظرة ، وتحتوي جميعها على دورات هاميلتونية . ^{[ 9 ]} يوجد خمسة من هذه الرسوم البيانية:

• الرسم البياني رباعي الأوجه – 4 رؤوس، 6 حواف
• الرسم البياني الثماني الأوجه – 6 رؤوس، 12 ضلعًا
• الرسم البياني المكعب – 8 رؤوس، 12 ضلعًا
• رسم بياني عشروني الوجوه – 12 رأسًا، 30 ضلعًا
• رسم بياني ذو اثني عشر وجهًا - 20 رأسًا، 30 ضلعًا

الرسم البياني متعدد السطوح هو رسم بياني لمجسم بسيط إذا كان مكعبًا (لكل رأس ثلاثة أضلاع)، وهو رسم بياني لمجسم تبسيطي إذا كان رسمًا بيانيًا مستويًا أقصى . على سبيل المثال، الرسوم البيانية رباعية السطوح، والمكعبة، وثنائية عشرية السطوح بسيطة؛ والرسوم البيانية رباعية السطوح، وثمانية السطوح، وعشرونية السطوح تبسيطية.

تشكل الرسوم البيانية لهالين ، وهي رسوم بيانية تتكون من شجرة مستوية مضمنة عن طريق إضافة دورة خارجية تربط جميع أوراق الشجرة، فئة فرعية مهمة أخرى من الرسوم البيانية متعددة السطوح.

• الرسم البياني لأرخميدس

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "الرسم البياني متعدد الأوجه" ، عالم الرياضيات