حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي

في هذا القسم، سيتم افتراض أن T عبارة عن مصفوفة n  × n ذات مدخلات مركبة. 

إذا كانت دالة معينة f من نوع خاص، فهناك طرق طبيعية لتعريف f ( T ). على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

إذا كانت دالة متعددة الحدود معقدة ، فيمكن استبدال T بـ z ببساطة وتعريفها

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

حيث T₀ = I ، وهي ^مصفوفة الوحدة . هذا هو حساب الدوال متعددة الحدود . وهو تشاكل من حلقة كثيرات الحدود إلى حلقة المصفوفات من الرتبة n × n .

بتوسيع نطاق كثيرات الحدود قليلاً، إذا كانت الدالة f  : C → C دالة تامة الشكل في كل مكان، أي دالة كاملة ، مع متسلسلة ماكلورين

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty}a_{i}z^{i},}$

إن محاكاة حالة كثير الحدود تشير إلى أننا نحدد

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.}$

بما أن متسلسلة ماكلورين تتقارب في كل مكان، فإن المتسلسلة المذكورة أعلاه ستتقارب أيضًا، وفقًا لمعيار مؤثر مُختار . ومن الأمثلة على ذلك الدالة الأسية للمصفوفة. باستبدال z بـ T في متسلسلة ماكلورين للدالة f ( z ) = e^ ^z، نحصل على

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .}$

يمكن تخفيف شرط تقارب متسلسلة ماكلورين للدالة f في كل مكان إلى حد ما. يتضح مما سبق أن المطلوب هو أن يكون نصف قطر تقارب متسلسلة ماكلورين أكبر من معيار المؤثر T. هذا يُوسّع نطاق عائلة الدوال f التي يمكن تعريف f ( T ) لها باستخدام الطريقة المذكورة. مع ذلك ، لا يُعدّ هذا الحل مُرضيًا تمامًا. على سبيل المثال، من الحقائق المعروفة في نظرية المصفوفات أن لكل دالة T غير منفردة لوغاريتم S بمعنى أن e^ ^S = T. من المستحسن وجود حساب دالي يسمح بتعريف ln( T ) لدالة T غير منفردة بحيث يتطابق مع S. لا يمكن تحقيق ذلك باستخدام متسلسلات القوى ، مثل المتسلسلة اللوغاريتمية.

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,}$

لا يتقارب إلا على القرص المفتوح ذي الوحدة . إن استبدال T بـ z في المتسلسلة لا يعطي تعبيرًا محددًا جيدًا لـ ln( T  + I ) لـ T + I القابل للعكس مع ǁ T ǁ ≥ 1. وبالتالي، هناك حاجة إلى حساب دالي أكثر عمومية.   

من المتوقع أن يكون الشرط الضروري لكي يكون تعريف الدالة f ( T ) منطقيًا هو أن تكون f معرفة على طيف المصفوفة T. على سبيل المثال، تنص نظرية الطيف للمصفوفات الطبيعية على أن كل مصفوفة طبيعية قابلة للتقطير الوحدوي. وهذا يؤدي إلى تعريف f ( T ) عندما تكون T مصفوفة طبيعية. تظهر صعوبات إذا لم تكن f (λ) معرفة لبعض القيم الذاتية λ للمصفوفة T.

تؤكد مؤشرات أخرى أيضًا فكرة أن f ( T ) لا يمكن تعريفها إلا إذا كانت f معرفة على طيف T. إذا كانت T غير قابلة للعكس، فإن الصفر (مع الأخذ في الاعتبار أن T مصفوفة من الرتبة n×n) قيمة ذاتية. وبما أن اللوغاريتم الطبيعي غير معرف عند الصفر، فمن المتوقع ألا يكون ln( T ) معرفًا بشكل طبيعي. وهذا هو الحال بالفعل. كمثال آخر، بالنسبة لـ

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

يبدو أن الطريقة المعقولة لحساب f ( T ) هي

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,}$

ومع ذلك، فإن هذا التعبير غير معرف إذا لم تكن المعكوسات على الجانب الأيمن موجودة، أي إذا كان 2 أو 5 قيمًا ذاتية لـ T.

بالنسبة لمصفوفة معينة T ، تحدد القيم الذاتية لـ T مدى إمكانية تعريف f ( T )؛ أي أن f (λ) يجب أن تكون معرفة لجميع القيم الذاتية λ لـ T. بالنسبة لمؤثر محدود عام، يُترجم هذا الشرط إلى " يجب تعريف f على طيف T " . ويُعد هذا الافتراض شرطًا أساسيًا يُمكّن تطبيق حساب التفاضل والتكامل الوظيفي، f → f ( T )، من امتلاك خصائص مرغوبة.

انظر تكامل بوخنر

بالنسبة لدالة متصلة g معرفة في جوار مفتوح لـ Γ وتأخذ قيمًا في L ( X ) ، يُعرَّف التكامل الكفافي _∫Γg بنفس طريقة تعريفه في الحالة العددية. يمكن تمثيل كل γᵢ _∈ Γ بفترة حقيقية [ a , b ]، والتكامل هو نهاية مجاميع ريمان المُستمدة من تجزئات أدقّ لـ [ a , b ]. تتقارب مجاميع ريمان في طوبولوجيا المؤثر المنتظم . نُعرِّف

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

في تعريف حساب الدوال، يُفترض أن تكون الدالة f تامة الشكل في جوار مفتوح للمجموعة Γ. وسيُبين لاحقًا أن تطبيق المُحلِّل تام الشكل على مجموعة المُحلِّل . لذلك، فإن التكامل

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

هذا منطقي.

يُطلق على التطبيق ζ → (ζ− T ) ^{−1 اسم} تطبيق المُحلِّل لـ T. وهو مُعرَّف على مُكمِّل σ( T )، والذي يُطلق عليه مجموعة المُحلِّل لـ T، وسيتم الإشارة إليه بـ ρ( T ).

يعتمد جزء كبير من نظرية الدوال الكلاسيكية على خصائص التكامل

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

يتشابه حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي في أن عملية تحويل المُحلِّل تلعب دورًا حاسمًا في الحصول على الخصائص المطلوبة من حساب تفاضل وتكامل وظيفي جيد. يُبيّن هذا القسم الفرعي خصائص تحويل المُحلِّل الأساسية في هذا السياق.

أظهرت المناقشة السابقة أن التكامل منطقي، أي أن مجموعة مناسبة Γ من منحنيات جوردان موجودة لكل دالة f، وأن التكامل يتقارب بالمعنى المناسب. لكن ما لم يُبين هو أن تعريف حساب الدوال واضح لا لبس فيه، أي أنه لا يعتمد على اختيار Γ. هذه المسألة سنحاول الآن حلها.

لم يُستغلّ كامل نطاق هذا الافتراض حتى الآن. ولضمان تقارب التكامل، استُخدم شرط الاستمرارية فقط. أما لضمان التعريف الجيد، فقد اقتصرنا على أن تكون الدالة f تحليلية الشكل على مجموعة مفتوحة U تحتوي على المسارات Γ ∪ Ω′، ولكن ليس بالضرورة σ( T ). سيُطبّق هذا الافتراض بكامله لإثبات خاصية التماثل في حساب الدوال.

تستنتج خطية التطبيق f ↦ f ( T ) من تقارب التكامل وأن العمليات الخطية على فضاء باناخ متصلة.

نستعيد حساب الدوال متعددة الحدود عندما تكون f ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱ متعددة حدود. لإثبات ذلك، يكفي أن نُبين أنه بالنسبة لـ k ≥ 0 و f ( z ) = z ^k ، فإن f ( T ) = T ^k ، أي

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

لأي دائرة مناسبة Γ تُحيط بـ σ( T ). اختر Γ لتكون دائرة نصف قطرها أكبر من معيار المؤثر T. كما ذُكر أعلاه، على هذه الدائرة Γ، تقبل خريطة المُحلِّل تمثيلًا على شكل متسلسلة قوى.

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

يؤدي الاستبدال إلى

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

وهو

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

δ هو رمز دلتا كرونكر.

بالنسبة لأي دالتين f ₁ و f ₂ تحققان الافتراضات المناسبة، تنص خاصية التشاكل على

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

نُقدّم عرضًا موجزًا ​​لحجة تستند إلى صيغة المُحلِّل الأولى والافتراضات المفروضة على _الدالة f . أولًا، نختار منحنيات جوردان بحيث تقع _Γ1 داخل Γ2 . سيتضح سبب ذلك لاحقًا. ابدأ بالحساب المباشر.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

ينتج السطر الأخير من حقيقة أن ω ∈ Γ ₂ تقع خارج Γ ₁ وأن ​​f ₁ دالة تحليلية على جوار مفتوح ما لـ σ( T )، وبالتالي فإن الحد الثاني يتلاشى. لذلك، لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

لتكن G ⊂ C _مجموعة مفتوحة بحيث σ( T ) ⊂ G. لنفترض أن متتالية { fk } من الدوال التحليلية على G تتقارب بانتظام على مجموعات جزئية مضغوطة من G (يُسمى هذا أحيانًا بالتقارب المضغوط ). عندئذٍ، تكون { _fk ( T ) } متقاربة في L ( X ):

لنفترض، تبسيطاً للأمر، أن Γ تتكون من منحنى جوردان واحد فقط. نُقدّر

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

بدمج فرضية التقارب المنتظم واعتبارات الاستمرارية المختلفة، نرى أن ما سبق يؤول إلى الصفر عندما k و l → ∞. لذا فإن { f _k ( T )} دالة كوشي، وبالتالي متقاربة.

باختصار، لقد أظهرنا أن حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي، f → f ( T )، له الخصائص التالية:

1. وهو يوسع حساب الدوال متعددة الحدود.
2. هو تماثل جبري من جبر الدوال الهولومورفية المعرفة على جوار σ( T ) إلى L ( X )
3. يحافظ على التقارب المنتظم على المجموعات المدمجة.

يمكن إثبات أن عملية حساب التفاضل والتكامل التي تحقق الخصائص المذكورة أعلاه فريدة من نوعها.

نلاحظ أن كل ما نوقش حتى الآن يظل صحيحاً تماماً إذا تم استبدال عائلة المؤثرات المحدودة L ( X ) بجبر باناخ A. ويمكن تعريف حساب الدوال بنفس الطريقة تماماً لعنصر في A.

من المعروف أن نظرية التحويل الطيفي تنطبق على حساب الدوال متعددة الحدود: لأي متعددة حدود p ، فإن σ ( p ( T )) = p ( σ ( T )). ويمكن تعميم ذلك على حساب الدوال التحليلية. لإثبات أن f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T ))، ليكن μ أي عدد مركب. وبحسب نتيجة من التحليل المركب، توجد دالة تحليلية g على جوار σ ( T ) بحيث

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

وفقًا لخاصية التشاكل، فإن f ( T )  - f ( μ ) = ( T - μ ) g ( T ). وبالتالي، فإن μ ∈ σ ( T ) يستلزم f ( μ ) ∈ σ ( f ( T )).   

أما بالنسبة للاحتواء الآخر، إذا لم يكن μ ينتمي إلى f ( σ ( T ))، فإن حساب التفاضل والتكامل الوظيفي يكون قابلاً للتطبيق على

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

إذن g ( T )( f ( T ) − μ ) = I . لذلك، فإن μ لا تقع في σ ( f ( T )).

تتلخص الفكرة الأساسية فيما يلي: لنفترض أن K مجموعة جزئية من σ ( T )، وأن U و V جوارين منفصلين لـ K و σ ( T )  \ K على التوالي. نُعرّف e ( z ) = 1 إذا كان z ∈ U و e ( z ) = 0 إذا كان z ∈ V. عندئذٍ، تكون e دالة تحليلية بحيث يكون [ e ( z )] ^² = e ( z )، وبالتالي، بالنسبة لمسار مناسب Γ يقع في U ∪ V ويُحيط بـ σ( T )، يكون المؤثر الخطي 

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

سيكون إسقاطًا محدودًا يتبادل مع T ويوفر قدرًا كبيرًا من المعلومات المفيدة.

يتضح أن هذا السيناريو ممكن فقط إذا كانت المجموعة K مفتوحة ومغلقة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي على σ ( T ). علاوة على ذلك، يمكن تجاهل المجموعة V بأمان لأن e تساوي صفرًا عليها، وبالتالي لا تُساهم في التكامل. يُسمى الإسقاط e ( T ) بالإسقاط الطيفي لـ T عند K ، ويُرمز له بـ P ( K ; T ). بالتالي، فإن كل مجموعة جزئية K من σ ( T ) مفتوحة ومغلقة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي لها إسقاط طيفي مرتبط بها يُعطى بـ

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

حيث Γ هو محيط يحيط بـ K ولكن ليس بنقاط أخرى من σ( T ).

بما أن P = P ( K ; T ) مجموعة محدودة وتتبادل مع T ، فإن ذلك يسمح بالتعبير عن T بالصيغة U ⊕ V حيث U = T | _PX و V = T | _{(1 − P ) X} . كل من PX و (1  − P ) X فضاءات جزئية ثابتة من T، بالإضافة إلى أن σ ( U ) = K و σ ( V ) = σ ( T ) \ K. إحدى الخصائص الأساسية هي التعامد المتبادل. إذا كانت L مجموعة مفتوحة ومغلقة أخرى في طوبولوجيا الفضاء الجزئي على σ ( T )، فإن P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T )، وهو يساوي صفرًا عندما تكون K و L منفصلتين.   

للإسقاطات الطيفية تطبيقات عديدة. أي نقطة معزولة في σ( T ) تكون مفتوحة ومغلقة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي، وبالتالي لها إسقاط طيفي مرتبط بها. عندما يكون لـ X بُعد محدود، تتكون σ( T ) من نقاط معزولة، وتؤدي الإسقاطات الطيفية الناتجة إلى صيغة جوردان المعيارية، حيث تُدمج جميع كتل جوردان التي تُقابل القيمة الذاتية نفسها. بعبارة أخرى، توجد كتلة واحدة فقط لكل قيمة ذاتية مميزة. يتناول القسم التالي هذا التفكيك بمزيد من التفصيل.

أحيانًا ترث الإسقاطات الطيفية خصائص من مؤثراتها الأصلية. على سبيل المثال، إذا كانت T مصفوفة موجبة بنصف قطر طيفي r، فإن نظرية بيرون-فروبينيوس تنص على أن r ∈ σ ( T ). الإسقاط الطيفي المرتبط بها P = P ( r ; T ) موجب أيضًا، وبسبب خاصية التعامد المتبادل، لا يمكن لأي إسقاط طيفي آخر أن يحتوي على صف أو عمود موجب. في الواقع، TP = rP و( T / r ) ⁿ → P عندما n → ∞، لذا فإن هذا الإسقاط P ( الذي يُسمى إسقاط بيرون) يُقارب ( T / r ) ⁿ مع ازدياد n ، وكل عمود من أعمدته هو متجه ذاتي لـ T. 

بشكلٍ أعم، إذا كان T مؤثرًا متراصًا، فإن جميع النقاط غير الصفرية في σ( T ) تكون معزولة، وبالتالي يمكن استخدام أي مجموعة جزئية منتهية منها لتحليل T. ويكون الإسقاط الطيفي المرتبط به دائمًا ذا رتبة منتهية. تُعرف المؤثرات في L ( X ) ذات الخصائص الطيفية المتشابهة بمؤثرات ريز . العديد من فئات مؤثرات ريز (بما في ذلك المؤثرات المتراصة) هي مثاليات في L ( X ) وتوفر مجالًا خصبًا للبحث. مع ذلك، إذا كان X فضاء هيلبرت، فهناك مثالي مغلق واحد فقط محصور بين مؤثرات ريز والمؤثرات ذات الرتبة المنتهية.

يمكن وضع جزء كبير من النقاش السابق في سياق أعم لجبر باناخ المعقد . هنا، يُشار إلى الإسقاطات الطيفية باسم العناصر الطيفية المتطابقة ، لأنه قد لا يكون هناك فضاء لإسقاطها عليه.

إذا لم يكن الطيف σ ( T ) متصلاً، فيمكن تحليل X إلى فضاءات فرعية ثابتة من T باستخدام حساب الدوال. ليكن σ ( T ) اتحادًا منفصلاً

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

لنُعرّف eᵢ على أنها تساوي 1 في جوار يحتوي فقط على المكون Fᵢ _، و0 في أي مكان آخر. وبحسب خاصية التشاكل، _فإن eᵢ ( T ) هو إسقاط لجميع قيم i . في الواقع _، هو الإسقاط الطيفي P ( Fᵢ _; T ) الموصوف _أعلاه . تعني العلاقة eᵢ ₍ T ) T = T eᵢ ₍ T ) أن مدى كل eᵢ ( T ) ، والذي يُرمز له بـ Xᵢ _، هو فضاء جزئي ثابت من T.

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

يمكن التعبير عن X بدلالة هذه الفضاءات الفرعية التكميلية:

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

وبالمثل، إذا كانت T _i هي T مقيدة بـ X _i ، فإن

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

ضع في اعتبارك المجموع المباشر

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

مع الوضع الطبيعي

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

X' هو فضاء باناخ. التطبيق R : X' → X مُعرَّف بواسطة

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

هو تماثل فضاء باناخ، ونرى أن

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

يمكن اعتبار هذا بمثابة قطري كتلي لـ T.

عندما يكون X محدود الأبعاد، فإن _σ ( T ) = { λᵢ } هي مجموعة محدودة من النقاط في المستوى المركب. اختر eᵢ لتكون 1 على قرص مفتوح يحتوي فقط على _{λᵢ من} الطيف . المصفوفة القطرية الكتلية المقابلة

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

هو الشكل القانوني الأردني لـ T.

يمكن تعريف حساب التفاضل والتكامل الوظيفي الهولومورفي بطريقة مماثلة للمؤثرات المغلقة غير المحدودة ذات مجموعة الحلول غير الفارغة.