التسارع المناسب

^{في حالة الحركة أحادية الاتجاه ،} أي عندما يكون تسارع الجسم موازيًا أو معاكسًا لسرعته في شريحة الزمكان الخاصة بالمراقب، يرتبط التسارع الذاتي α والتسارع الإحداثي a ^{[ 7 ]} من خلال عامل لورنتز γ بالعلاقة α = γ³a . وبالتالي، فإن التغير في السرعة الذاتية w = dx/dτ هو تكامل التسارع الذاتي على زمن الخريطة t، أي Δw = α /Δt لقيمة ثابتة لـ α . عند السرعات المنخفضة، يختزل هذا إلى العلاقة المعروفة بين السرعة الإحداثية والتسارع الإحداثي مضروبًا في زمن الخريطة، أي Δv = a / Δt .

بالنسبة للتسارع الذاتي أحادي الاتجاه الثابت، توجد علاقات مماثلة بين السرعة η والزمن الذاتي المنقضي Δτ ، وكذلك بين عامل لورنتز γ والمسافة المقطوعة Δx . وبالتحديد: $${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}},}$$ حيث ترتبط معلمات السرعة المختلفة بـ $${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right).}$$

تصف هذه المعادلات بعض نتائج السفر المتسارع بسرعات عالية. على سبيل المثال، تخيل مركبة فضائية قادرة على تسريع ركابها بمقدار "1 gee" (10  م/ث² ^أو ما يعادل سنة ضوئية واحدة لكل سنة مربعة) في منتصف المسافة إلى وجهتهم، ثم تبطئهم بمقدار "1 gee" للنصف المتبقي من المسافة، وذلك لتوفير جاذبية اصطناعية شبيهة بجاذبية الأرض من النقطة أ إلى النقطة ب في أقصر وقت ممكن. ^{[ 8 ] [ 9 ]} بالنسبة لمسافة على الخريطة مقدارها Δ × _AB ، تتنبأ المعادلة الأولى أعلاه بمعامل لورنتز عند نقطة المنتصف (مرتفعًا من قيمته عند السكون) مقداره γ _mid = 1 + α (Δ × _AB /2)/ ^c² . وبالتالي فإن وقت الرحلة ذهابًا وإيابًا على ساعات المسافر سيكون Δ τ = 4( c / α ) cosh ⁻¹ ( γ _mid ) ، وخلال ذلك الوقت المنقضي على ساعات الخريطة سيكون Δ t = 4( c / α ) sinh[cosh ⁻¹ ( γ _mid )] .

قد توفر هذه المركبة الفضائية المتخيلة رحلات ذهابًا وإيابًا إلى بروكسيما سنتوري تستغرق حوالي 7.1 سنة للمسافر (ما يعادل 12 سنة تقريبًا على ساعات الأرض)، ورحلات ذهابًا وإيابًا إلى الثقب الأسود المركزي لمجرة درب التبانة تستغرق حوالي 40 سنة (ما يعادل 54,000 سنة تقريبًا على ساعات الأرض)، ورحلات ذهابًا وإيابًا إلى مجرة ​​أندروميدا تستغرق حوالي 57 سنة (أكثر من 5 ملايين سنة على ساعات الأرض). مع ذلك، فإن الحفاظ على تسارع مقداره 1ge لسنوات ليس بالأمر السهل، كما يتضح من نسب الحمولة القصوى إلى كتلة الإطلاق الموضحة في الشكل على اليمين.

رسوم متحركة: رحلة ذهابًا وإيابًا إلى نجم يبعد 6.9 سنة ضوئية

من كل منظور، ينبغي أن يمر عام تقريبًا كل ثانيتين أو كل 100/17.4 إطار. بعد كل رحلة ذهابًا وإيابًا، سيكون عمر طياري هذه المركبة الفضائية نصف عمر زملائهم المتمركزين على الأرض. هذا هو تمدد الزمن عمليًا. تشمل الاختلافات الأخرى تغيرات المسافة بين النجوم المتزامنة الحركة، كما تُرى في إطار المركبة الفضائية. وهذا ما يُعرف بانكماش الطول . أما تسارع الإحداثيات (باللون الأخضر) الظاهر في إطار الخريطة، فهو ذو أهمية فقط في السنة التي تسبق كل عملية إطلاق والسنة التي تليها، بينما يكون التسارع الذاتي (باللون الأحمر) الذي تشعر به المركبة الفضائية ذا أهمية طوال الرحلة. لاحظ أيضًا أثر إشارة ضوئية انطلقت من كل نقطة إطلاق، ولكن بعد 0.886 سنة من الإطلاق. تصل هذه النبضة إلى المسافر عند منتصف الرحلة لتذكيره ببدء التباطؤ. في إطار الخريطة، يرى نجم بروكسيما سنتوري نبضة الانعطاف قبل أن يراها نجم الوجهة، ولكن العكس صحيح في إطار المسافر. هذا تزامن نسبي في الفعل. ومع ذلك، يتفق كلا المراقبين على تسلسل الأحداث على طول أي خط زمني عالمي.

تُقدّم المعادلة أعلاه أيضًا منظورًا حول القوى ومبدأ التكافؤ . لنفترض استخدام إحداثيات محلية ^{[ 4 ]} للقياس (مثل رباعي لورنتز المحلي ^{[ 5 ]} الذي تستخدمه أنظمة تحديد المواقع العالمية ) لوصف الزمن بالثواني، والفضاء بوحدات المسافة على طول محاور متعامدة. إذا ضربنا المعادلة أعلاه بكتلة سكون الجسم المتحرك m، وقسمنا على عامل لورنتز γ  = dt / dτ ، فإن المكونات المكانية تُعبّر عن معدل تغير الزخم لهذا الجسم من منظور الإحداثيات المستخدمة لوصف القياس.

يمكن تقسيم هذا بدوره إلى أجزاء نتيجةً للمكونات الذاتية والهندسية للتسارع والقوة. إذا ضربنا المكون الزمني بسرعة الضوء c ، وعرّفنا سرعة الإحداثيات على أنها v = dx / dt ، فسنحصل على تعبير لمعدل تغير الطاقة أيضًا.

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$(على غرار الزمن) و${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum {\vec {f_{o}}}+\sum {\vec {f_{g}}}=m({\vec {a_{o}}}+{\vec {a_{g}}})}$(فضائي).

هنا _{، يُمثل a₀} التسارع الناتج عن القوى الذاتية، بينما يُمثل ag ، افتراضيًا، التسارع الهندسي الذي نراه مُطبقًا على الجسم نتيجةً لاختيارنا لنظام الإحداثيات. عند السرعات المنخفضة، تتحد هذه التسارعات لتوليد تسارع إحداثي مثل _a = d²x ^/ dt² ، ^بينما في الحركة أحادية الاتجاه عند _أي سرعة ، يكون مقدار a₀ مساويًا لمقدار التسارع الذاتي α كما في القسم السابق، حيث _α = γ³a عندما يكون ag صفرًا . عمومًا ^، قد يكون التعبير عن هذه التسارعات والقوى معقدًا. 

مع ذلك، إذا استخدمنا هذا التحليل لوصف معامل الاتصال (Γ) المذكور أعلاه بدلالة القوى الهندسية، فإن حركة الأجسام من منظور أي نظام إحداثيات (على الأقل عند السرعات المنخفضة) يمكن اعتبارها حركة نيوتنية محلية. وهذا أمر شائع بالفعل، كما هو الحال مع قوة الطرد المركزي والجاذبية. وبالتالي، فإن مبدأ التكافؤ يوسع نطاق استخدام قوانين نيوتن محليًا ليشمل أنظمة الإحداثيات المتسارعة وما بعدها.

بالنسبة للمراقبين ذوي السرعة المنخفضة الذين يتم تثبيتهم على مسافة نصف قطر ثابتة من مركز كوكب أو نجم كروي، فإن تسارع _{الإحداثيات} a يرتبط تقريبًا بالتسارع الذاتي a _o بالعلاقة التالية: $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\sqrt {\frac {r}{r-r_{s}}}}{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}}$$حيث نصف قطر شوارزشيلد للكوكب أو النجم r _s = 2 GM / c ^2. عندما يقترب نصف قطر مراقبنا من نصف قطر شوارزشيلد، يصبح التسارع الذاتي a _o اللازم لمنعه من السقوط غير محتمل.

من ناحية أخرى، عندما تكون قيمة r أكبر بكثير من r _s ، فإن قوة دفع ذاتية لأعلى مقدارها GMm / r² فقط تكفي لمنع الجسم من التسارع نحو الأسفل. وعلى سطح الأرض، تصبح هذه القوة كما يلي ^:$${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{o}-g{\hat {r}}}$$ حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية المتجه للأسفل، وقيمته 9.8  م/ث² ^، و${\displaystyle {\hat {r}}}$هو متجه وحدة في الاتجاه الشعاعي الخارجي من مركز الجسم المتأثر بالجاذبية. لذا، يلزم هنا قوة خارجية ذاتية مقدارها mg لمنع الجسم من التسارع نحو الأسفل.

تسمح معادلات الزمكان في هذا القسم بمعالجة جميع الانحرافات بين التسارع الذاتي وتسارع الإحداثيات في عملية حسابية واحدة. على سبيل المثال، لنحسب رموز كريستوفيل : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{\Gamma _{tt}^{t},\Gamma _{tr}^{t},\Gamma _{t\theta }^{t},\Gamma _{t\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{t},\Gamma _{rr}^{t},\Gamma _{r\theta }^{t},\Gamma _{r\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{t},\Gamma _{\theta r}^{t},\Gamma _{\theta \theta }^{t},\Gamma _{\theta \phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{t},\Gamma _{\phi r}^{t},\Gamma _{\phi \theta }^{t},\Gamma _{\phi \phi }^{t}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{r},\Gamma _{tr}^{r},\Gamma _{t\theta }^{r},\Gamma _{t\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{r},\Gamma _{rr}^{r},\Gamma _{r\theta }^{r},\Gamma _{r\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{r},\Gamma _{\theta r}^{r},\Gamma _{\theta \theta }^{r},\Gamma _{\theta \phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{r},\Gamma _{\phi r}^{r},\Gamma _{\phi \theta }^{r},\Gamma _{\phi \phi }^{r}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\theta },\Gamma _{tr}^{\theta },\Gamma _{t\theta }^{\theta },\Gamma _{t\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\theta },\Gamma _{rr}^{\theta },\Gamma _{r\theta }^{\theta },\Gamma _{r\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\theta },\Gamma _{\theta r}^{\theta },\Gamma _{\theta \theta }^{\theta },\Gamma _{\theta \phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\theta },\Gamma _{\phi r}^{\theta },\Gamma _{\phi \theta }^{\theta },\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\phi },\Gamma _{tr}^{\phi },\Gamma _{t\theta }^{\phi },\Gamma _{t\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\phi },\Gamma _{rr}^{\phi },\Gamma _{r\theta }^{\phi },\Gamma _{r\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\phi },\Gamma _{\theta r}^{\phi },\Gamma _{\theta \theta }^{\phi },\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\phi },\Gamma _{\phi r}^{\phi },\Gamma _{\phi \theta }^{\phi },\Gamma _{\phi \phi }^{\phi }\right\}\end{array}}\right)}$$بالنسبة لمقياس شوارزشيلد للإحداثيات البعيدة ( c d τ ) ^² = (1− _rs / r ) ( c d t ) ^² − (1/(1− _rs / r ) )d r² − r² d ^{θ² −} ( r sin θ ) ^{² d} φ² ^، حيث rs _هو نصف قطر شوارزشيلد 2 GM / c² ^. تصبح مصفوفة المعاملات الناتجة كما يلي :$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0\right\}&\left\{{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{{\frac {r_{s}c^{2}(r-r_{s})}{2r^{3}}},0,0,0\right\}&\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r_{s}-r)}},0,0\right\}&\{0,0,r_{s}-r,0\}&\left\{0,0,0,(r_{s}-r)\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot(\theta )\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

ومن هذا يمكن الحصول على التسارع الذاتي للإطار الصدفي عن طريق جعل تسارع الإحداثيات يساوي صفرًا، وبالتالي اشتراط أن يلغي التسارع الذاتي التسارع الهندسي لجسم ثابت.${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,GM/r^{2},0,0\}}$هذا لا يحل المشكلة بعد، لأن إحداثيات شوارزشيلد في الزمكان المنحني هي إحداثيات مرجعية ^{[ 4 ]} وليست إحداثيات مراقب محلي. مقدار متجه التسارع الذاتي الرباعي المذكور أعلاه، والذي يُحسب باستخدام موتر القياس g_{_ij} ، هو${\textstyle \alpha ={\sqrt {1/(1-r_{s}/r)}}GM/r^{2}}$وهو التسارع الذاتي الثابت للأعلى اللازم لمواجهة التسارع الهندسي الهابط الذي يشعر به سكان سطح الكوكب.

تُعد مجموعة الإحداثيات الكروية في الفضاء المسطح، التي يتم الحصول عليها عن طريق ضبط r أو _s أو M أعلاه على الصفر، حالة خاصة من مجموعة رموز كريستوفيل المذكورة أعلاه :$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,-r,0\}&\left\{0,0,0,-r\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot \theta \}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

ومن هذا يمكن الحصول، على سبيل المثال، على التسارع الذاتي المركزي اللازم لإلغاء التسارع الهندسي المركزي لجسم يتحرك بسرعة زاوية ثابتة ω = dφ / dτ عند خط الاستواء حيث θ = π /2 . إن تكوين نفس مجموع المتجهات الرباعية كما هو مذكور أعلاه لحالة dθ / dτ و dr /dτ يساويان صفرًا لا ينتج عنه سوى التسارع الكلاسيكي للحركة الدورانية المذكور أعلاه، أي${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,-r(d\phi /d\tau )^{2},0,0\}}$بحيث يكون a _o = ω ² r . كما أن تأثيرات كوريوليس موجودة في معاملات الاتصال هذه ، وتنشأ بالمثل من هندسة الإطار الإحداثي وحدها.