طريقة المجال الزمني الطيفي الزائف

في الفيزياء الحاسوبية ، تُعدّ طريقة المجال الزمني شبه الطيفي ( PSTD ) تقنية تحليل عددي لمحاكاة انتشار الموجات . وباعتبارها جزءًا من الفئة العامة للطرق شبه الطيفية ، فهي امتداد لطريقة المجال الزمني للفروق المحدودة (FDTD): في PSTD، تُحسب حدود المشتقات المكانية لمعادلة الموجة في المجال الطيفي باستخدام قواعد متعامدة ، مثل قواعد فورييه أو تشيبيشيف ، بينما تُجزأ المسألة زمنيًا .

طُرحت تقنية PSTD في أواخر التسعينيات، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وتُستخدم على نطاق واسع في المحاكاة الصوتية والكهرومغناطيسية والجيوفيزيائية للوسائط المعقدة والواسعة النطاق، ^{[ 4 ]} ولها تطبيقات متنوعة مثل التصوير الصوتي الضوئي ، ^{[ 5 ]} والتصوير الجيوفيزيائي ، ^{[ 6 ]} وتشتت الضوء ، ^{[ 7 ]} وفيزياء البلازما ^{، [ 8 ]} والموجات فوق الصوتية . ^{[ 9 ]} تُطبّق هذه الطريقة في برامج صوتية مفتوحة المصدر مثل k-Wave ^{[ 10 ]} وopenPSTD. ^{[ 11 ]}

يمكن توضيح المفاهيم الرئيسية الكامنة وراء نظرية PSTD من خلال معادلة الموجة العددية أحادية البعد :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}=0}$

أين${\displaystyle u(x,t)}$هو المكون الميداني و${\displaystyle v}$تمثل سرعة الموجة . عند نقطة زمنية محددة، يمكن تحليل هذا المكون الميداني إلى أساس متعامد ، مثل أساس فورييه . يتمثل المفهوم الرئيسي لخوارزمية PSTD في حساب المشتقات المكانية في هذا المجال الطيفي، مع استخدام تقريبات الفروق المحدودة لحساب المشتقات الزمنية. على سبيل المثال، يمكن تمثيل المشتقات في أساس فورييه كما يلي: ^{[ 1 ] [ 12 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\tilde {u}}_{n}(t)e^{ik_{n}x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }ik_{n}{\tilde {u}}_{n}(t)e^{ik_{n}x}={\mathcal {F}}^{-1}\left[ik{\mathcal {F}}\left[u(x,t)\right]\right]}$

أين${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هو عامل فورييه و${\displaystyle k}$يمثل التردد المكاني . يمكن حساب تحويلات فورييه بكفاءة عالية باستخدام تحويل فورييه السريع ؛ تُمكّن هذه الصيغة من الحصول على دقة مكانية لمكونات المجال في الشبكات ذات الدقة الأقل مقارنةً بطريقة FDTD، حيث يقتصر الأمر فقط على نظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات . ^{[ 1 ]} يفرض هذا شروطًا دورية على حدود المحاكاة، مما يؤدي فعليًا إلى التفاف المجالات المنتشرة. يمكن التخفيف من هذه التأثيرات باستخدام طبقات مطابقة مثالية لامتصاص الموجات الساقطة. من أبرز عيوب هذا النهج احتمالية ظهور تشوهات ناتجة عن ظاهرة جيبس ، والتي تُلاحظ في حالات عدم الاستمرارية المكانية والتباينات الكبيرة، وكذلك في حالات عدم استمرارية المصدر. يمكن تحسين الدقة في هذه الحالة باستخدام تحويل فورييه السريع غير المنتظم . ثمة نهج بديل آخر يتمثل في استخدام كثيرات حدود تشيبيشيف كدوال أساسية مكانية، والتي تُقيّم عند عقد تشيبيشيف لتقليل ظاهرة رونج . تُعرف هذه الطريقة عمومًا باسم تشيبيشيف PSTD. ^{[ 13 ]} يمكن توسيع طرق تشيبيشيف PSTD لتشمل التفكيك متعدد المجالات لنمذجة انتشار الموجات في الأشكال الهندسية المنحنية. ^{[ 14 ]}

تُجرى عمليات التكامل الزمني في خوارزميات PSTD عادةً من خلال مخطط التكامل القفزي كما هو الحال في FDTD؛ ومع ذلك، فإن رقم كوران لطريقة PSTD هو${\displaystyle \pi }$أصغر بكثير من طريقة FDTD، مما يتطلب خطوات زمنية أدق لكل وحدة شبكة لتحقيق الاستقرار العددي . وكبديل، يمكن استخدام طرق رونج-كوتا لإجراء التكامل الزمني. ^{[ 13 ]}

• طريقة غاليركين غير المتصلة
• طريقة المجال الترددي للفروق المحدودة
• طريقة العناصر الطيفية

• ليو، تشينغ؛ تشاو، غانغ (2005). "تطورات في تقنيات PSTD". الديناميكا الكهربائية الحاسوبية: طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة، الطبعة الثالثة . بقلم ألين تافلوف ؛ سوزان سي. هاغنيس . دار نشر أرتيك هاوس. ISBN 978-1-58053-832-9.
• تشابوغلو، إيلكر ر.؛ روجرز، جيريمي د.؛ مينديز رويز، سيزار؛ سيمبسون، جيمسينا ج.؛ تسينغ، سنو هـ.؛ تشين، كون؛ دينغ، مينغ؛ تافلوف، ألين؛ وباكمان، فاديم (2013). "تطبيقات FDTD وPSTD في علم الفوتونات الحيوية". التطورات في الديناميكا الكهربائية الحسابية FDTD: الفوتونيات وتكنولوجيا النانو . تأليف ألين تافلوف؛ أردفان أوسكوي؛ وستيفن ج. جونسون . دار نشر أرتيك هاوس. ISBN 978-1-60807-170-8.