وحدة مضغوطة جبريًا

في الرياضيات ، تُعرف الوحدات المدمجة جبريًا ، أو الوحدات الحقنية البحتة ، بأنها وحدات تتمتع بخاصية مميزة تسمح بحل أنظمة المعادلات اللانهائية داخل الوحدة بوسائل محدودة . وتتيح حلول هذه الأنظمة توسيع أنواع معينة من تشاكلات الوحدات . وتُشابه هذه الوحدات المدمجة جبريًا الوحدات الحقنية ، حيث يمكن توسيع جميع تشاكلات الوحدات. جميع الوحدات الحقنية مدمجة جبريًا، ويتم تحديد التشابه بينهما بدقة من خلال تضمين الفئة.

ليكن R حلقة ، و M وحدة نمطية يسارية على R. لنعتبر نظامًا من عدد لا نهائي من المعادلات الخطية

${\displaystyle \sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i},}$

حيث يمكن أن تكون كلتا المجموعتين I و J لانهائيتين،${\displaystyle m_{i}\in M,}$ولكل i عدد غير الصفر${\displaystyle r_{i,j}\in R}$محدود.

الهدف هو تحديد ما إذا كان لهذا النظام حل ، أي ما إذا كانت هناك عناصر x_{_j} من M بحيث تتحقق جميع معادلات النظام في آن واحد. (ليس من الضروري أن يكون عدد محدود فقط من x_{_j} غير صفري).

تكون الوحدة M متراصة جبريًا إذا كان لكل نظام فرعي مكون من عدد محدود من المعادلات حل، فإن النظام بأكمله له حل. (قد تختلف حلول الأنظمة الفرعية المختلفة).

من جهة أخرى، يكون التماثل الموديولي M → K تضمينًا خالصًا إذا كان التماثل المستحث بين جداءات الموترات C ⊗ M → C ⊗ Kتكون الدالة أحادية لكل وحدة نمطية يمنى على R، C. وتكون الوحدة النمطية M أحادية خالصة إذا كان أي تشاكل أحادي خالص j  : M → K ينقسم (أي، يوجد f  : K → M بحيث${\displaystyle f\circ j=1_{M}}$).

اتضح أن الوحدة تكون مضغوطة جبريًا إذا وفقط إذا كانت حقنية خالصة.

جميع الوحدات النمطية ذات عدد محدود من العناصر تكون مضغوطة جبريًا.

كل فضاء متجهي يكون متراصاً جبرياً (لأنه أحاديّ التقابل). وبشكل أعم، كل وحدة أحادية التقابل تكون متراصة جبرياً، للسبب نفسه.

إذا كانت R جبرًا ترابطيًا بقيمة 1 على حقل k ما ، فإن كل وحدة نمطية على R ذات بُعد k محدود تكون متراصة جبريًا. هذا، بالإضافة إلى حقيقة أن جميع الوحدات النمطية المحدودة متراصة جبريًا، يُعطينا حدسًا بأن الوحدات النمطية المتراصة جبريًا هي تلك الوحدات (التي قد تكون "كبيرة") التي تشترك في الخصائص المميزة للوحدات النمطية "الصغيرة".

زمر بروفر هي زمر أبيلية متراصة جبريًا (أي وحدات Z ). حلقة الأعداد الصحيحة p -adic لكل عدد أولي p متراصة جبريًا كوحدة فوق نفسها وكوحدة فوق Z. الأعداد النسبية متراصة جبريًا كوحدة Z. مع الوحدات المنتهية غير القابلة للتحليل فوق Z ، تُشكّل هذه قائمة كاملة بالوحدات المتراصة جبريًا غير القابلة للتحليل.

يمكن إنتاج العديد من الوحدات المدمجة جبريًا باستخدام المولد المشترك الحقني Q / Z للمجموعات الأبيلية. إذا كانت H وحدة يمنى على الحلقة R ، فإنه يتم تكوين وحدة الأحرف (الجبرية) H * التي تتألف من جميع تشاكلات المجموعات من H إلى Q / Z . هذه الوحدة هي وحدة يسارية على R ، وتُنتج العملية * دالة متغايرة أمينة من الوحدات اليمنى على R إلى الوحدات اليسرى على R. كل وحدة من الشكل H * مدمجة جبريًا. علاوة على ذلك، توجد تشاكلات حقنية بحتة H → H **، طبيعية في H. غالبًا ما يمكن تبسيط المسألة بتطبيق الدالة * أولًا، لأن الوحدات المدمجة جبريًا أسهل في التعامل.

الشرط التالي يكافئ كون M مجموعة متراصة جبريًا:

• لكل مجموعة فهارس I ، يمكن تمديد خريطة الجمع M ^(I) → M إلى تماثل وحدة M ^I → M (حيث يشير M ^(I) إلى المجموع المباشر لنسخ M ، واحدة لكل عنصر من I ؛ يشير M ^I إلى ناتج نسخ M ، واحدة لكل عنصر من I ).

كل وحدة نمطية غير قابلة للتحليل ومضغوطة جبريًا لها حلقة تشاكل محلية .

تشترك الوحدات المدمجة جبريًا في العديد من الخصائص الأخرى مع الكائنات الحقنية بسبب ما يلي: يوجد تضمين لـ R -Mod في فئة Grothendieck G التي بموجبها تتوافق الوحدات المدمجة جبريًا R - modules بدقة مع الكائنات الحقنية في G.

كل وحدة نمطية R مكافئة بشكل أساسي لوحدة نمطية R مضغوطة جبريًا ، ولمجموع مباشر لوحدات نمطية R مضغوطة جبريًا غير قابلة للتحليل . ^{[ 1 ]}

• سي يو جنسن وهـ. لينزينغ: الجبر النظري النموذجي ، غوردون وبريتش، 1989