المثلث الهيروني

في الهندسة ، المثلث الهيروني (أو مثلث هيرون ) هو مثلث تكون أطوال أضلاعه a و b و c ومساحته A جميعها أعدادًا صحيحة موجبة . ^{[ 1 ] [ 2 ]} سُميت المثلثات الهيرونية نسبةً إلى هيرون الإسكندري ، استنادًا إلى علاقتها بصيغة هيرون التي برهن عليها هيرون باستخدام مثال المثلث ذي الأضلاع ¹³ و 14 و 15 ومساحته 84. [ ^{3 ]}

تشير صيغة هيرون إلى أن المثلثات الهيرونية هي بالضبط الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة الديوفانتية

${\displaystyle 16\,A^{2}=(a+b+c)(a+bc)(b+ca)(c+ab);}$

أي أن أطوال أضلاع ومساحة أي مثلث هيروني تحقق المعادلة، وأي حل صحيح موجب للمعادلة يصف مثلث هيروني. ^{[ 4 ]}

إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة أولية فيما بينها (بمعنى أن القاسم المشترك الأكبر لجميع الأضلاع الثلاثة هو 1)، فإن المثلث الهيروني يسمى بدائيًا .

تُسمى المثلثات التي تكون أطوال أضلاعها ومساحاتها أعدادًا نسبية (حلول نسبية موجبة للمعادلة أعلاه) أحيانًا بالمثلثات الهيرونية أو المثلثات النسبية ؛ ^{[ 5 ]} في هذه المقالة، سنُطلق على هذه المثلثات الأكثر عمومية اسم المثلثات الهيرونية النسبية . كل مثلث هيروني (صحيح) هو مثلث هيروني نسبي. وبالمقابل، فإن كل مثلث هيروني نسبي يُشابه هندسيًا مثلثًا هيرونيًا أوليًا واحدًا فقط.

في أي مثلث هيروني نسبي، تكون الارتفاعات الثلاثة ، ونصف قطر الدائرة المحيطة ، ونصف قطر الدائرة الداخلية والخارجية ، وجيوب وجيوب تمام الزوايا الثلاث جميعها أعدادًا نسبية.

تكبير المثلث بمعامل s يتم عن طريق ضرب أطوال أضلاعه في s ؛ وهذا يؤدي إلى زيادة مساحته بنسبة s.${\displaystyle s^{2}}$وينتج عنه مثلث مشابه . إن ضرب مثلث هيروني نسبي بعامل نسبي ينتج عنه مثلث هيروني نسبي آخر.

بفرض مثلث هيروني نسبي بأطوال أضلاع${\textstyle {\frac {p}{d}},{\frac {q}{d}},{\frac {r}{d}},}$عامل المقياس${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$ينتج مثلث هيروني منطقي بحيث تكون أطوال أضلاعه${\textstyle a,b,c}$هي أعداد صحيحة أولية فيما بينها . يُثبت أدناه أن المساحة A عدد صحيح، وبالتالي فإن المثلث هو مثلث هيروني. يُطلق على هذا النوع من المثلثات غالبًا اسم المثلث الهيروني الأولي.

باختصار، تحتوي كل فئة تشابه من المثلثات الهيرونية النسبية على مثلث هيروني أولي واحد فقط. ومن نتائج البرهان أن طول ضلع واحد فقط من أضلاع المثلث الهيروني الأولي هو عدد زوجي.

البرهان: يجب إثبات أنه إذا كانت أطوال الأضلاع${\textstyle a,b,c}$إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الهيروني النسبي أعدادًا صحيحة أولية فيما بينها، فإن المساحة A هي أيضًا عدد صحيح ويكون طول أحد الأضلاع زوجيًا.

تُظهر معادلة ديوفانتين الواردة في المقدمة مباشرةً أن${\displaystyle 16A^{2}}$هو عدد صحيح. جذره التربيعي${\displaystyle 4A}$وهو أيضًا عدد صحيح، لأن الجذر التربيعي لعدد صحيح هو إما عدد صحيح أو عدد غير نسبي .

إذا كان طول أحد الأضلاع زوجيًا، فإن جميع العوامل في الطرف الأيمن من المعادلة تكون زوجية، وبقسمة المعادلة على 16 ، نحصل على ذلك.${\displaystyle A^{2}}$و${\displaystyle A}$هي أعداد صحيحة.

بما أن أطوال الأضلاع يفترض أن تكون أولية فيما بينها، يتبقى لدينا الحالة التي يكون فيها طول ضلع واحد أو ثلاثة أضلاع فردية. بافتراض أن c عدد فردي، يمكن إعادة كتابة الطرف الأيمن من معادلة ديوفانتين على النحو التالي:

${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(ab)^{2}),}$

مع${\displaystyle a+b}$و${\displaystyle ab}$زوجي. لأن مربع عدد صحيح فردي يطابق${\displaystyle 1}$بتردد 4 ، يجب أن يكون الطرف الأيمن من المعادلة متطابقًا مع${\displaystyle -1}$modulo 4. وبالتالي، من المستحيل إيجاد حل للمعادلة الديوفانتية، لأن${\displaystyle 16A^{2}}$يجب أن يكون مربع عدد صحيح، ومربع عدد صحيح يكون متطابقًا مع 0 أو 1 بتردد 4 .

أي مثلث فيثاغورس هو مثلث هيروني. أطوال أضلاع هذا المثلث أعداد صحيحة ، بحسب التعريف. في أي مثلث من هذا النوع، يكون أحد الضلعين الأقصر زوجي الطول، لذا فإن المساحة (حاصل ضرب هذين الضلعين مقسومًا على اثنين) هي أيضًا عدد صحيح.

من أمثلة المثلثات الهيرونية غير القائمة الزاوية المثلث متساوي الساقين الناتج عن وصل مثلث فيثاغورس وصورته المرآوية على طول ضلع الزاوية القائمة. وبالبدء بالثلاثية الفيثاغورسية 3، 4، 5، نحصل على مثلثين هيرونيين بأطوال أضلاع (5، 5، 6) و (5، 5، 8) ومساحة 12 .

وبشكل أعم، بالنظر إلى مجموعتين ثلاثيتين فيثاغوريتين${\displaystyle (a,h,c_{1})}$و${\displaystyle (b,h,c_{2})}$باستخدام أكبر قيمتين a و b ، يمكن توصيل المثلثات المتناظرة على طول الأضلاع التي يبلغ طولها h (انظر الشكل) للحصول على مثلث هيروني بأطوال أضلاع.${\displaystyle a,b,c_{1}+c_{2}}$والمنطقة${\textstyle {\tfrac {1}{2}}h(c_{1}+c_{2})}$(هذا عدد صحيح، لأن مساحة كل مثلث فيثاغورس هي عدد صحيح).

توجد مثلثات هيرونية لا يمكن الحصول عليها بضم مثلثات فيثاغورس. على سبيل المثال، المثلث الهيروني ذو أطوال الأضلاع${\displaystyle 5,29,30}$ومساحته 72، لأن أيًا من ارتفاعاته ليس عددًا صحيحًا. تُعرف هذه المثلثات الهيرونية بالمثلثات غير القابلة للتحليل . ^{[ 6 ]} مع ذلك، يمكن إنشاء أي مثلث هيروني من مثلثات قائمة الزاوية ذات أطوال أضلاع نسبية ، وبالتالي فهو مشابه للمثلث الهيروني القابل للتحليل. في الواقع، يقع ارتفاع واحد على الأقل من ارتفاعات المثلث داخله، ويقسمه إلى مثلثين قائمي الزاوية. لهذه المثلثات أضلاع نسبية، لأن جيب تمام وجيب زوايا المثلث الهيروني أعداد نسبية، وباستخدام الترميز الموضح في الشكل، نحصل على${\displaystyle h=a\sin \alpha }$و${\displaystyle c_{1}=a\cos \alpha ,}$أين${\displaystyle \alpha }$هي الزاوية اليسرى من المثلث.

العديد من الكميات المرتبطة بمثلث هيرون هي أعداد نسبية. على وجه الخصوص:

• جميع ارتفاعات المثلث الهيروني أعداد نسبية. ^{[ 7 ]} يتضح ذلك من حقيقة أن مساحة المثلث تساوي نصف طول أحد أضلاعه مضروبًا في ارتفاعه من ذلك الضلع، وأن المثلث الهيروني له أضلاع ومساحة صحيحة. بعض المثلثات الهيرونية لها ثلاثة ارتفاعات غير صحيحة، على سبيل المثال المثلث الحاد الزاوية (15، 34، 35) الذي مساحته 252، والمثلث المنفرج الزاوية (5، 29، 30) الذي مساحته 72. يمكن تكبير أي مثلث هيروني ذي ارتفاع واحد أو أكثر غير صحيح بمعامل يساوي المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الارتفاعات للحصول على مثلث هيروني مماثل بثلاثة ارتفاعات صحيحة.
• جميع المنصفات العمودية الداخلية لمثلث هيروني هي أقطار نسبية: لأي مثلث، تُعطى هذه الأقطار بالصيغة التالية:${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$و${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$حيث تكون الأضلاع a ≥ b ≥ c والمساحة A ؛ ^{[ 8 ]} في المثلث الهيروني، تكون جميع a و b و c و A أعدادًا صحيحة.
• لكل زاوية داخلية في مثلث هيروني جيب نسبي. وينتج هذا من صيغة المساحة: المساحة = (1/2) ab sin C ، حيث المساحة والضلعان a و b أعداد صحيحة، وينطبق الأمر نفسه على الزوايا الداخلية الأخرى.
• لكل زاوية داخلية في مثلث هيروني جيب تمام نسبي. وينتج هذا من قانون جيب التمام ، c² ⁼ a² + b² - ^2ab cos C ، حيث الأضلاع a و b و c أعداد صحيحة، وينطبق الأمر نفسه على الزوايا الداخلية الأخرى ^.
• لأن جميع المثلثات الهيرونية لها جيوب وجيوب تمام جميع الزوايا الداخلية نسبية، فإن هذا يعني أن الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام لكل زاوية داخلية إما نسبي أو لانهائي.
• نصف كل زاوية داخلية له ظل نسبي لأن tan C /2 = sin C / (1 + cos C ) ، وينطبق الأمر نفسه على الزوايا الداخلية الأخرى. معرفة قيمتين (على الأقل) من قيم ظل نصف الزاوية هذه كافية لإعادة بناء أطوال أضلاع مثلث هيروني بدائي ( انظر أدناه ).
• في أي مثلث، تكون الزاوية التي يشكلها ضلع عند النظر إليه من مركز الدائرة المحيطة به ضعف الزاوية الداخلية للرأس المقابل لهذا الضلع. ولأن نصف زاوية كل زاوية داخلية في مثلث هيروني عدد نسبي، فإن ربع زاوية كل زاوية مركزية في هذا المثلث يكون عددًا نسبيًا أيضًا. (كما أن أرباع الزوايا نسبية في الزوايا المركزية لرباعي براهمغوبتا وفي جميع خماسيات روبنز المعروفة ، ولكن يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كان هذا ينطبق على جميع خماسيات روبنز عمومًا). وينطبق العكس على جميع المضلعات الدائرية عمومًا؛ فإذا كانت جميع زواياها المركزية ذات أرباع نسبية، فإنه يمكن تغيير مقياس المضلع الدائري بحيث تكون مساحته وأضلاعه وأقطاره (التي تصل بين أي رأسين) أعدادًا صحيحة في آن واحد.
• لا توجد مثلثات هيرونية تشكل زواياها الداخلية الثلاث متتالية حسابية. والسبب في ذلك هو أن جميع المثلثات المستوية التي تشكل زواياها الداخلية متتالية حسابية يجب أن تحتوي على زاوية داخلية قياسها 60 درجة، وهي زاوية ليس لها جيب نسبي. ^{[ 9 ]}
• أي مربع مرسوم داخل مثلث هيروني له أضلاع نسبية: بالنسبة للمثلث العام، يكون طول المربع المرسوم داخل المثلث على ضلع طوله a هو طول${\displaystyle {\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}}$حيث A هي مساحة المثلث؛ ^{[ 10 ]} في المثلث الهيروني، كل من A و a أعداد صحيحة.
• كل مثلث هيروني له نصف قطر داخلي نسبي (نصف قطر الدائرة المحيطة به): بالنسبة للمثلث العام، يكون نصف القطر الداخلي هو نسبة المساحة إلى نصف المحيط، وكلاهما نسبي في المثلث الهيروني.
• كل مثلث هيروني له نصف قطر محيط نسبي (نصف قطر الدائرة المحيطة به): بالنسبة للمثلث العام، فإن نصف القطر المحيط يساوي ربع حاصل ضرب الأضلاع مقسومًا على المساحة؛ في المثلث الهيروني تكون الأضلاع والمساحة أعدادًا صحيحة.
• في المثلث الهيروني، تكون المسافة من مركز الثقل إلى كل ضلع نسبةً نسبية، لأن هذه المسافة، في جميع المثلثات، هي نسبة ضعف المساحة إلى ثلاثة أضعاف طول الضلع. ^{[ 11 ]} ويمكن تعميم ذلك بالقول إن جميع المراكز المرتبطة بالمثلثات الهيرونية التي تكون إحداثياتها المركزية نسبًا نسبية، لها مسافة نسبية إلى كل ضلع. وتشمل هذه المراكز مركز الدائرة المحيطة ، ومركز التعامد ، ومركز النقاط التسع ، والنقطة الوسيطة ، ونقطة جيرجون ، ونقطة ناجل . ^{[ 12 ]}
• يمكن وضع كل مثلث هيروني على شبكة مربعة ذات ضلع واحد بحيث يكون كل رأس عند نقطة من نقاط الشبكة. ^{[ 13 ]} وكنتيجة لذلك، يمكن وضع كل مثلث هيروني نسبي في نظام إحداثيات ديكارتية ثنائي الأبعاد بجميع إحداثياته ​​ذات قيم نسبية.
• كل عدد صحيح موجب يمثل مساحة مثلث هيروني نسبي. ^{[ 14 ] [ 15 ]} في المقابل، لا يوجد معيار مثبت لتحديد ما إذا كان عدد صحيح موجب يمثل مساحة مثلث قائم الزاوية نسبي؛ وهذه هي مسألة الأعداد المتطابقة .

فيما يلي بعض خصائص أطوال أضلاع المثلثات الهيرونية، التي أطوال أضلاعها هي a و b و c ومساحتها هي A.

• كل مثلث هيروني بدائي له ضلع زوجي واحد وضلعان فرديان (انظر §  قياس المثلثات البدائية ). ويترتب على ذلك أن المثلث الهيروني إما أن يكون له ضلع واحد أو ثلاثة أضلاع زوجية الطول، ^{[ 16 ] : ص 3} ، وأن محيط المثلث الهيروني البدائي يكون دائمًا عددًا زوجيًا. ^{[ 17 ]}
• لا توجد مثلثات هيرونية متساوية الأضلاع، لأن المثلث الهيروني الأولي له ضلع زوجي واحد وضلعان فرديان. ^{[ 7 ]}
• مساحة المثلث الهيروني قابلة للقسمة دائمًا على 6. ^{[ 18 ] [ 17 ]}
• لا توجد مثلثات هيرونية بطول ضلع يساوي 1 أو 2. ^{[ 19 ] [ 1 ]}
• يوجد عدد لا نهائي من المثلثات الهيرونية الأولية التي يكون طول أحد أضلاعها مساوياً لقيمة معينة a ، بشرط أن تكون a > 2. ^{[ 1 ]}
• لا يمكن أن يكون نصف محيط المثلث الهيروني عددًا أوليًا (كما هو الحال في المثلثات الهيرونية).${\displaystyle s(sa)(sb)(sc)}$هو مربع المساحة، والمساحة عدد صحيح، إذا كان s عددًا أوليًا، فإنه سيقسم عاملًا آخر؛ وهذا مستحيل لأن هذه العوامل جميعها أصغر من s ).
• في المثلث الهيروني الذي لا يحتوي على ارتفاع صحيح ( غير قابل للتحليل وغير فيثاغورسي)، يكون لكل ضلع عامل أولي على الصورة 4k + 1. ^{[ 6 ]} في المثلث الفيثاغورسي الأصلي، تكون جميع العوامل الأولية للوتر على الصورة 4k + 1. يجب أن يحتوي المثلث الهيروني القابل للتحليل على ضلعين يمثلان وتر مثلث فيثاغورسي، وبالتالي يكون لهما عوامل أولية على الصورة 4k + 1. قد توجد أيضًا عوامل أولية على الصورة 4k + 3 ، لأن مكونات المثلث الهيروني القابل للتحليل في الصورة الفيثاغورسية ليست بالضرورة أولية، حتى لو كان المثلث الهيروني أصليًا. باختصار، جميع المثلثات الهيرونية لها ضلع واحد على الأقل يقبل القسمة على عدد أولي على الصورة 4k + 1 .
• لا توجد مثلثات هيرونية تشكل أطوال أضلاعها متوالية هندسية . ^{[ 20 ]}
• إذا كان لأي ضلعين (وليس ثلاثة) من أضلاع المثلث الهيروني عامل مشترك، فيجب أن يكون هذا العامل هو مجموع مربعين. ^{[ 21 ]}

تتألف المعادلة البارامترية أو تمثيل المثلثات الهيرونية من تعبير عن أطوال أضلاع المثلث ومساحته كدوال - عادةً دوال متعددة الحدود - لبعض المعاملات، بحيث يكون المثلث هيرونيًا إذا وفقط إذا كانت هذه المعاملات تحقق بعض القيود - عادةً أن تكون أعدادًا صحيحة موجبة تحقق بعض المتباينات. ويُشترط عمومًا أيضًا إمكانية الحصول على جميع المثلثات الهيرونية حتى قيمة معينة لبعض قيم المعاملات، وأن تكون هذه القيم فريدة، إذا تم تحديد ترتيب أضلاع المثلث.

اكتشف براهماغوبتا (598-668 م) أول نموذج من هذا النوع، لكنه لم يثبت إمكانية توليد جميع المثلثات الهيرونية باستخدام هذا النموذج. وفي القرن الثامن عشر، قدم ليونارد أويلر نموذجًا آخر وأثبت أنه يُولّد جميع المثلثات الهيرونية. وسيتم شرح هذه النماذج في القسمين الفرعيين التاليين.

في القسم الفرعي الثالث، يُستنتج تمثيلٌ منطقيٌّ - أي تمثيلٌ تكون فيه المعاملات أعدادًا نسبيةً موجبةً - بشكلٍ طبيعيٍّ من خصائص المثلثات الهيرونية. ويمكن استعادة كلٍّ من تمثيلي براهمغوبتا وأويلر من هذا التمثيل المنطقيّ عن طريق تبسيط المقامات . وهذا يُقدّم برهانًا على أنَّ تمثيلي براهمغوبتا وأويلر يُولِّدان جميع المثلثات الهيرونية.

تمثيل معلمات المماس بنصف الزاوية

يترك${\displaystyle a,b,c>0}$لتكن أطوال أضلاع أي مثلث، ولتكن${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$لتكن الزوايا الداخلية المقابلة لهذه الأضلاع، ولتكن${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$و${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$لتكن المماسات نصف الزاوية. القيم${\displaystyle t,u,v}$جميعها إيجابية ومرضية${\displaystyle tu+uv+vt=1}$تُعرف هذه "المتطابقة الثلاثية للمماس" بأنها صيغة المماس لنصف الزاوية للمتطابقة المثلثية الأساسية، وتُكتب على النحو التالي:${\textstyle {\frac {\alpha} {2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$الراديان (أي 90 درجة)، كما يمكن إثباته باستخدام صيغة جمع الظلال . وبحسب قوانين الجيب وجيب التمام ، فإن جميع جيوب وجيوب تمام الزوايا${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$تكون أعدادًا نسبية إذا كان المثلث مثلثًا هيرونيًا نسبيًا، ولأن ظل نصف الزاوية هو دالة نسبية للجيب وجيب التمام ، فإنه يترتب على ذلك أن ظلال نصف الزاوية نسبية أيضًا.

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle t,u,v}$هي أعداد نسبية موجبة بحيث${\displaystyle tu+uv+vt=1,}$يتضح أنها تمثل أنصاف زوايا مماسية للزوايا الداخلية لفئة من المثلثات الهيرونية المتشابهة. ^{[ 24 ]} الشرط${\displaystyle tu+uv+vt=1}$يمكن إعادة ترتيبها إلى${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$والتقييد${\displaystyle v>0}$يتطلب${\displaystyle tu<1.}$وبالتالي، توجد علاقة تقابل بين فئات التشابه للمثلثات الهيرونية النسبية وأزواج الأعداد النسبية الموجبة${\displaystyle (t,u)}$والتي يكون ناتج ضربها أقل من 1 .

ولجعل هذا التناظر واضحًا، يمكن للمرء أن يختار، كعضو محدد في فئة التشابه، المثلث المرسوم داخل دائرة قطرها وحدة واحدة بأطوال أضلاع تساوي جيوب الزوايا المقابلة: ^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&s-a={\frac {2u(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]b&=\sin \beta ={\frac {2u}{1+u^{2}}},&s-b={\frac {2t(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]c&=\sin \gamma ={\frac {2(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},&s-c={\frac {2tu(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]&&s={\frac {2(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\A&={\frac {4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})^{2}(1+u^{2})^{2}}},&r={\frac {2tu(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$هو نصف المحيط،${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma }$هي المنطقة،${\textstyle r={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)/s}}}$يمثل نصف القطر الداخلي، وجميع هذه القيم نسبية لأن${\displaystyle t}$و${\displaystyle u}$عقلانيون.

للحصول على مثلث هيروني بأطوال أضلاع صحيحة، يجب تبسيط مقامات a و b و c . هناك عدة طرق للقيام بذلك.${\displaystyle t=m/n}$و${\displaystyle u=p/q,}$مع${\displaystyle \gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1}$( الكسور غير القابلة للاختزال )، ويتم تكبير المثلث بواسطة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),}$والنتيجة هي تمثيل أويلر البارامتري. أما إذا، بدلاً من ذلك،${\displaystyle 1/t}$و${\displaystyle 1/u}$يتم اختزالها إلى المقام المشترك الأدنى، أي إذا${\displaystyle t=k/m}$و${\displaystyle u=k/n}$مع${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1,}$ثم يحصل المرء على تمثيل براهمغوبتا عن طريق تكبير المثلث بواسطة${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.}$يثبت هذا أن أيًا من المعلمات تولد جميع المثلثات الهيرونية.

قيم t و u و v التي تعطي مجموعة المثلثات المتشابهة هندسيًا مع المثلث ذي أطوال الأضلاع a و b و c ، ونصف المحيط ⁠${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$، والمنطقة أ هي $${\displaystyle (t,u,v)=\left({\frac {A}{s(s-a)}},{\frac {A}{s(s-b)}},{\frac {A}{s(s-c)}}\right)\,.}$$

قام كورتز (2008) باشتقاق خوارزميات سريعة لتوليد المثلثات الهيرونية.

يوجد عدد لا نهائي من المثلثات الهيرونية غير الفيثاغورية الأولية وغير القابلة للتحليل ذات قيم صحيحة لنصف القطر الداخلي${\displaystyle r}$وجميع الـ exradii الثلاثة${\displaystyle (r_{a},r_{b},r_{c})}$، بما في ذلك تلك التي تم إنشاؤها بواسطة ^{[ 26 ] : نظرية 4}

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}}$

يوجد عدد لا نهائي من المثلثات الهيرونية التي يمكن وضعها على شبكة بحيث لا تكون رؤوسها عند نقاط الشبكة فحسب، كما هو الحال في جميع المثلثات الهيرونية، بل تكون مراكز الدوائر الداخلية والخارجية عند نقاط الشبكة أيضًا. ^{[ 26 ] : نظرية 5}

انظر أيضًا المثلث الصحيح §  المثلثات الهيرونية للحصول على معلمات لبعض أنواع المثلثات الهيرونية.

تبدأ قائمة المثلثات الهيرونية الأولية ذات الأعداد الصحيحة، مرتبة حسب المساحة، وإذا كانت المساحة متساوية، حسب المحيط ، كما هو موضح في الجدول التالي. "أولية" تعني أن القاسم المشترك الأكبر لأطوال أضلاعها الثلاثة يساوي 1.

تم حساب قائمة المثلثات الهيرونية البدائية التي لا تتجاوز أضلاعها 600000 بواسطة كورتز (2008) .

اعتبارًا من فبراير 2021، لم يُعرف سوى مثلثين هيرونيين بدائيين بأضلاع مربعة كاملة:

(1853 ² ، 4380 ² ، 4427 ² ، المساحة=32 918 611 718 880 ), نُشر في عام 2013. ^{[ 27 ]}

(11789 ² ، 68104 ² ، 68595 ² ، المساحة=284 239 560 530 875 680 )، نُشر في عام 2018. ^{[ 28 ]}

ترتبط المثلثات الهيرونية ذات الأضلاع المربعة الكاملة بمسألة متوازي المستطيلات الكامل . إن وجود حل لمسألة متوازي المستطيلات الكامل يكافئ وجود حل لمسألة المثلث المربع الكامل: ^{[ 29 ]} "هل يوجد مثلث أطوال أضلاعه مربعات كاملة ومنصفات زواياه أعداد صحيحة؟".

يُطلق على الشكل اسم "متساوي الأضلاع" إذا كانت مساحته تساوي محيطه. يوجد خمسة مثلثات هيرونية متساوية الأضلاع تحديدًا: تلك التي أطوال أضلاعها (5، 12، 13)، (6، 8، 10)، (6، 25، 29)، (7، 15، 20)، و(9، 10، 17)، ^{[ 30 ] [ 31 ]} مع العلم أن أربعة منها فقط هي مثلثات أولية.

بما أن مساحة المثلث متساوي الأضلاع ذي الأضلاع النسبية عدد غير نسبي ، فلا يوجد مثلث متساوي الأضلاع هيروني. مع ذلك، يمكن اشتقاق سلسلة من المثلثات الهيرونية متساوية الساقين "شبه متساوية الأضلاع" من تكرار المثلثات القائمة الزاوية ، حيث يكون طول الوتر فيها ضعف طول أحد الضلعين القائمين تقريبًا. ترد الأمثلة الأولى لهذه المثلثات شبه متساوية الأضلاع في الجدول التالي (السلسلة A102341 في OEIS ) :

توجد سلسلة فريدة من المثلثات الهيرونية "شبه متساوية الأضلاع" لأن أضلاعها الثلاثة تأخذ الشكل n − 1 ، n ، n + 1. وقد وصف إدوارد سانغ في عام 1864 طريقةً لتوليد جميع حلول هذه المسألة باستخدام الكسور المستمرة ، ^{[ 32 ]} وفي عام 1880، قدّم راينهولد هوب صيغةً مغلقةً للحلول. ^{[ 33 ]} ترد الأمثلة القليلة الأولى لهذه المثلثات شبه متساوية الأضلاع في الجدول التالي (السلسلة A003500 في OEIS ) :

يمكن إيجاد القيم اللاحقة لـ n عن طريق ضرب القيمة السابقة في 4، ثم طرح القيمة التي تسبقها ( 52 = 4 × 14 - 4 ، 194 = 4 × 52 - 14 ، إلخ)، على النحو التالي:

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,}$

حيث يرمز t إلى أي صف في الجدول. هذه متتالية لوكاس . أو بدلاً من ذلك، الصيغة${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$يُولّد جميع قيم n للأعداد الصحيحة الموجبة t . وبصورة مكافئة، إذا كانت A = المساحة و y = نصف القطر الداخلي ، فإن:

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$

حيث { n , y } هي حلول للمعادلة n ² − 12 y ² = 4. وبتحويل بسيط n = 2 x ينتج معادلة بيل التقليدية x ^{2 −} 3 y ² = 1 ، والتي يمكن اشتقاق حلولها من مفكوك الكسر المستمر المنتظم لـ √ 3. ^{[ 34} ]

المتغير n يكون على الشكل التالي${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$، حيث k هي 7، 97، 1351، 18817، .... تتميز الأعداد في هذه المتتالية بخاصية أن k من الأعداد الصحيحة المتتالية لها انحراف معياري صحيح . ^{[ 35 ]}

• رباعي الأوجه هيروني
• رباعي براهماجوبتا
• مثلث براهماجوبتا
• خماسي روبنز
• المثلث الصحيح#المثلثات الهيرونية

• كارمايكل، روبرت دانيال (1915). "الجزء الأول: مقدمة. المثلثات النسبية. طريقة الانحدار اللانهائي" . التحليل الديوفانتي . وايلي. الصفحات 1-23 . 
• ديكسون، ليونارد يوجين (1920). "المثلثات، والأشكال الرباعية، والأهرامات ذات الأضلاع النسبية" . تاريخ نظرية الأعداد ، المجلد الثاني: التحليل الديوفانتي . مؤسسة كارنيجي في واشنطن. الصفحات 191-224 . 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مثلث هيرون" . عالم الرياضيات .
• موسوعة هيرونيان الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة
• س. ش. كوزيجيلدينوف (1994)، "حول المثلثات الهيرونية الأساسية"، ملاحظات رياضية ، 55 (2): 151-156 ، doi : 10.1007/BF02113294 ، S2CID 115233024