كواسيفيلد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الحقل شبه الجبري هو بنية جبرية(سؤال،+،⋅){\displaystyle (Q,+,\cdot )}أين+{\displaystyle +}و⋅{\displaystyle \cdot }العمليات الثنائية علىسؤال،{\displaystyle Q,}يشبه إلى حد كبير حلقة القسمة ، ولكن بشروط أضعف. جميع حلقات القسمة، وبالتالي جميع الحقول ، هي حقول شبهية.

تعريف

شبه حقل(سؤال،+،⋅){\displaystyle (Q,+,\cdot )}هو هيكل، حيث+{\displaystyle +}و⋅{\displaystyle \cdot }العمليات الثنائية علىسؤال{\displaystyle Q}، مع استيفاء هذه البديهيات:

  • (سؤال،+){\displaystyle (Q,+)}هي مجموعة
  • (سؤال0،⋅){\displaystyle (Q_{0},\cdot )}هي حلقة ، حيثسؤال0=سؤال∖{0}{\displaystyle Q_{0}=Q\setminus \{0\}\,}
  • أ⋅(ب+ج)=أ⋅ب+أ⋅ج∀أ،ب،ج∈سؤال{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c\in Q}( خاصية التوزيع الأيسر )
  • أ⋅x=ب⋅x+ج{\displaystyle a\cdot x=b\cdot x+c}يوجد حل واحد فقط لـx{\displaystyle x}،∀أ،ب،ج∈سؤال،أ≠ب{\displaystyle \forall a,b,c\in Q,a\neq b}

بالمعنى الدقيق، هذا هو تعريف شبه الحقل الأيسر . يُعرَّف شبه الحقل الأيمن تعريفًا مشابهًا، ولكنه يحقق التوزيع الأيمن بدلًا من ذلك. يُطلق على شبه الحقل الذي يحقق كلا قانوني التوزيع اسم شبه الحقل ، بالمعنى الذي يُستخدم به المصطلح في الهندسة الإسقاطية .

على الرغم من عدم افتراض ذلك، يمكن إثبات أن البديهيات تستلزم أن المجموعة الجمعية(سؤال،+){\displaystyle (Q,+)}هو حقل تبديلي . وبالتالي، عند الإشارة إلى حقل شبه تبديلي ، فإن المقصود هو(سؤال0،⋅){\displaystyle (Q_{0},\cdot )}هو أبيلي.

النواة

النواةك{\displaystyle K}من شبه حقلسؤال{\displaystyle Q}هي مجموعة جميع العناصرج{\displaystyle c}بحيث:

  • أ⋅(ب⋅ج)=(أ⋅ب)⋅ج∀أ،ب∈سؤال{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \forall a,b\in Q}
  • (أ+ب)⋅ج=(أ⋅ج)+(ب⋅ج)∀أ،ب∈سؤال{\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q}

تقييد العمليات الثنائية+{\displaystyle +}و⋅{\displaystyle \cdot }لك{\displaystyle K}يمكن إثبات ذلك(ك،+،⋅){\displaystyle (K,+,\cdot )}هي حلقة تقسيم .

يمكن الآن إنشاء فضاء متجهي منسؤال{\displaystyle Q}زيادةك{\displaystyle K}، مع عملية الضرب القياسي التالية  : v⊗ل=v⋅ل∀v∈سؤال،ل∈ك{\displaystyle v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}

بما أن حلقة القسمة المنتهية هي حقل منتهٍ وفقًا لنظرية ويدربورن ، فإن رتبة نواة شبه الحقل المنتهي هي قوة عدد أولي . ويشير بناء الفضاء المتجهي إلى أن رتبة أي شبه حقل منتهٍ يجب أن تكون أيضًا قوة عدد أولي.

أمثلة

جميع حلقات القسمة، وبالتالي جميع الحقول، هي حقول شبهية.

يُطلق على المجال القريب (اليميني) الذي هو شبه مجال (يميني) اسم "المجال القريب المستوي".

أصغر الحقول شبهية هي حقول تبديلية وفريدة. وهي الحقول المنتهية ذات الرتب حتى ثمانية شاملةً. أما أصغر الحقول شبهية التي ليست حلقات قسمة فهي الحقول شبهية غير التبديلية الأربعة ذات الرتبة تسعة؛ وقد ورد ذكرها في كتابي هول (1959) وويبل (2007) .

المستويات الإسقاطية

بالنظر إلى شبه حقلسؤال{\displaystyle Q}، نُعرّف خريطة ثلاثيةتي:سؤال×سؤال×سؤال→سؤال{\displaystyle T\colon Q\times Q\times Q\to Q}بواسطة

تي(أ،ب،ج)=أ⋅ب+ج∀أ،ب،ج∈سؤال{\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q}

ويمكن للمرء حينها التحقق من ذلك.(سؤال،تي){\displaystyle (Q,T)}يحقق بديهيات الحلقة الثلاثية المستوية . مرتبط بـ(سؤال،تي){\displaystyle (Q,T)}هو المستوى الإسقاطي المناظر له . تتميز المستويات الإسقاطية المُنشأة بهذه الطريقة بما يلي؛ ترد تفاصيل هذه العلاقة في هول (1959) . يُسمى المستوى الإسقاطي مستوى إزاحة بالنسبة للخط عند اللانهاية إذا وفقط إذا كانت أي (أو جميع) حلقاته الثلاثية المستوية المرتبطة به حقولًا شبهية يمنى. ويُسمى مستوى قص إذا كانت أي (أو جميع) حلقاته الثلاثية حقولًا شبهية يسرى.

لا يحدد المستوى الحلقة بشكل فريد؛ جميع الحقول شبه التبادلية الأربعة من الرتبة 9 هي حلقات ثلاثية لمستوى الإزاحة غير ديزارغي الفريد من الرتبة 9. وتختلف هذه في الشكل الرباعي الأساسي المستخدم لإنشاء المستوى (انظر Weibel 2007).

تاريخ

كانت تُعرف الحقول شبه الثابتة في الأدبيات العلمية قبل عام 1975 باسم "أنظمة فيبلين-ويدربيرن"، وذلك لأنها دُرست لأول مرة في ورقة بحثية نُشرت عام 1907 (فيبلين-ويدربيرن 1907) من قِبل أوزوالد فيبلين وجوزيف ويدربورن . ويمكن الاطلاع على دراسات استقصائية حول الحقول شبه الثابتة وتطبيقاتها على المستويات الإسقاطية في هول (1959) وويبل (2007) .

انظر أيضاً

مراجع