شبه ملعب

في الرياضيات ، شبه الحقل هو بنية جبرية تحتوي على عمليتين ثنائيتين ، الجمع والضرب، وهو مشابه للحقل ، ولكن مع تخفيف بعض البديهيات.

مصطلح شبه الحقل له معنيان متضاربان، وكلاهما يشمل الحقول كحالة خاصة.

• في الهندسة الإسقاطية والهندسة المنتهية ( MSC 51A، 51E، 12K10)، يُعرَّف شبه الحقل بأنه حلقة قسمة غير تجميعية ذات عنصر محايد ضربي. ^{[ 1 ]} وبشكل أدق، هو حلقة غير تجميعية تُشكِّل عناصرها غير الصفرية حلقةً تحت عملية الضرب. بعبارة أخرى، شبه الحقل هو مجموعة S تحتوي على عمليتين: + (الجمع) و · (الضرب)، بحيث
  • ( S ,+) هي زمرة تبديلية ،
  • عملية الضرب توزيعية من اليسار واليمين،
  • يوجد عنصر محايد ضربي ، و
  • القسمة ممكنة دائمًا: لكل a ولكل b غير صفري في S ، يوجد x و y فريدان في S بحيث يكون b · x = a و y · b = a .

لاحظ على وجه الخصوص أن عملية الضرب لا يُفترض أن تكون تبديلية أو تجميعية . الحقل شبه التجميعي هو حلقة قسمة ، والحقل شبه التجميعي والتبديلي معًا هو حقل . وفقًا لهذا التعريف، يُعد الحقل شبه التجميعي حالة خاصة من الحقل شبه الكامل . إذا كانت S منتهية، فيمكن استبدال البديهية الأخيرة في التعريف أعلاه بافتراض عدم وجود قواسم صفرية ، بحيث أن a ⋅ b = 0 يستلزم أن a = 0 أو b = 0. ^{[ 2 ]} لاحظ أنه نظرًا لعدم وجود خاصية التجميع، فإن البديهية الأخيرة لا تُكافئ افتراض أن لكل عنصر غير صفري معكوسًا ضربيًا، كما هو شائع في تعريفات الحقول وحلقات القسمة.

• في نظرية الحلقات ، والتوافقية ، والتحليل الوظيفي ، وعلوم الحاسوب النظرية ( MSC 16Y60)، يُعرَّف شبه الحقل بأنه شبه حلقة ( S , +, ·) حيث تمتلك جميع العناصر غير الصفرية معكوسًا ضربيًا. ^{[ 3 ] [ 4 ]} تُسمى هذه الكائنات أيضًا أنصاف حقول حقيقية . يظهر تعريف مختلف إذا احتوت S على صفر ماص يختلف عن الوحدة الضربية e ، ويشترط أن تكون العناصر غير الصفرية قابلة للعكس، وأن يكون a · 0 = 0 · a = 0. بما أن الضرب عملية تجميعية ، فإن عناصر شبه الحقل (غير الصفرية) تُشكِّل زمرة . مع ذلك، فإن الزوج ( S , +) هو شبه زمرة فقط ، أي أنه ليس بالضرورة أن يكون له معكوس جمعي، أو بعبارة أخرى، "لا يوجد طرح". في بعض الأحيان، لا يُفترض أن الضرب عملية تجميعية.

يُطلق على شبه الحقل D اسم الحقل الأولي الأيمن (على التوالي الأيسر) إذا كان يحتوي على عنصر w بحيث تكون مجموعة العناصر غير الصفرية لـ D* مساوية لمجموعة جميع القوى الرئيسية اليمنى (على التوالي اليسرى) لـ w.

نقدم أمثلة على أنصاف الحقول بالمعنى الثاني فقط، أي أنصاف الزمر الجمعية ذات الضرب التوزيعي. علاوة على ذلك، فإن الجمع تبديلي والضرب تجميعي في أمثلتنا.

• تشكل الأعداد النسبية الموجبة مع عمليات الجمع والضرب المعتادة شبه حقل تبادلي.

  يمكن توسيع ذلك بواسطة الصفر الممتص.

• تشكل الأعداد الحقيقية الموجبة مع عمليتي الجمع والضرب المعتادتين شبه حقل تبديلي.

  يمكن توسيع هذا بواسطة صفر ماص، مما يشكل شبه الحلقة الاحتمالية ، وهي متماثلة مع شبه الحلقة اللوغاريتمية .

• تشكل الدوال الكسرية من الشكل f / g ، حيث f و g كثيرات حدود على حقل فرعي من الأعداد الحقيقية في متغير واحد بمعاملات موجبة ، شبه حقل تبادلي.

  ويمكن توسيع ذلك ليشمل الصفر.

• يمكن اعتبار مجموعة الأعداد الحقيقية R شبه حقل، حيث يُعرَّف مجموع عنصرين بأنه قيمته القصوى، وحاصل ضربهما بأنه مجموعهما العادي؛ ويُرمز لهذا شبه الحقل اختصارًا بالرمز ( R , max, +). وبالمثل، يُعدّ ( R , min, +) شبه حقل. وتُسمى هذه الأشباه حلقات شبه استوائية .

  يمكن تمديد هذا بواسطة −∞ (صفر ممتص)؛ هذه هي النهاية ( الاستوائية ) للحلقة اللوغاريتمية شبه الدائرية عندما تؤول القاعدة إلى اللانهاية.

• بتعميم المثال السابق، إذا كانت المجموعة ( A ,·,≤) زمرة مرتبة شبكياً، فإن المجموعة ( A ,+,·) هي شبه حقل متماثل جمعياً ، حيث يُعرَّف مجموع شبه الحقل بأنه القيمة العليا لعنصرين. وعلى العكس، فإن أي شبه حقل متماثل جمعياً ( A ,+,·) يُعرِّف زمرة مرتبة شبكياً ( A ,·,≤)، حيث a ≤ b إذا وفقط إذا كان a + b = b .
• الحقل البولياني شبه الحقل B = {0, 1} مع تعريف الجمع بواسطة العملية المنطقية or ، وتعريف الضرب بواسطة العملية المنطقية and .

• حلقة ثلاثية مستوية (بالمعنى الأول)