معامل التحديد

بشكل عام، يمكن ملاحظة أن R ² مرتبط بنسبة التباين غير المفسر (FVU)، حيث يقارن الحد الثاني التباين غير المفسر (تباين أخطاء النموذج) مع التباين الكلي (للبيانات): $${\displaystyle R^{2}=1-{\text{FVU}}}$$

تشير قيمة R² ^الأكبر إلى نموذج انحدار أكثر نجاحًا. ^{[ 4 ] : ​​463} لنفترض أن ^R² = 0.49 . هذا يعني أنه تم تفسير 49% من تباين المتغير التابع في مجموعة البيانات، بينما لا يزال 51% من التباين غير مُفسَّر. بالنسبة لنماذج الانحدار، يُعرَّف مجموع مربعات الانحدار، والذي يُسمى أيضًا مجموع المربعات المُفسَّر ، على النحو التالي:

${\displaystyle SS_{\text{reg}}=\sum _{i}(f_{i}-{\bar {y}})^{2}}$

في بعض الحالات، كما هو الحال في الانحدار الخطي البسيط ، يكون مجموع المربعات الكلي مساوياً لمجموع مجموعي المربعات الآخرين المحددين أعلاه:

${\displaystyle SS_{\text{res}}+SS_{\text{reg}}=SS_{\text{tot}}}$

انظر قسم "التقسيم في نموذج المربعات الصغرى العادية" ^{للاطلاع} على اشتقاق هذه النتيجة لحالة واحدة تتحقق فيها العلاقة. عندما تتحقق هذه العلاقة، يكون تعريف R² المذكور أعلاه مكافئًا لـ

${\displaystyle R^{2}={\frac {SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}}={\frac {SS_{\text{reg}}/n}{SS_{\text{tot}}/n}}}$

حيث n هو عدد الملاحظات (الحالات) على المتغيرات.

في هذا الشكل يتم التعبير عن R ² كنسبة التباين المفسر (تباين تنبؤات النموذج، وهو SS _reg / n ) إلى التباين الكلي (تباين العينة للمتغير التابع، وهو SS _tot / n ).

ينطبق هذا التقسيم لمجموع المربعات، على سبيل المثال، عندما يتم الحصول على قيم النموذج ƒ _i عن طريق الانحدار الخطي . ويُمكن صياغة شرط كافٍ أقل صرامة على النحو التالي: يكون للنموذج الشكل التالي:

${\displaystyle f_{i}={\widehat {\alpha }}+{\widehat {\beta }}q_{i}}$

حيث تمثل qᵢ قيمًا اختيارية قد تعتمد أو لا تعتمد على i أو _{على معلمات حرة} أخرى (الاختيار الشائع qᵢ = xᵢ هو مجرد حالة خاصة واحدة ₎ ، وتقديرات المعاملات  ${\displaystyle {\widehat {\alpha }}}$و${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$يتم الحصول عليها عن طريق تقليل مجموع مربعات البواقي.

تُعدّ هذه المجموعة من الشروط مهمة، ولها آثار عديدة على خصائص البواقي المُقدّرة والقيم المُنمذجة. وبالتحديد، في ظل هذه الشروط:

${\displaystyle {\bar {f}}={\bar {y}}.\,}$

في الانحدار الخطي المتعدد باستخدام طريقة المربعات الصغرى (مع تحديد قيمة التقاطع والميل)، فإن ^قيمة R² تساوي${\displaystyle \rho ^{2}(y,f)}$مربع معامل ارتباط بيرسون بين القيم المرصودة${\displaystyle y}$وتم نمذجتها (توقعها)${\displaystyle f}$قيم بيانات المتغير التابع.

في الانحدار الخطي للمربعات الصغرى مع مُفسِّر واحد (مع نقطة تقاطع وميل مُقدَّرين)، يكون هذا مساوياً أيضاً لـ ${\displaystyle \rho ^{2}(y,x)}$معامل ارتباط بيرسون التربيعي بين المتغير التابع${\displaystyle y}$والمتغير التفسيري${\displaystyle x}$.

لا ينبغي الخلط بينه وبين معامل الارتباط بين متغيرين تفسيريين ، والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \rho _{{\widehat {\alpha }},{\widehat {\beta }}}={\operatorname {cov} \left({\widehat {\alpha }},{\widehat {\beta }}\right) \over \sigma _{\widehat {\alpha }}\sigma _{\widehat {\beta }}},}$

حيث يتم الحصول على التباين المشترك بين تقديرين للمعاملات، بالإضافة إلى انحرافاتهما المعيارية ، من مصفوفة التباين المشترك لتقديرات المعاملات.${\displaystyle (X^{T}X)^{-1}}$.

في ظل ظروف نمذجة أكثر عمومية، حيث يمكن توليد القيم المتوقعة من نموذج مختلف عن الانحدار الخطي للمربعات الصغرى، يمكن حساب قيمة R² على ^أنها مربع معامل الارتباط بين القيم الأصلية${\displaystyle y}$وتم تصميمها${\displaystyle f}$قيم البيانات. في هذه الحالة، لا تُعدّ القيمة مقياسًا مباشرًا لجودة القيم المُنمذجة، بل مقياسًا لجودة المُتنبئ الذي يُمكن بناؤه من القيم المُنمذجة (عن طريق إنشاء مُتنبئ مُنقّح على شكل α + βƒ _i ). ^{[ 10 ]} ووفقًا لإيفريت، ^{[ 11 ]} فإن هذا الاستخدام هو تحديدًا تعريف مصطلح "معامل التحديد": مربع الارتباط بين متغيرين (عامين).

لنفترض نموذجًا خطيًا يحتوي على أكثر من متغير تفسيري واحد ، على النحو التالي:

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}X_{i,j}+\varepsilon _{i},}$

حيث، بالنسبة للحالة رقم i ،${\displaystyle {Y_{i}}}$المتغير التابع،${\displaystyle X_{i,1},\dots ,X_{i,p}}$هي المتغيرات المستقلة p ، و${\displaystyle \varepsilon _{i}}$هو حد خطأ متوسطه صفر . الكميات${\displaystyle \beta _{0},\dots ,\beta _{p}}$هي معاملات مجهولة، تُقدّر قيمها باستخدام طريقة ^{المربعات} الصغرى . معامل التحديد R² هو مقياس لمدى ملاءمة النموذج بشكل عام. تحديدًا، ^R² هو عنصر من [0، 1] ويمثل نسبة التباين في _Yᵢ التي يمكن أن تُعزى إلى توليفة خطية من المتغيرات المستقلة ( ^{المتغيرات} التفسيرية ) في X. [ ^{14 ]} 

غالبًا ما يُفسَّر معامل التحديد (R² ⁾ على أنه نسبة التباين في الاستجابة التي "تُفسِّرها" المتغيرات المستقلة في النموذج. وبالتالي، ^فإن R² = 1 يشير إلى أن النموذج المُطابق يُفسِّر كل التباين في  ${\displaystyle y}$بينما يشير R² = 0 إلى عدم وجود علاقة "خطية" (بالنسبة للانحدار الخطي، هذا يعني أن نموذج الخط المستقيم هو خط ثابت (الميل = 0، نقطة التقاطع = 0) ^.      ${\displaystyle {\bar {y}}}$(بين المتغير التابع والمتغيرات المستقلة). يمكن تفسير قيمة داخلية مثل R² = 0.7 على النحو التالي: "يمكن تفسير 70% من التباين في المتغير التابع بواسطة المتغيرات المستقلة. ^{أما النسبة المتبقية البالغة 30% فيمكن أن تُعزى إلى} متغيرات غير معروفة أو كامنة أو تباين متأصل."  

من الأمور التي يجب مراعاتها عند استخدام معامل التحديد (R² ⁾ ، كما هو الحال مع غيره من المصطلحات الإحصائية التي تصف الارتباط والترابط، أن " الارتباط لا يعني السببية ". بمعنى آخر، على الرغم من أن الارتباطات قد توفر أحيانًا أدلة قيّمة في الكشف عن العلاقات السببية بين المتغيرات، إلا أن وجود ارتباط غير صفري مُقدّر بين متغيرين لا يُعدّ، في حد ذاته، دليلًا على أن تغيير قيمة أحد المتغيرين سيؤدي إلى تغييرات في قيم المتغيرات الأخرى. على سبيل المثال، ترتبط عادة حمل أعواد الثقاب (أو الولاعة) بزيادة حالات الإصابة بسرطان الرئة، لكن حمل أعواد الثقاب لا يُسبب السرطان (بالمعنى المتعارف عليه لكلمة "سبب").

في حالة وجود متغير مستقل واحد، يتم تقديره باستخدام طريقة المربعات الصغرى، ^فإن R² هو مربع معامل ارتباط بيرسون بين المتغير المستقل والمتغير التابع. وبشكل أعم، فإن ^R² هو مربع الارتباط بين المتغير المستقل المُنشأ والمتغير التابع. أما في حالة وجود أكثر من متغير مستقل، ^فيمكن الإشارة إلى R² بمعامل التحديد المتعدد .

في تحليل الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى للبيانات النموذجية، يزداد ^{معامل التحديد} (R² ⁾ بشكل طفيف على الأقل مع زيادة عدد المتغيرات المستقلة في النموذج. ولأن زيادة عدد المتغيرات المستقلة تزيد من قيمة R² ، فلا يمكن الاعتماد على R² وحده للمقارنة بين النماذج ذات الأعداد المختلفة جدًا من المتغيرات المستقلة. وللمقارنة بين نموذجين، يمكن إجراء اختبار F على مجموع مربعات البواقي ، على غرار اختبارات F في اختبار غرانجر للسببية ، مع العلم _أن هذا ليس مناسبًا دائمًا . وللتذكير، يرمز بعض الباحثين إلى ^R² بالرمز R²q² ، ^حيث q هو عدد أعمدة المصفوفة X (عدد المتغيرات التفسيرية بما فيها الثابت).

ولتوضيح هذه الخاصية، تذكر أولاً أن هدف الانحدار الخطي للمربعات الصغرى هو

${\displaystyle \min _{b}SS_{\text{res}}(b)\Rightarrow \min _{b}\sum _{i}(y_{i}-X_{i}b)^{2}\,}$

حيث X _i هو متجه صف من قيم المتغيرات التفسيرية للحالة i و b هو متجه عمودي من معاملات العناصر المعنية من X _i .

تكون القيمة المثلى للدالة الهدفية أصغر قليلاً مع إضافة المزيد من المتغيرات التفسيرية، وبالتالي مع إضافة أعمدة إضافية من${\displaystyle X}$تُضاف (مصفوفة البيانات التفسيرية التي يكون صفها i هو X _{i )، وذلك بسبب حقيقة أن التقليل الأقل تقييدًا يؤدي إلى تكلفة مثلى أصغر بشكل طفيف من تلك التي يؤدي إليها التقليل الأكثر تقييدًا. وبالنظر إلى الاستنتاج السابق، وملاحظة أن}${\displaystyle SS_{tot}}$يعتمد فقط على y ، وخاصية عدم التناقص لـ R ² تتبع مباشرة من التعريف أعلاه.

السبب البديهي الذي يجعل استخدام متغير تفسيري إضافي لا يُقلل من قيمة ^R² هو التالي: تقليل${\displaystyle SS_{\text{res}}}$يُعادل ذلك تعظيم معامل التحديد (R² ⁾ . عند إضافة المتغير الإضافي، يكون للبيانات دائمًا خيار إعطائه معاملًا تقديريًا يساوي صفرًا، مما يُبقي القيم المتوقعة ومعامل التحديد (R² ⁾ دون تغيير. الطريقة الوحيدة التي تُعطي بها مسألة التحسين معاملًا غير صفري هي إذا أدى ذلك إلى تحسين معامل التحديد ( R² ⁾ . 

ما سبق يقدم تفسيراً تحليلياً لتضخم R² ^. فيما يلي مثال قائم على طريقة المربعات الصغرى العادية من منظور هندسي. ^{[ 15 ]}

حالة بسيطة يجب النظر فيها أولاً:

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot X_{1}+\varepsilon \,}$

تصف هذه المعادلة نموذج الانحدار الخطي العادي ذي المربعات الصغرى مع متغير مستقل واحد. يظهر التنبؤ كمتجه أحمر في الشكل على اليمين. هندسيًا، هو إسقاط القيمة الحقيقية على فضاء النموذج في${\displaystyle \mathbb {R} }$(بدون نقطة تقاطع). يظهر الباقي كخط أحمر.

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot X_{1}+\beta _{2}\cdot X_{2}+\varepsilon \,}$

تُطابق هذه المعادلة نموذج الانحدار الخطي العادي ذي المتغيرين المستقلين. يظهر التنبؤ كمتجه أزرق في الشكل على اليمين. هندسيًا، هو إسقاط القيمة الحقيقية على فضاء نموذج أكبر.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(بدون تقاطع). ومن الملاحظ أن قيم${\displaystyle \beta _{0}}$و${\displaystyle \beta _{0}}$لا تتطابق مع المعادلة الخاصة بمساحة النموذج الأصغر طالما أن${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$ليست متجهات صفرية. لذلك، من المتوقع أن تُعطي المعادلات تنبؤات مختلفة (أي، من المتوقع أن يكون المتجه الأزرق مختلفًا عن المتجه الأحمر). يضمن معيار الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى تقليل الباقي. في الشكل، الخط الأزرق الذي يمثل الباقي متعامد مع فضاء النموذج في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، مما يعطي الحد الأدنى من المسافة من المكان.

الفضاء النموذجي الأصغر هو فضاء جزئي من الفضاء الأكبر، وبالتالي فإن قيمة الباقي في النموذج الأصغر تكون أكبر حتمًا. بمقارنة الخطين الأحمر والأزرق في الشكل، نجد أن الخط الأزرق متعامد مع الفضاء، وأي خط آخر سيكون أكبر منه. عند حساب R² ^، نجد أن قيمة أصغر لـ${\displaystyle SS_{tot}}$سيؤدي ذلك إلى قيمة أكبر لـ R ² ، مما يعني أن إضافة المتغيرات المستقلة ستؤدي إلى تضخم R ² .

لا يشير R ^{2 إلى ما إذا كان:}

• المتغيرات المستقلة هي سبب للتغيرات في المتغير التابع ؛
• يوجد تحيز في المتغيرات المحذوفة ؛
• تم استخدام الانحدار الصحيح ؛
• تم اختيار المجموعة الأنسب من المتغيرات المستقلة؛
• يوجد ارتباط خطي في البيانات المتعلقة بالمتغيرات التفسيرية؛
• يمكن تحسين النموذج باستخدام نسخ مُحوّلة من المجموعة الحالية من المتغيرات المستقلة؛
• توجد نقاط بيانات كافية للتوصل إلى استنتاج قوي؛
• توجد بعض القيم الشاذة في عينة جيدة بشكل عام.

يُستخدم معامل التحديد المعدل ^R² ( أحد الرموز الشائعة هو${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$، تُنطق "آر بار تربيع"؛ وأخرى هي${\displaystyle R_{\text{a}}^{2}}$أو${\displaystyle R_{\text{adj}}^{2}}$يُعدّ هذا محاولةً لتفسير ظاهرة الزيادة التلقائية في معامل التحديد (R² ⁾ عند إضافة متغيرات تفسيرية إضافية إلى النموذج. توجد طرق عديدة لتعديل هذا المعامل. ^{[ 16 ]} وأكثرها استخدامًا، لدرجة أنه يُشار إليه عادةً باسم R² المُعدَّل ، هو التصحيح الذي اقترحه موردخاي حزقيال . ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} ويُعرَّف R² المُعدَّل على النحو التالي ^:

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={1-{SS_{\text{res}}/{\text{df}}_{\text{res}} \over SS_{\text{tot}}/{\text{df}}_{\text{tot}}}}}$

حيث تمثل df _res درجات حرية تقدير تباين المجتمع حول النموذج، وتمثل df _tot درجات حرية تقدير تباين المجتمع حول المتوسط. تُعطى df _res بدلالة حجم العينة n وعدد المتغيرات p في النموذج، أي df _res = n − p − 1. تُعطى df _tot بنفس الطريقة، ولكن مع اعتبار p مساويًا للصفر عند المتوسط ​​(أي df _tot = n − 1 ).

بإدخال درجات الحرية واستخدام تعريف R ² ، يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=1-(1-R^{2}){n-1 \over n-p-1}}$

حيث p هو العدد الإجمالي للمتغيرات التفسيرية في النموذج (باستثناء الحد الثابت)، و n هو حجم العينة.

^{يمكن أن تكون قيمة} R² المعدلة سالبة، وستكون دائمًا أقل من أو تساوي قيمة R² ^{الأصلية} . على عكس R² ^{الأصلية ، لا تزداد قيمة} R² المعدلة إلا عندما تكون الزيادة في R² ^{الأصلية} (نتيجةً لإضافة متغير تفسيري جديد) أكبر مما يُتوقع حدوثه عشوائيًا. إذا أُدخلت مجموعة من المتغيرات التفسيرية، ذات تسلسل هرمي مُحدد مسبقًا للأهمية، في نموذج انحدار واحدًا تلو الآخر، مع حساب قيمة R² المعدلة ^{في كل} مرة ، فإن المستوى الذي تصل عنده قيمة R² المعدلة ^إلى أقصى حد، ثم تنخفض بعد ذلك، يُمثل نموذج الانحدار الأمثل الذي يُحقق أفضل مُلاءمة دون حدود زائدة أو غير ضرورية.

يمكن تفسير معامل التحديد المعدل (R² ⁾ كمثال على المفاضلة بين التحيز والتباين . عند تقييم أداء نموذج ما، يُشير انخفاض الخطأ إلى أداء أفضل. مع ازدياد تعقيد النموذج، يزداد التباين بينما ينخفض ​​مربع التحيز، ويُشكل مجموع هذين المقياسين الخطأ الكلي. بدمج هذين الاتجاهين، تصف المفاضلة بين التحيز والتباين العلاقة بين أداء النموذج وتعقيده، والموضحة بمنحنى على شكل حرف U على اليمين. بالنسبة لمعامل التحديد المعدل ( R² ⁾ تحديدًا، يؤثر تعقيد النموذج (أي عدد المعلمات) على معامل التحديد (R² ⁾ والكسر، وبالتالي يُجسد خصائصهما في الأداء الكلي للنموذج.

يمكن تفسير معامل التحديد (R² ⁾ على أنه تباين النموذج، والذي يتأثر بتعقيد النموذج. تشير قيمة R² العالية إلى انخفاض خطأ التحيز ^، لأن النموذج يُفسر تغير Y بشكل أفضل باستخدام المتغيرات التنبؤية. لهذا السبب، نعتمد على عدد أقل من الافتراضات (الخاطئة)، مما يؤدي إلى انخفاض خطأ التحيز. في الوقت نفسه، ولتقليل عدد الافتراضات، يميل النموذج إلى أن يكون أكثر تعقيدًا. بناءً على المفاضلة بين التحيز والتباين، يؤدي التعقيد الأعلى إلى انخفاض التحيز وتحسين الأداء (أقل من المستوى الأمثل). في R² ^، يكون الحد ( 1 - R² ^{) أقل مع التعقيد العالي، مما ينتج عنه قيمة} R² أعلى، ^وهو ما يشير باستمرار إلى أداء أفضل.

من جهة أخرى، يتأثر الحد/الكسر عكسيًا بتعقيد النموذج. إذ يزداد هذا الحد عند إضافة متغيرات مستقلة (أي زيادة تعقيد النموذج)، مما يؤدي إلى تراجع الأداء. وبناءً على مبدأ المفاضلة بين التحيز والتباين، فإن زيادة تعقيد النموذج (تجاوز الخط الأمثل) تؤدي إلى زيادة الأخطاء وتراجع الأداء.

عند حساب معامل التحديد (R² ^{) ، نجد أن} زيادة عدد المعاملات تؤدي إلى زيادة قيمة R² . مع ذلك، فإن إضافة المزيد من المعاملات تزيد من نسبة المعامل، وبالتالي تقلل من قيمة ^{R² .} يشكل هذان الاتجاهان علاقة على شكل حرف U معكوس بين تعقيد النموذج و R² ^، وهو ما يتوافق مع العلاقة على شكل حرف U بين تعقيد النموذج والأداء العام. على عكس R² ^، الذي يزداد دائمًا مع زيادة تعقيد النموذج، فإن ^R² لا يزداد إلا عندما يكون التحيز الناتج عن إضافة متغير مستقل أكبر من التباين المُدخل في الوقت نفسه. لذا، فإن استخدام ^{R² بدلًا} من R² قد يمنع فرط التخصيص.

وبناءً على المنطق نفسه، يمكن تفسير معامل التحديد المعدل (R² ^{) على أنه تقدير أقل تحيزًا لمعامل} التحديد للمجتمع ^{الإحصائي} ، بينما يُعد معامل التحديد للعينة المرصودة ^{تقديرًا} متحيزًا إيجابيًا لقيمة المجتمع الإحصائي. ^{[ 19 ]} يُعد معامل التحديد المعدل (R² ) ^أكثر ملاءمة عند تقييم مدى ملاءمة النموذج (التباين في المتغير التابع الذي تُفسره المتغيرات المستقلة) وعند مقارنة النماذج البديلة في مرحلة اختيار الميزات لبناء النموذج. ^{[ 19 ]}

^يمكن فهم المبدأ الكامن وراء إحصائية R² المعدلة من خلال إعادة كتابة R² ^{العادية} على النحو التالي:

${\displaystyle R^{2}={1-{{\text{VAR}}_{\text{res}} \over {\text{VAR}}_{\text{tot}}}}}$

أين${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{res}}=SS_{\text{res}}/n}$و${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{tot}}=SS_{\text{tot}}/n}$تمثل هذه القيم تباينات العينة للبواقي المقدرة والمتغير التابع على التوالي، ويمكن اعتبارها تقديرات متحيزة لتباينات المجتمع للأخطاء والمتغير التابع. ويتم استبدال هذه التقديرات بنسخ غير متحيزة إحصائيًا .${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{res}}=SS_{\text{res}}/(n-p)}$و${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{tot}}=SS_{\text{tot}}/(n-1)}$.

على الرغم من استخدام مُقدِّرات غير متحيزة لتباينات المجتمع الإحصائي للخطأ والمتغير التابع، فإن معامل التحديد المعدل ⁽ R² ⁾ ليس مُقدِّرًا غير متحيز لمعامل التحديد للمجتمع الإحصائي [ ^{19 ] ،} ويعود ذلك إلى استخدام تباينات المجتمع الإحصائي للأخطاء والمتغير التابع بدلًا من تقديرها. وقد اشتق إنجرام أولكين وجون دبليو برات مُقدِّرًا غير متحيز ذو تباين أدنى لمعامل التحديد للمجتمع الإحصائي [ ^{20 ] ،} والمعروف باسم مُقدِّر أولكين-برات. وخلصت مقارنات بين مناهج مختلفة لتعديل معامل التحديد ^{إلى أنه في معظم الحالات ،} يُفضَّل استخدام إما نسخة تقريبية من مُقدِّر أولكين-برات ^{[ 19 ]} أو مُقدِّر أولكين-برات الدقيق ^{[ 21 ]} على معامل التحديد المعدل ( حزقيال ⁾ .

يمكن تعريف معامل التحديد الجزئي بأنه نسبة التباين التي لا يمكن تفسيرها في نموذج مُختزل، ولكن يمكن تفسيرها بواسطة المتغيرات التنبؤية المحددة في نموذج كامل. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} يُستخدم هذا المعامل لتحديد ما إذا كان من المفيد إضافة متغير تنبؤي واحد أو أكثر إلى نموذج انحدار أكثر تفصيلاً.

يُعد حساب معامل التحديد الجزئي (R² ⁾ بسيطًا نسبيًا بعد تقدير نموذجين وإنشاء جداول تحليل التباين (ANOVA) ^لهما .

${\displaystyle {\frac {SS_{\text{ res, reduced}}-SS_{\text{ res, full}}}{SS_{\text{ res, reduced}}}},}$

وهو ما يشبه معامل التحديد المعتاد:

${\displaystyle {\frac {SS_{\text{tot}}-SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}}.}$

^{كما هو موضح أعلاه، تتحقق طرق اختيار النموذج ،} مثل معيار R² المعدل واختبار F، ^مما إذا كان إجمالي R² يرتفع بشكل كافٍ لتحديد ما إذا كان ينبغي إضافة متغير مستقل جديد إلى النموذج. إذا أُضيف متغير مستقل إلى النموذج يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمتغيرات مستقلة أخرى موجودة بالفعل، فلن يرتفع إجمالي R² تقريبًا، حتى لو كان المتغير المستقل الجديد ذا صلة ^. ونتيجة لذلك، ستتجاهل الطرق المذكورة أعلاه المتغيرات المستقلة ذات الصلة عندما تكون الارتباطات المتبادلة عالية. ^{[ 25 ]}

بدلاً من ذلك، يمكن تحليل نسخة معممة من معامل التحديد (R² ⁾ لتحديد مدى أهمية الانحراف عن الفرضية. ^{[ 25 ]} وكما يوضح هورنويغ (2018)، تستخدم العديد من مُقدِّرات الانكماش - مثل الانحدار الخطي البايزي ، وانحدار ريدج ، ولاسو (التكيفي) - هذا التحليل لمعامل التحديد (R² ⁾ عند تقليصها التدريجي للمعاملات من حلول المربعات الصغرى العادية غير المقيدة نحو القيم المفترضة. لنُعرِّف أولاً نموذج الانحدار الخطي على النحو التالي:

${\displaystyle y=X\beta +\varepsilon .}$

يُفترض أن المصفوفة X موحدة باستخدام درجات Z وأن متجه العمود${\displaystyle y}$يتم توسيطها بحيث يكون متوسطها صفرًا. ليكن متجه العمود${\displaystyle \beta _{0}}$بالرجوع إلى معلمات الانحدار المفترضة، ودع متجه العمود${\displaystyle b}$لنرمز إلى المعلمات المقدرة. يمكننا بعد ذلك تعريف

${\displaystyle R^{2}=1-{\frac {(y-Xb)'(y-Xb)}{(y-X\beta _{0})'(y-X\beta _{0})}}.}$

قيمة R² البالغة 75% تعني أن دقة العينة تتحسن بنسبة 75% إذا تم استخدام حلول b المُحسَّنة للبيانات بدلاً من الحلول المفترضة ^.${\displaystyle \beta _{0}}$القيم. في الحالة الخاصة التي${\displaystyle \beta _{0}}$إذا كان متجهًا من الأصفار، فإننا نحصل على R ² التقليدي مرة أخرى.

يمكن حساب التأثير الفردي على معامل التحديد (R² ⁾ الناتج عن الانحراف عن الفرضية باستخدام${\displaystyle R^{\otimes }}$('R-outer'). هذا${\displaystyle p}$أوقات${\displaystyle p}$المصفوفة معطاة بواسطة

${\displaystyle R^{\otimes }=(X'{\tilde {y}}_{0})(X'{\tilde {y}}_{0})'(X'X)^{-1}({\tilde {y}}_{0}'{\tilde {y}}_{0})^{-1},}$

أين${\displaystyle {\tilde {y}}_{0}=y-X\beta _{0}}$العناصر القطرية لـ${\displaystyle R^{\otimes }}$^{مجموعها} يساوي R² بالضبط . إذا كانت المتغيرات المستقلة غير مرتبطة و${\displaystyle \beta _{0}}$إذا كان متجهًا من الأصفار، فإن${\displaystyle j^{\text{th}}}$العنصر القطري لـ${\displaystyle R^{\otimes }}$يتوافق ببساطة مع ^قيمة r² بين${\displaystyle x_{j}}$و${\displaystyle y}$عندما تكون المتغيرات المستقلة${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle x_{j}}$مترابطة،${\displaystyle R_{ii}^{\otimes }}$قد يرتفع على حساب انخفاض في${\displaystyle R_{jj}^{\otimes }}$ونتيجة لذلك، فإن العناصر القطرية لـ${\displaystyle R^{\otimes }}$قد تكون أصغر من 0، وفي حالات استثنائية أكثر، أكبر من 1. ولمعالجة هذه الشكوك، تأخذ العديد من مقدرات الانكماش ضمنيًا متوسطًا مرجحًا للعناصر القطرية لـ${\displaystyle R^{\otimes }}$لتحديد مدى أهمية الانحراف عن القيمة المفترضة. ^{[ 25 ]} انقر على أداة التحديد للحصول على مثال.

في حالة الانحدار اللوجستي ، الذي يتم عادةً ملاءمته بواسطة أقصى احتمال ، هناك عدة خيارات لـ R ² الزائف .

أحدها هو R ² المعمم الذي اقترحه كوكس وسنيل في الأصل، ^{[ 26 ]} وبشكل مستقل من قبل ماجي: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle R^{2}=1-\left({{\mathcal {L}}(0) \over {\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}\right)^{2/n}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}(0)}$هل احتمال النموذج الذي يحتوي على الحد الثابت فقط؟${\displaystyle {{\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}}$يمثل احتمال النموذج المُقدَّر (أي النموذج ذو مجموعة معينة من تقديرات المعلمات)، و n هو حجم العينة. ويمكن إعادة كتابته بسهولة على النحو التالي:

${\displaystyle R^{2}=1-e^{{\frac {2}{n}}(\ln({\mathcal {L}}(0))-\ln({\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})))}=1-e^{-D/n}}$

حيث D هي إحصائية الاختبار لاختبار نسبة الاحتمال .

أشار نيكو ناجلكيرك إلى أن له الخصائص التالية: ^{[ 28 ] [ 23 ]}

1. يتوافق ذلك مع معامل التحديد الكلاسيكي عندما يمكن حساب كليهما؛
2. يتم تعظيم قيمتها من خلال تقدير الاحتمالية القصوى للنموذج؛
3. وهو مستقل تقاربياً عن حجم العينة؛
4. التفسير هو نسبة التباين التي يفسرها النموذج؛
5. تتراوح القيم بين 0 و 1، حيث يشير 0 إلى أن النموذج لا يفسر أي اختلاف، ويشير 1 إلى أنه يفسر الاختلاف الملحوظ بشكل كامل؛
6. ليس لها أي وحدة قياس.

لكن في حالة النموذج اللوجستي، حيث${\displaystyle {\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}$لا يمكن أن تكون القيمة أكبر من 1، و ^R² تقع بين 0 و${\displaystyle R_{\max }^{2}=1-({\mathcal {L}}(0))^{2/n}}$وبالتالي،  اقترح ناغلكيرك إمكانية تعريف R ² المقياس على أنه R ² / R ² _max . ^{[ 23 ]}