التمثيل (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف التمثيل بأنه علاقة عامة جدًا تُعبِّر عن أوجه التشابه (أو التكافؤ) بين الكائنات أو البنى الرياضية. وبشكل عام، يُمكن القول إن مجموعة Y من الكائنات الرياضية تُمثِّل مجموعة أخرى X من الكائنات، شريطة أن تتوافق الخصائص والعلاقات القائمة بين الكائنات المُمثِّلة yᵢ ، بطريقة متسقة، مع تلك الموجودة بين الكائنات المُمثَّلة المقابلة xᵢ . وبشكل أكثر تحديدًا، بالنظر إلى مجموعة Π من الخصائص والعلاقات ، فإن تمثيل Π لبنية ما X هو بنية Y تُمثِّل صورة X تحت تشاكل يحافظ على Π . ويُطبَّق تمثيل التسمية أحيانًا على التشاكل نفسه (مثل تشاكل الزمر في نظرية الزمر ). [ 1 ] [ 2 ]

نظرية التمثيل

ولعل المثال الأكثر تطوراً لهذا المفهوم العام هو فرع من فروع الجبر المجرد يسمى نظرية التمثيل ، والذي يدرس تمثيل عناصر الهياكل الجبرية عن طريق التحويلات الخطية للفضاءات المتجهة . [ 2 ]

أمثلة أخرى

على الرغم من أن مصطلح نظرية التمثيل راسخ جيدًا بالمعنى الجبري الذي تمت مناقشته أعلاه، إلا أن هناك العديد من الاستخدامات الأخرى لمصطلح التمثيل في جميع أنحاء الرياضيات.

نظرية الرسم البياني

يُعدّ استكشاف التشاكلات بين الرسوم البيانية والبنى الأخرى مجالًا نشطًا في نظرية الرسوم البيانية . وينبع نوعٌ رئيسي من هذه المسائل من حقيقة أن تقاطع المجموعات (أو، بتعبير أدق، عدم الانفصال ) علاقة متناظرة ، تمامًا كالتجاور في الرسوم البيانية غير الموجهة . وهذا ما يُفضي إلى دراسة رسوم بيانية للتقاطع لعدد لا يُحصى من عائلات المجموعات. [ 3 ] ومن النتائج الأساسية في هذا المجال، والتي تعود إلى بول إردوش وزملائه، أنه يُمكن تمثيل أي رسم بياني ذي n رأسًا بدلالة التقاطع بين مجموعات جزئية من مجموعة لا يزيد حجمها عن n² /4 . [ 4 ]

إن تمثيل الرسم البياني بواسطة هياكل جبرية مثل مصفوفة التجاور ومصفوفة لابلاس يؤدي إلى ظهور مجال نظرية الرسم البياني الطيفي . [ 5 ]

نظرية النظام

إلى جانب الملاحظة السابقة بأن كل رسم بياني هو رسم بياني تقاطعي، فإن كل مجموعة مرتبة جزئيًا (تُعرف أيضًا باسم مجموعة جزئية مرتبة) متماثلة مع مجموعة من المجموعات المرتبة بعلاقة الاحتواء (أو التضمين) ⊆. ومن أمثلة المجموعات الجزئية المرتبة التي تنشأ كترتيبات احتواء لفئات طبيعية من الكائنات، الشبكات البولية والترتيبات ذات البعد n . [ 6 ]

تنشأ العديد من الترتيبات الجزئية من مجموعات الأشكال الهندسية (وبالتالي يمكن تمثيلها بها) . من بينها ترتيبات الكرات من الرتبة n . أما ترتيبات الكرات من الرتبة 1 فهي ترتيبات احتواء الفترات، وترتيبات الكرات من الرتبة 2 هي ما يُسمى بترتيبات الدوائر - وهي المجموعات المرتبة جزئيًا التي يمكن تمثيلها بدلالة الاحتواء بين الأقراص في المستوى. ومن النتائج المميزة في هذا المجال توصيف الرسوم البيانية المستوية ، باعتبارها تلك الرسوم البيانية التي تكون علاقات وقوع رؤوسها على حوافها عبارة عن ترتيبات دوائر. [ 7 ]

توجد أيضًا تمثيلات هندسية لا تعتمد على التضمين. في الواقع، تُعد ترتيبات الفترات من بين أكثر الفئات دراسةً من بين هذه الفئات ، [ 8 ] والتي تمثل الترتيب الجزئي من حيث ما يمكن تسميته بالأسبقية المنفصلة للفترات على خط الأعداد الحقيقية : يُمثل كل عنصر x من المجموعة المرتبة جزئيًا بفترة [ x1 , x2 ]، بحيث يكون y أصغر من z لأي عنصرين y و z في المجموعة المرتبة جزئيًا إذا وفقط إذا كان y2 < z1 .

منطق

في المنطق ، تُستخدم قابلية تمثيل الجبر كبنى علائقية غالبًا لإثبات تكافؤ الدلالات الجبرية والعلائقية . ومن أمثلة ذلك تمثيل ستون للجبر البولياني كحقول من المجموعات ، [ 9 ] وتمثيل إساكيا لجبر هيتينغ كجبر هيتينغ للمجموعات، [ 10 ] ودراسة جبر العلاقات القابل للتمثيل والجبر الأسطواني القابل للتمثيل . [ 11 ]

تعدد المعاني

في ظروف معينة، تُعدّ الدالة f  : X → Y تماثلاً من عدة بنى رياضية على X. ولأن كل بنية من هذه البنى يُمكن اعتبارها، بديهياً، معنىً للصورة Y (أحد الأشياء التي تحاول Y إخبارنا بها)، تُسمى هذه الظاهرة بتعدد المعاني - وهو مصطلح مُستعار من علم اللغة . ومن أمثلة تعدد المعاني ما يلي:

  • تعدد المعاني التقاطعي — أزواج من الرسوم البيانية G1 و G2 على مجموعة رؤوس مشتركة V يمكن تمثيلها في آن واحد بمجموعة واحدة من المجموعات Sv ، بحيث يكون أي رأسين مختلفين u و w في V متجاورين في G1 ، إذا وفقط إذا تقاطعت مجموعاتهما المتناظرة ( Su ∩ w ≠ Ø ) ، ويكونان متجاورين في G2 إذا وفقط إذا تقاطعت مكملاتهما ( SuC ∩ wC ≠ Ø ) . [ 12 ]
  • تعدد المعاني التنافسي - وهو مفهوم مستوحى من دراسة الشبكات الغذائية البيئية ، حيث قد تشترك أزواج الأنواع في فرائس أو مفترسات. يُقال إن زوجًا من الرسوم البيانية G1 و G2 على مجموعة رؤوس واحدة متعدد المعاني التنافسي، إذا وفقط إذا وُجد رسم بياني موجه واحد D على نفس مجموعة الرؤوس، بحيث يكون أي رأسين مختلفين u و v متجاورين في G1 ، إذا وفقط إذا وُجد رأس w بحيث يكون كل من uw و vw قوسين في D ، ويكونان متجاورين في G2 ، إذا وفقط إذا وُجد رأس w بحيث يكون كل من wu و wv قوسين في D. [ 13 ]
  • تعدد المعاني الفاصلية - أزواج من المجموعات المرتبة جزئيًا P 1 و P 2 على مجموعة أرضية مشتركة يمكن تمثيلها في وقت واحد بواسطة مجموعة واحدة من الفترات الحقيقية، أي تمثيل ترتيب الفترات لـ P 1 وتمثيل احتواء الفترات لـ P 2. [ 14 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك و. "تمثيل المجموعة" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 7 ديسمبر 2019 .
  2. 1 2 تيليمان، قسطنطين. "نظرية التمثيل" (ملف PDF) . math.berkeley.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-12-07 .
  3. ↑ ماكي، تيري أ.؛ ماكموريس، ف. ر. (1999)، موضوعات في نظرية الرسم البياني للتقاطع ، سلسلة دراسات SIAM في الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها، فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، doi : 10.1137/1.9780898719802 ، ISBN 978-0-89871-430-2MR 1672910​ 
  4. ↑ إردوش، بول ؛ غودمان، أ. و؛ بوسا، لويس (1966)، "تمثيل الرسم البياني بواسطة تقاطعات المجموعات"، المجلة الكندية للرياضيات ، 18 (1): 106-112 ، CiteSeerX 10.1.1.210.6950 ، doi : 10.4153/cjm-1966-014-3 ، MR 0186575  
  5. ↑ بيغز، نورمان (1994)، نظرية الرسم البياني الجبرية ، مكتبة كامبريدج الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-45897-9MR 1271140​ 
  6. ↑ تروتر، ويليام ت. (1992)، التوافقية والمجموعات المرتبة جزئيًا: نظرية الأبعاد ، سلسلة جونز هوبكنز في العلوم الرياضية، بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز، ISBN 978-0-8018-4425-6MR 1169299​ 
  7. ↑ شاينرمان، إدوارد (1991)، "ملاحظة حول الرسوم البيانية المستوية وترتيب الدوائر"، مجلة SIAM للرياضيات المتقطعة ، 4 (3): 448-451 ، doi : 10.1137/0404040 ، MR 1105950 
  8. ↑ فيشبورن، بيتر سي. (1985)، ترتيب الفترات ورسوم الفترات: دراسة للمجموعات المرتبة جزئيًا ، سلسلة وايلي-إنترساينس في الرياضيات المتقطعة، جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-471-81284-5، MR 0776781 
  9. ↑ مارشال هـ. ستون (1936) " نظرية تمثيلات الجبر البولياني "، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية 40 : 37-111.
  10. ↑ إساكيا، ليو (1974). "نماذج كريپكي الطوبولوجية". الرياضيات السوفيتية . 15 (1): 147-151 .
  11. ↑ هيرش، ر.؛ هودكينسون، إ. (2002). جبر العلاقات بواسطة الألعاب . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 147. إلسيفير ساينس. 
  12. ↑ تانينباوم، بول ج. (1999)، "التمثيل المتزامن لتقاطع أزواج من الرسوم البيانية"، مجلة نظرية الرسوم البيانية ، 32 (2): 171-190 ، doi : 10.1002/(SICI)1097-0118(199910)32:2 < 171::AID-JGT7 > 3.0.CO ; 2-N , MR 1709659 
  13. ^ فيشرمان، ميرانكا؛ كنوبين، فيرنر؛ كريمر، ديرك. Rautenbach، Dieter (2004)، “تعدد المعاني التنافسية”، الرياضيات المنفصلة ، 282 ( 1 – 3): 251 – 255 ، دوى : 10.1016 / j.disc.2003.11.014 ، MR 2059526 
  14. ↑ تانينباوم، بول ج. (1996)، "التمثيل المتزامن لترتيبات الفترات وترتيبات احتواء الفترات"، Order ، 13 (4): 339-350 ، CiteSeerX 10.1.1.53.8988 ، doi : 10.1007/BF00405593 ، MR 1452517 ، S2CID 16904281