التفضيل المُعلن

إذا تم تحديد الميزانية${\displaystyle B}$يتم تعريفها لسلعتين؛${\displaystyle X,Y}$، ويتحدد ذلك بالأسعار${\displaystyle p,q}$والدخل${\displaystyle m}$ثم لنفترض أن الحزمة أ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\in B}$والحزمة ب تكون${\displaystyle (x_{2},y_{2})\in B}$عادةً ما يتم تمثيل هذا الوضع حسابيًا بالمتباينة${\displaystyle pX+qY\leq m}$وبيانيًا بواسطة خط الميزانية في الأعداد الحقيقية الموجبة. بافتراض تفضيلات رتيبة بقوة ، فإن الحزم التي تقع بيانيًا على خط الميزانية فقط هي التي يتم تمثيلها بيانيًا، أي الحزم التي${\displaystyle px_{1}+qy_{1}=m}$و${\displaystyle px_{2}+qy_{2}=m}$يجب أخذ الأمور بعين الاعتبار إذا كانت مُرضية. إذا لوحظ في هذه الحالة أن${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$يتم اختياره على${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$، ويخلص إلى أن${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$يُكشف (مباشرة) أنه مفضل على${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$والتي يمكن تلخيصها في العلاقة الثنائية${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle \mathbf {a} \succeq \mathbf {b} }$[ ^{3 ]​}

يُعدّ مبدأ التفضيل المُعلن الضعيف (WARP) أحد المعايير التي يجب استيفاؤها لضمان اتساق المستهلك مع تفضيلاته. فإذا اختار المستهلك مجموعة سلع (أ) على مجموعة أخرى (ب) عندما تكون كلتاهما في متناول يده، فإنه بذلك يُظهر تفضيله لـ (أ) على (ب) . ينصّ مبدأ WARP على أنه عندما تبقى التفضيلات ثابتة، لا توجد أي ظروف ( ميزانية محددة ) يُفضّل فيها المستهلك (ب) على (أ) . باختيار (أ) على ( ب) عندما تكون كلتا المجموعتين في متناول يده، يُظهر المستهلك أن تفضيلاته ثابتة بحيث لن يختار (ب) على ( أ) أبدًا عندما تكون كلتاهما في متناول يده، حتى مع اختلاف الأسعار.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in B\\\mathbf {a} \in C(B,\succeq )\\\mathbf {b} \in B'\\\mathbf {b} \in C(B',\succeq )\end{matrix}}\right\}~\Rightarrow ~\mathbf {a} \notin B'}$

أين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$هي حزم عشوائية و${\displaystyle C(B,\succeq )\subset B}$هي مجموعة الحزم المختارة في مجموعة الميزانية${\displaystyle B}$بالنظر إلى علاقة التفضيل${\displaystyle \succeq }$.

بمعنى آخر، إذا تم اختيار أ على ب في مجموعة الميزانية${\displaystyle B}$حيث أن كلاً من a و b عبارة عن حزم ممكنة، ولكن يتم اختيار b عندما يواجه المستهلك مجموعة ميزانية أخرى${\displaystyle B'}$إذاً، فإن الحزمة "أ" ليست خياراً مناسباً ضمن مجموعة الميزانية المحددة.${\displaystyle B'}$.

تُعادل بديهية التفضيلات المُعلنة القوية (SARP) بديهية التفضيلات المُعلنة المُعززة (WARP)، باستثناء أنه لا يُسمح بأن يكون الخياران A وB مُفضلين على بعضهما البعض بشكل مباشر أو غير مباشر في الوقت نفسه. يُعتبر الخيار A مُفضلاً على B بشكل غير مباشر إذا وُجد خيار C بحيث يكون A مُفضلاً على C بشكل مباشر، ويكون C مُفضلاً على B بشكل مباشر. رياضياً، يُشير هذا إلى الحفاظ على خاصية التعدي . تُعد خاصية التعدي مفيدة لأنها تُتيح الكشف عن معلومات إضافية من خلال مقارنة مجموعتين منفصلتين من قيود الميزانية.

غالبًا ما يكون من المستحسن في النماذج الاقتصادية منع حدوث مثل هذه "الحلقات"، على سبيل المثال لنمذجة الخيارات باستخدام دوال المنفعة (التي لها مخرجات ذات قيم حقيقية، وبالتالي فهي متعدية). إحدى طرق القيام بذلك هي فرض اكتمال علاقة التفضيل المُعلنة فيما يتعلق بالخيارات بشكل عام، أي دون أي اعتبارات سعرية أو قيود على القدرة على تحمل التكاليف. هذا مفيد لأنه عند تقييم {أ، ب، ج} كخيارات مستقلة، يكون من الواضح مباشرةً أيها مفضل أو غير مبالٍ بأي منها. استخدام البديهية الضعيفة يمنع تفضيل خيارين على بعضهما البعض في الوقت نفسه؛ وبالتالي يستحيل تشكل "الحلقات".

ثمة طريقة أخرى لحل هذه المشكلة وهي فرض مبدأ SARP، الذي يضمن التعدي. يتميز هذا المبدأ بأخذ الإغلاق المتعدي للتفضيلات المُعلنة المباشرة واشتراط أن يكون غير متماثل ، أي إذا تم الكشف عن تفضيل الخيار أ على الخيار ب (مباشرة أو غير مباشرة)، فلن يتم الكشف عن تفضيل الخيار ب على الخيار أ (مباشرة أو غير مباشرة).

هذان نهجان مختلفان لحل المشكلة؛ يهتم الاكتمال بمدخلات (مجال) دوال الاختيار؛ بينما يفرض البديهي القوي شروطًا على المخرجات.

إن البديهية المعممة للتفضيل المعلن (GARP) هي تعميم للبديهية المعممة للتفضيل المعلن (SARP). وهي المعيار النهائي المطلوب لضمان ثبات التفضيلات وعدم تغيرها.

تُفسر هذه البديهية الحالات التي تُحقق فيها مجموعتان أو أكثر من مجموعات الاستهلاك مستويات متساوية من المنفعة، بشرط ثبات مستوى الأسعار. وهي تشمل الحالات التي يتم فيها تحقيق أقصى منفعة من خلال أكثر من مجموعة استهلاك واحدة. ^{[ 4 ]}

تُحقق مجموعة البيانات شرط GARP إذا${\displaystyle x^{i}Rx^{j}}$لا يعني ذلك${\displaystyle x^{j}P^{0}x^{i}}$[ ^{5 ] وهذا يثبت أنه إذا كانت} حزمة الاستهلاك${\displaystyle x^{i}}$يُكشف عن تفضيله لـ${\displaystyle x^{j}}$ثم النفقات اللازمة للحصول على الحزمة${\displaystyle x^{j}}$بافتراض ثبات الأسعار، لا يمكن أن تتجاوز النفقات اللازمة للحصول على الحزمة${\displaystyle x^{i}}$[ ^{6 ]​}

لتحقيق مبدأ GARP، يجب ألا تُنشئ مجموعة البيانات دورة تفضيلية. لذلك، عند النظر في الحزم {A,B,C}، يجب أن تكون حزمة التفضيل المُكتشفة زوجًا ترتيبيًا غير دوري على هذا النحو، إذا${\displaystyle A\succeq B}$و${\displaystyle B\succeq C}$، ثم${\displaystyle B\nsucceq A}$و${\displaystyle A\succeq C}$وبذلك يتم استبعاد "دورات التفضيل" مع الحفاظ على خاصية التعدي. ^{[ 4 ]}

بما أن نموذج GARP يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنموذج SARP، فمن السهل جدًا إثبات أن كل شرط من شروط SARP يمكن أن يستلزم نموذج GARP، إلا أن نموذج GARP لا يستلزم نموذج SARP. ويعود ذلك إلى أن نموذج GARP يتوافق مع دوال الطلب متعددة القيم، بينما يتوافق نموذج SARP فقط مع دوال الطلب أحادية القيمة. وعلى هذا النحو، يسمح نموذج GARP بوجود أقسام مستوية ضمن منحنيات السواء ، كما ذكر هال آر فاريان (1982). ^{[ 5 ]}

تُوسّع نظرية أفريات ، التي وضعها الاقتصادي سيدني أفريات عام 1967، مفهوم GARP من خلال إثبات إمكانية تفسير مجموعة بيانات محدودة من الخيارات المرصودة بواسطة دالة منفعة . ^{[ 7 ]} وبالتحديد، تنص النظرية على أن مجموعة من متجهات الأسعار pᵢ ومتجهات الكميات xᵢ ₍ حيث _i = 1، 2، ...، n ) تُحقق GARP إذا وفقط إذا وُجدت دالة منفعة متصلة ومتزايدة ومقعرة u ( ^x ) بحيث تُعظّم كل _قيمة xᵢ قيمة u(x) ^في ظل قيد الميزانية pᵢ · x ≤ _pᵢ · _{xᵢ .} [ ⁸ ]

_{تُقدّم هذه النظرية اختبارًا عمليًا: إذا تحققت} نظرية _{GARP ،} فستوجد مستويات منفعة uᵢ وأوزان موجبة λᵢ تُحقق المتباينات uᵢ - _uⱼ ≤ λⱼ ( pⱼ _· ( xᵢ _- xⱼ ₎ ) لجميع _i و j . ^{[ 7 ]} تسمح متباينات أفريات هذه ببناء دالة المنفعة مباشرةً من البيانات، على عكس البديهيات السابقة مثل SARP، التي تُثبت الوجود فقط لمجموعات البيانات اللانهائية. [ ^{9 ] على} سبيل المثال ، إذا كانت حزمتان تُعظّمان المنفعة عند نفس الميزانية (كما في شكل GARP)، فإن نظرية أفريات تضمن وجود دالة منفعة، حتى في الحالات التي لا تتحقق فيها نظرية SARP. ^{[ 8 ]} تُستخدم هذه النتيجة على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي لاختبار العقلانية وبناء التفضيلات من البيانات التجريبية. ^{[ 10 ]}