سائل نيوتوني

بالنسبة لسائل نيوتوني غير قابل للانضغاط ومتجانس الخواص في تدفق صفائحي فقط في الاتجاه x (أي حيث تكون اللزوجة متجانسة الخواص في السائل)، يرتبط إجهاد القص بمعدل الإجهاد من خلال المعادلة التكوينية البسيطة$${\displaystyle \tau =\mu \ {\frac {\mathrm {d} u}{\ \mathrm {d} y\ }}}$$ أين

• ${\displaystyle \tau }$هو إجهاد القص (" مقاومة السطح ") في السائل،
• ${\displaystyle \mu }$هو ثابت قياسي للتناسب، وهو اللزوجة الديناميكية للسائل
• ${\displaystyle {\frac {du}{dy}}}$هو المشتق في الاتجاه y ، العمودي على x ، لمكون سرعة التدفق u الموجه على طول الاتجاه x .

في حالة التدفق العام ثنائي الأبعاد غير القابل للانضغاط في المستوى x، y ، تصبح معادلة نيوتن التكوينية كما يلي:

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)}$$ أين:

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$هو إجهاد القص (" مقاومة السطح ") في السائل،
• ${\displaystyle {\frac {\ \partial u}{\partial y}}}$هو المشتق الجزئي في الاتجاه y لمكون سرعة التدفق u الموجه على طول الاتجاه x .
• ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\ \partial x}}}$هو المشتق الجزئي في الاتجاه x لمكون سرعة التدفق v الموجه على طول الاتجاه y .

يمكننا الآن تعميم ذلك على حالة التدفق غير القابل للانضغاط ذي الاتجاه العام في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فتصبح المعادلة التكوينية المذكورة أعلاه $${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\ \partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\ \partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$ أين

• ${\displaystyle x_{j}}$هو${\displaystyle j}$الإحداثي المكاني
• ${\displaystyle v_{i}}$هي سرعة السائل في اتجاه المحور${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \tau _{ij}}$هو${\displaystyle j}$المركبة رقم - للإجهاد المؤثر على أوجه عنصر المائع العمودية على المحور${\displaystyle i}$إنه${\displaystyle ij}$المكون رقم - من موتر إجهاد القص

أو مكتوبة بصيغة تدوين الموتر الأكثر اختصارًا $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\ \nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\top }\right)}$$ أين${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$يمثل تدرج سرعة التدفق.

ثمة طريقة بديلة لصياغة هذه المعادلة التكوينية وهي:

أين $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\ \mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\top }\right)}$$ يمثل موتر معدل الإجهاد . لذا يمكن توضيح هذا التحليل على النحو التالي: ^{[ 5 ]}

وتسمى هذه المعادلة التكوينية أيضاً قانون نيوتن للزوجة .

موتر الإجهاد الكلي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يمكن دائمًا تحليلها إلى مجموع موتر الإجهاد المتساوي الخواص وموتر الإجهاد الانحرافي (${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$): $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)\ \mathbf {I} +{\boldsymbol {\sigma }}'}$$ أين${\displaystyle \mathbf {I} }$هو موتر الهوية.

في حالة المواد غير القابلة للانضغاط، يكون الإجهاد المتساوي الخواص متناسبًا ببساطة مع الضغط الديناميكي الحراري${\displaystyle p}$: $${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)=-{\tfrac {1}{3}}\sum _{k}\sigma _{kk}\ ,}$$

ويتطابق الإجهاد الانحرافي مع موتر إجهاد القص${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\ \nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\top }\right)~.}$$

تصبح معادلة الإجهاد التكوينية عندئذٍ$${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\ \delta _{ij}+\mu \left({\frac {\ \partial v_{i}}{\ \partial x_{j}}}+{\frac {\ \partial v_{j}}{\ \partial x_{i}}}\right)}$$ أو مكتوبة بصيغة تدوين الموتر الأكثر اختصارًا $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\ \mathbf {I} +\mu \left(\ \nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\top }\right)~.}$$

ينتج قانون نيوتن التكويني للتدفق القابل للانضغاط من الافتراضات التالية حول موتر إجهاد كوشي: ^{[ 5 ]}

• الإجهاد ثابتٌ وفقًا لمبادئ غاليليو : فهو لا يعتمد مباشرةً على سرعة التدفق، بل فقط على المشتقات المكانية لسرعة التدفق. لذا، فإن متغير الإجهاد هو تدرج الموتر.${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$أو ببساطة موتر معدل الإجهاد :${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• يكون الإجهاد الانحرافي خطيًا في هذا المتغير:${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}} ، حيث${\textstyle p}$مستقل عن موتر معدل الإجهاد،${\textstyle \mathbf {C} }$يمثل الموتر من الدرجة الرابعة ثابت التناسب، ويسمى موتر اللزوجة أو المرونة ، و  : هو حاصل الضرب النقطي المزدوج .
• يُفترض أن يكون السائل متجانس الخواص ، كما هو الحال مع الغازات والسوائل البسيطة، وبالتالي${\textstyle \mathbf {C} }$هو موتر متناحٍ؛ علاوة على ذلك، بما أن موتر الإجهاد الانحرافي متناظر، فإنه يمكن التعبير عنه، باستخدام تحليل هيلمهولتز، بدلالة معاملي لاميه قياسيين ، الثاني هو اللزوجة${\textstyle \lambda }$واللزوجة الديناميكية${\textstyle \mu }$، كما هو معتاد في المرونة الخطية :
  معادلة الإجهاد الخطي التكوينية (تعبير مشابه لتعبير الجسم الصلب المرن)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  أين${\textstyle \mathbf {I} }$هو موتر الوحدة ، و${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$يمثل أثر موتر معدل الإجهاد. لذا يمكن تعريف هذا التحليل بشكل صريح على النحو التالي: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

بما أن أثر موتر معدل الإجهاد في ثلاثة أبعاد هو تباعد (أي معدل التوسع) التدفق: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

وبناءً على هذه العلاقة، وبما أن أثر موتر الوحدة في ثلاثة أبعاد هو ثلاثة: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

يصبح أثر موتر الإجهاد في ثلاثة أبعاد كما يلي: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

لذلك من خلال التناوب في تحليل موتر الإجهاد إلى أجزاء متساوية الخواص وأجزاء منحرفة ، كما هو معتاد في ديناميكا الموائع: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

تقديم اللزوجة الكلية${\textstyle \zeta }$، $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

نصل إلى المعادلة التكوينية الخطية بالشكل المستخدم عادة في الديناميكا الحرارية : ^{[ 5 ]}

والتي يمكن ترتيبها أيضًا بالشكل المعتاد الآخر: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

لاحظ أنه في حالة الانضغاط، لا يكون الضغط متناسبًا مع مصطلح الإجهاد المتساوي الخواص، نظرًا لوجود مصطلح اللزوجة الحجمية الإضافي: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

وموتر الإجهاد الانحرافي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$لا يزال متطابقًا مع موتر إجهاد القص${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$(أي أن الإجهاد الانحرافي في سائل نيوتوني ليس له مكونات إجهاد عمودي)، وله حد انضغاطي بالإضافة إلى حالة عدم الانضغاط، وهو يتناسب مع لزوجة القص:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

لاحظ أن حالة عدم الانضغاط تتوافق مع افتراض أن الضغط يقيد التدفق بحيث يكون حجم عناصر المائع ثابتًا: تدفق متساوي الحجم ينتج عنه حقل سرعة لولبي مع${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$^{[ 8 ]} لذلك يعود المرء إلى التعبيرات الخاصة بالضغط والإجهاد الانحرافي التي وردت في الفقرة السابقة.

اللزوجة الكلية${\textstyle \zeta }$واللزوجة الديناميكية${\textstyle \mu }$لا يشترط أن تكون هذه المعاملات ثابتة، فهي عمومًا تعتمد على متغيرين من متغيرات الديناميكا الحرارية إذا كان المائع يحتوي على نوع كيميائي واحد، كالضغط ودرجة الحرارة على سبيل المثال. وتُسمى أي معادلة تُحدد أحد معاملات النقل هذه صراحةً ضمن متغيرات الحفظ بمعادلة الحالة . ^{[ 9 ]}

إلى جانب اعتماده على الضغط ودرجة الحرارة، يعتمد معامل اللزوجة الثاني أيضًا على العملية، أي أنه ليس مجرد خاصية للمادة. على سبيل المثال: في حالة موجة صوتية ذات تردد محدد تقوم بضغط وتمديد عنصر سائل بالتناوب، يعتمد معامل اللزوجة الثاني على تردد الموجة. يُطلق على هذا الاعتماد اسم التشتت . في بعض الحالات، يكون معامل اللزوجة الثاني${\textstyle \zeta }$يمكن افتراض ثباتها، وفي هذه الحالة، يكون تأثير لزوجة الحجم${\textstyle \zeta }$إن الضغط الميكانيكي لا يعادل الضغط الديناميكي الحراري : ^{[ 10 ]} كما هو موضح أدناه. $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ومع ذلك، يتم تجاهل هذا الاختلاف عادةً في معظم الأوقات (أي عندما لا نتعامل مع عمليات مثل امتصاص الصوت وتوهين الموجات الصدمية، ^{[ 11 ]} حيث يصبح معامل اللزوجة الثاني مهمًا) من خلال الافتراض الصريح${\textstyle \zeta =0}$افتراض تحديد${\textstyle \zeta =0}$تُعرف باسم فرضية ستوكس . ^{[ 12 ]} يمكن إثبات صحة فرضية ستوكس للغازات أحادية الذرة تجريبياً ومن خلال النظرية الحركية؛ ^{[ 13 ]} أما بالنسبة للغازات والسوائل الأخرى، فإن فرضية ستوكس غير صحيحة بشكل عام.

وأخيرًا، تجدر الإشارة إلى أن فرضية ستوكس أقل تقييدًا من فرضية التدفق غير القابل للانضغاط. ففي التدفق غير القابل للانضغاط، يختفي كل من حد اللزوجة الحجمية وحد لزوجة القص في تباعد حد سرعة التدفق، بينما في فرضية ستوكس يختفي الحد الأول فقط، بينما يبقى الحد الثاني.

وبشكل أعم، في سائل نيوتوني غير متجانس الخواص، يكون المعامل${\displaystyle \mu }$يتم استبدال العلاقة التي تربط إجهادات الاحتكاك الداخلي بالمشتقات المكانية لحقل السرعة بموتر إجهاد لزج مكون من تسعة عناصر${\displaystyle \mu _{ij}}$.

توجد صيغة عامة لقوة الاحتكاك في السائل: المشتق الاتجاهي لقوة الاحتكاك يساوي موتر اللزوجة مضافًا إليه حاصل الضرب الاتجاهي للمشتق الاتجاهي لمتجه مساحة الطبقات السائلة المتجاورة وسرعة الدوران : $${\displaystyle d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \nabla \times \,\mathbf {u} }$$ أين${\displaystyle \mu _{ij}}$هو موتر اللزوجة . المكونات القطرية لموتر اللزوجة هي اللزوجة الجزيئية للسائل، وليست المكونات القطرية هي لزوجة الدوامات المضطربة . ^{[ 14 ]}

يُستخدم نموذج قانون القوة لعرض سلوك السوائل النيوتونية وغير النيوتونية ويقيس إجهاد القص كدالة لمعدل الإجهاد.

العلاقة بين إجهاد القص ومعدل الإجهاد وتدرج السرعة لنموذج قانون القوة هي: $${\displaystyle \tau _{xy}=-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},}$$ أين

• ${\displaystyle \left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}}$هي القيمة المطلقة لمعدل الإجهاد مرفوعة للأس ( ن - 1)؛
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$هو تدرج السرعة؛
• n هو دليل قانون القوة.

لو

• إذا كانت قيمة n أقل من 1، فإن السائل يكون لزجًا كاذبًا.
• إذا كانت قيمة n تساوي 1، فإن السائل يكون سائلاً نيوتونياً.
• إذا كانت قيمة n أكبر من 1، فإن السائل يكون متمددًا.

تُعرَّف العلاقة بين إجهاد القص ومعدل القص في نموذج سائل كاسون على النحو التالي: $${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$$ حيث τ ₀ هو إجهاد الخضوع و $${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},}$$ حيث يعتمد α على تركيب البروتين و H هو رقم الهيماتوكريت .