مجموعة أرتين-تيتس

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 70 صور
الموسوعة الحرة

في مجال نظرية الزمر الرياضية ، تُعرف زمر آرتين ، أو زمر آرتين-تيتس ، أو زمر الجدائل المعممة ، بأنها عائلة من الزمر المنفصلة اللانهائية المُعرَّفة بعروض بسيطة . وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بزمر كوكسيتر . ومن أمثلتها الزمر الحرة ، والزمر الأبيلية الحرة ، وزمر الجدائل ، وزمر آرتين-تيتس ذات الزوايا القائمة، وغيرها.

سميت المجموعات على اسم إميل أرتين ، نظراً لعمله المبكر على مجموعات الجدائل في الفترة من عشرينيات إلى أربعينيات القرن العشرين، [ 1 ] وجاك تيتس الذي طور نظرية فئة أكثر عمومية من المجموعات في ستينيات القرن العشرين. [ 2 ]

تعريف

عرض آرتين-تيتس هو عرض تقديمي جماعي⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }أينS{\displaystyle S}هي مجموعة (عادةً ما تكون محدودة) من المولدات وR{\displaystyle R}هي مجموعة من علاقات آرتين-تيتس، أي العلاقات من الشكلsتsت...=تsتs...{\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }للتمييزs،ت{\displaystyle s,t}فيS{\displaystyle S}حيث يكون لكل جانب طول متساوٍ، ولا توجد إلا علاقة واحدة على الأكثر لكل زوج من المولدات المختلفة.s،ت{\displaystyle s,t}زمرة آرتين-تيتس هي زمرة تقبل تمثيل آرتين-تيتس. وبالمثل، فإن أحادي آرتين-تيتس هو أحادي يقبل ، كأحادي، تمثيل آرتين-تيتس.

بدلاً من ذلك، يمكن تحديد مجموعة آرتين-تيتس بواسطة مجموعة المولداتS{\displaystyle S}ولكلs،ت{\displaystyle s,t}فيS{\displaystyle S}، العدد الطبيعيمs،ت⩾2{\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}هذا هو طول الكلماتsتsت...{\displaystyle stst\ldots }وتsتs...{\displaystyle tsts\ldots }بحيثsتsت...=تsتs...{\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }هل العلاقة تربطs{\displaystyle s}وت{\displaystyle t}إن وجدت. جرت العادة على وضعمs،ت=∞{\displaystyle m_{s,t}=\infty }عندما لا توجد علاقةsتsت...=تsتs...{\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }بصورة رسمية، إذا عرّفنا⟨s،ت⟩م{\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}للدلالة على ناتج متناوب منs{\displaystyle s}وت{\displaystyle t}من الطولم{\displaystyle m}، بدءًا منs{\displaystyle s}- لهذا السبب⟨s،ت⟩2=sت{\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}،⟨s،ت⟩3=sتs{\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}إلخ. - تتخذ علاقات آرتين-تيتس الشكل التالي:

⟨s،ت⟩مs،ت=⟨ت،s⟩مت،s، أين مs،ت=مت،s∈{2،3،...،∞}.{\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ حيث }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}

الأعداد الصحيحةمs،ت{\displaystyle m_{s,t}}يمكن تنظيمها في مصفوفة متناظرة ، تُعرف باسم مصفوفة كوكسيتر للمجموعة.

لو⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }هذا عرض تقديمي من آرتين-تيتس لمجموعة آرتين-تيتسأ{\displaystyle A}، ناتج قسمةأ{\displaystyle A}تم الحصول عليها بإضافة العلاقةs2=1{\displaystyle s^{2}=1}لكلs{\displaystyle s}لR{\displaystyle R}هي مجموعة كوكسيتر . على العكس من ذلك ، إذادبليو{\displaystyle W}هي مجموعة كوكسيتر التي يتم تقديمها من خلال الانعكاسات والعلاقاتs2=1{\displaystyle s^{2}=1}عند إزالة هذه العناصر، يصبح الامتداد الناتج مجموعة آرتين-تيتس. على سبيل المثال، مجموعة كوكسيتر المرتبطة بـن{\displaystyle n}مجموعة الجدائل ذات الخيوط هي المجموعة المتناظرة لجميع تباديل{1،...،ن}{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}.

أمثلة

  • جي=⟨S|∅⟩{\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }هل المجموعة المجانية مبنية علىS{\displaystyle S}؛ هنامs،ت=∞{\displaystyle m_{s,t}=\infty }للجميعs،ت{\displaystyle s,t}.
  • جي=⟨S|{sت=تs|s،ت∈S}⟩{\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }هي المجموعة الأبيلية الحرة القائمة علىS{\displaystyle S}؛ هنامs،ت=2{\displaystyle m_{s,t}=2}للجميعs،ت{\displaystyle s,t}.
  • جي=⟨σ1،...،σن-1|σأناσجσأنا=σجσأناσج ل |أنا-ج|=1،σأناσج=σجσأنا ل |أنا-ج|⩾2⟩{\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert ij\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert ij\vert \geqslant 2\rangle }هل مجموعة الضفائر علىن{\displaystyle n}خيوط؛ هنامσأنا،σج=3{\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}ل|أنا-ج|=1{\displaystyle \vert ij\vert =1}، ومσأنا،σج=2{\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}ل|أنا-ج|>1{\displaystyle \vert ij\vert >1}.

الممتلكات العامة

تعتبر أحاديات أرتين-تيتس مؤهلة لطرق غارسيد بناءً على دراسة علاقات قابليتها للقسمة، وهي مفهومة جيدًا:

  • أحاديات أرتين-تيتس قابلة للاختزال، وهي تقبل القواسم المشتركة الكبرى والمضاعفات المشتركة الصغرى المشروطة (يوجد مضاعف مشترك صغرى كلما وُجد مضاعف مشترك).
  • لوأ+{\displaystyle A^{+}}هو أحادي أرتين-تيتس، وإذادبليو{\displaystyle W}وهي مجموعة كوكسيتر المرتبطة، وهناك قسم (نظري للمجموعات)σ{\displaystyle \sigma }لدبليو{\displaystyle W}داخلأ+{\displaystyle A^{+}}وكل عنصر من عناصرأ+{\displaystyle A^{+}}يُتيح تحليلًا مميزًا كسلسلة من العناصر على صورةσ{\displaystyle \sigma }(الشكل الطبيعي الجشع).

لا تتوفر سوى نتائج قليلة فيما يخص مجموعات آرتين-تيتس العامة. وعلى وجه الخصوص، تبقى الأسئلة الأساسية التالية مفتوحة في الحالة العامة:

– حل مسائل الكلمات والاقتران — والتي يُفترض أنها قابلة للتقرير،
– تحديد الالتواء — والذي يُفترض أنه تافه،
– تحديد المركز — والذي يُفترض أنه تافه أو أحادي المولد في حالة عدم كون المجموعة ناتجًا مباشرًا ("حالة غير قابلة للاختزال").
– تحديد علم التماثل – على وجه الخصوص حلك(π،1){\displaystyle K(\pi ,1)}التخمين، أي إيجاد مركب غير دوري تكون مجموعته الأساسية هي المجموعة المعتبرة.

تم تجميع النتائج الجزئية المتعلقة بفئات فرعية محددة أدناه. ومن بين النتائج العامة القليلة المعروفة، يمكن ذكر ما يلي:

  • مجموعات آرتين-تيتس هي مجموعات لا نهائية قابلة للعد.
  • في مجموعة آرتين-تيتس⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }العلاقة الوحيدة التي تربط مربعات العناصرs،ت{\displaystyle s,t}لS{\displaystyle S}يكونs2ت2=ت2s2{\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}لوsت=تs{\displaystyle st=ts}هو فيR{\displaystyle R}(جون كريسب ولويس باريس [ 3 ] ).
  • لكل عرض تقديمي من آرتين-تيتس⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }، أحادي أرتين-تيتس المقدم بواسطة⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }تم تضمينها في مجموعة Artin–Tits المقدمة من قبل⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }(باريس [ 4 ] ).
  • كل أحاديات أرتين-تيتس (المولدة نهائيًا) تقبل عائلة غارسيد منتهية (ماثيو داير وكريستوف هولويغ [ 5 ] ). ونتيجة لذلك، فإن وجود المضاعفات اليمنى المشتركة في أحاديات أرتين-تيتس قابل للتقرير، واختزال الكسور المتعددة فعال.

فئات معينة من مجموعات آرتين-تيتس

يمكن تعريف العديد من الفئات المهمة لمجموعات آرتين من حيث خصائص مصفوفة كوكسيتر.

مجموعات أرتين-تيتس من النوع الكروي

  • يُقال إن مجموعة آرتين-تيتس من النوع الكروي إذا كانت مجموعة كوكسيتر المرتبطة بهادبليو{\displaystyle W}هي مجموعة منتهية — يجب تجنب المصطلح البديل "مجموعة آرتين-تيتس من النوع المنتهي" بسبب غموضه: "مجموعة من النوع المنتهي" هي ببساطة مجموعة تقبل مجموعة مولدة منتهية. تذكر أن هناك تصنيفًا كاملاً معروفًا، حيث تُصنف "الأنواع غير القابلة للاختزال" على أنها متسلسلات لانهائية.أن{\displaystyle A_{n}}،بن{\displaystyle B_{n}}،دن{\displaystyle D_{n}}،أنا2(ن){\displaystyle I_{2}(n)}وست مجموعات استثنائيةهـ6{\displaystyle E_{6}}،هـ7{\displaystyle E_{7}}،هـ8{\displaystyle E_{8}}،F4{\displaystyle F_{4}}،ح3{\displaystyle H_{3}}، وح4{\displaystyle H_{4}}.
  • في حالة زمرة آرتين-تيتس الكروية، تكون الزمرة زمرة كسور للمونيد، مما يُسهّل الدراسة بشكل كبير. تُحلّ جميع المسائل المذكورة أعلاه بشكل إيجابي لزمر آرتين-تيتس الكروية: مسائل الكلمة والاقتران قابلة للتقرير، والتواءها تافه، والمركز أحادي التولد في الحالة غير القابلة للاختزال، ويتم تحديد علم التماثل ( بيير ديلين ، بالطرق الهندسية، [ 6 ] إيغبرت بريسكورن وكيوجي سايتو ، بالطرق التوافقية [ 7 ] ).
  • يمكن تمثيل زمرة آرتين-تيتس النقية من النوع الكروي كزمرة أساسية لمكمل ترتيب مستوى فائق محدود فيجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}.
  • مجموعات Artin–Tits من النوع الكروي هي مجموعات ثنائية تلقائية (روث شارني [ 8 ] ).
  • في المصطلحات الحديثة، مجموعة آرتين-تيتسأ{\displaystyle A}هي مجموعة غارسيد ، مما يعني أنأ{\displaystyle A}هي مجموعة من الكسور للوحدة المرتبطة بهاأ+{\displaystyle A^{+}}ويوجد لكل عنصر من عناصرأ{\displaystyle A}شكل طبيعي فريد يتكون من سلسلة منتهية من (نسخ من) عناصردبليو{\displaystyle W}ومعكوساتها ("الشكل الطبيعي الجشع المتناظر")

مجموعات آرتين ذات الزوايا القائمة

  • يُقال إن مجموعة آرتين-تيتس قائمة الزاوية إذا كانت جميع معاملات مصفوفة كوكسيتر إما2{\displaystyle 2}أو∞{\displaystyle \infty }أي أن جميع العلاقات هي علاقات تبادليةsت=تs{\displaystyle st=ts}. كما أن الأسماء الشائعة هي : المجموعة التبادلية الجزئية (الحرة) ، ومجموعة الرسم البياني ، ومجموعة الأثر ، والمجموعة شبه الحرة ، أو حتى المجموعة الحرة محليًا .
  • بالنسبة لهذه الفئة من مجموعات آرتين-تيتس، يُستخدم عادةً نظام تسمية مختلف. أي رسم بيانيΓ{\displaystyle \Gamma }علىن{\displaystyle n}الرؤوس الموسومة1،2،...،ن{\displaystyle 1,2,\ldots ,n}يُعرّف مصفوفةم{\displaystyle M}، والتي من أجلهامs،ت=2{\displaystyle m_{s,t}=2}إذا كانت الرؤوسs{\displaystyle s}وت{\displaystyle t}يتم ربطها بواسطة حافة فيΓ{\displaystyle \Gamma }، ومs،ت=∞{\displaystyle m_{s,t}=\infty }خلاف ذلك.
  • تشمل فئة زمر آرتين-تيتس القائمة الزاوية الزمر الحرة ذات الرتبة المحدودة، والتي تُقابل رسمًا بيانيًا بدون حواف، والزمر الأبيلية الحرة المولدة نهائيًا ، والتي تُقابل رسمًا بيانيًا كاملًا . يمكن إنشاء كل زمرة آرتين قائمة الزاوية من الرتبة r كامتداد HNN لزمرة آرتين قائمة الزاوية من الرتبة r.ر-1{\displaystyle r-1}مع اعتبار الضرب الحر والضرب المباشر حالتين متطرفتين. يُطلق على تعميم هذا البناء اسم الضرب البياني للمجموعات . تُعدّ مجموعة آرتين القائمة الزاوية حالة خاصة من هذا الضرب، حيث يكون كل رأس/معامل في الضرب البياني مجموعة حرة من الرتبة الأولى ( المجموعة الدورية اللانهائية ).
  • يمكن حل مسائل الكلمات والاقتران لمجموعة آرتين-تيتس ذات الزوايا القائمة، الأولى في زمن خطي، والمجموعة خالية من الالتواء، وهناك عدد محدود صريح من الخلاياك(π،1){\displaystyle K(\pi ,1)}(جون كريسب، إيدي جوديل، وبيرت ويست [ 9 ] ).
  • تؤثر كل زمرة آرتين-تيتس قائمة الزاوية بحرية وبشكل متراص على مُركب مكعب CAT(0) محدود الأبعاد ، وهو "مركب سالفيتي" الخاص بها. كتطبيق، يمكن استخدام زمر آرتين قائمة الزاوية ومركبات سالفيتي الخاصة بها لإنشاء زمر ذات خصائص محدودة معينة (ملادن بيستفينا ونويل برادي [ 10 ] )، انظر أيضًا (إيان ليري [ 11 ] ).

مجموعات أرتين-تيتس من النوع الكبير

  • يُقال إن مجموعة أرتين-تيتس (ومجموعة كوكسيتر) من النوع الكبير إذامs،ت⩾3{\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}لجميع المولداتs≠ت{\displaystyle s\neq t}ويُقال إنه من النوع الكبير جدًا إذامs،ت⩾4{\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}لجميع المولداتs≠ت{\displaystyle s\neq t}.
  • تُعدّ مجموعات آرتين-تيتس من النوع الكبير جدًا مؤهلة لنظرية الإلغاء الصغير. كتطبيق، فإن مجموعات آرتين-تيتس من النوع الكبير جدًا خالية من الالتواء ولها مسألة اقتران قابلة للحل ( كينيث أبيل وبول شوب [ 12 ] ).
  • مجموعات Artin–Tits من النوع الكبير جدًا هي ثنائية الآلية (David Peifer [ 13 ] ).
  • مجموعات Artin من النوع الكبير هي shortlex تلقائية مع الجيوديسيات المنتظمة (ديريك هولت وسارة ريس [ 14 ] ).

أنواع أخرى

تم تحديد ودراسة العديد من العائلات الأخرى لمجموعات طيور آرتين-تيتس. نذكر هنا اثنتين منها.

  • مجموعة آرتين-تيتس⟨S|R⟩{\displaystyle \langle S\mid R\rangle }يُقال إنها من النوع FC ("مجموعة الأعلام") إذا، لكل مجموعة جزئيةS′{\displaystyle S'}لS{\displaystyle S}بحيثمs،ت≠∞{\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }للجميعs،ت{\displaystyle s,t}فيS′{\displaystyle S'}المجموعة⟨S′|R∩S′2⟩{\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }هي من النوع الكروي. تعمل هذه المجموعات بشكل متراص على مُركّب مكعب CAT(0)، ونتيجةً لذلك، يُمكن إيجاد صيغة طبيعية نسبية لعناصرها واستنتاج حل للمسألة اللفظية (جو ألتوبيلي وتشارني [ 15 ] ). تُوفّر صيغة طبيعية بديلة عن طريق اختزال الكسور المتعددة، والذي يُعطي تعبيرًا فريدًا بواسطة كسر متعدد غير قابل للاختزال، يُوسّع التعبير مباشرةً بكسر غير قابل للاختزال في الحالة الكروية (ديهورنوي [ 16 ] ).
  • يُقال إن زمرة آرتين-تيتس من النوع الأفيني إذا كانت زمرة كوكسيتر المرتبطة بها أفينية . وهي تُقابل مخططات دينكين الموسعة للعائلات اللانهائية الأربع.أ~ن{\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}لن⩾1{\displaystyle n\geqslant 1}،ب~ن{\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}،ج~ن{\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}لن⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}، ود~ن{\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}لن⩾3{\displaystyle n\geqslant 3}ومن بين الأنواع الخمسة المتفرقةهـ~6{\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}،هـ~7{\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}،هـ~8{\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}،F~4{\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}، وجي~2{\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}تُعدّ زمر أرتين-تيتس الأفينية من النوع الإقليدي : إذ تعمل زمرة كوكسيتر المرتبطة بها هندسيًا على الفضاء الإقليدي. ونتيجةً لذلك، يكون مركزها تافهًا، وتكون مسألة الكلمات الخاصة بها قابلة للتقرير (جون ماكاموند وروبرت سولواي [ 17 ] ). في عام 2019، تم تقديم برهان علىك(π،1){\displaystyle K(\pi ,1)}تم الإعلان عن التخمين لجميع مجموعات Artin-Tits (ماريو سالفيتي وجيوفاني باوليني [ 18 ] ).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ آرتين، إميل (1947). " نظرية الضفائر". حوليات الرياضيات . 48 (1): 101-126 . doi : 10.2307/1969218 . JSTOR 1969218. S2CID 30514042 .  
  2. ^ الثدي ، جاك (1966) ، “Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus”، مجلة الجبر ، 4 : 96–116 ، دوى : 10.1016 / 0021-8693(66)90053-6 ، MR 0206117 
  3. ↑ كريسب، جون؛ باريس، لويس (2001)، "حل تخمين تيتس حول المجموعة الفرعية المولدة بواسطة مربعات مولدات مجموعة أرتين"، Inventiones Mathematicae ، 145 (1): 19-36 ، arXiv : math/0003133 ، Bibcode : 2001InMat.145...19C ، doi : 10.1007/s002220100138 ، MR 1839284 
  4. ^ باريس، لويس (2002)، “Artin monoids inject in theirgroups”، Commentarii Mathematici Helvetici ، 77 (3): 609–637 ، أرخايف : math/0102002 ، دوى : 10.1007/s00014-002-8353-z ، MR 1933791 
  5. ↑ داير، ماثيو؛ هولويغ، كريستوف (2016)، "الجذور الصغيرة، والعناصر الدنيا، والترتيب الضعيف في مجموعات كوكسيتر"، Advances in Mathematics ، 301 : 739-784 ، arXiv : 1505.02058 ، doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 ، MR 1839284 
  6. ^ Deligne، Pierre (1972)، “Les immeubles des groupes de tresses généralisés”، اختراعات الرياضيات ، 17 (4): 273–302 ، بيب كود : 1972InMat..17..273D ، دوى : 10.1007 / BF01406236 ، MR 0422673 
  7. ^ بريسكورن، اغبرت ؛ سايتو ، كيوجي (1972)، “Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen”، اختراعات الرياضيات ، 17 (4): 245–271 ، بيب كود : 1972InMat..17..245B ، دوى : 10.1007 / BF01406235 ، السيد 0323910 
  8. ↑ شارني، روث (1992)، "مجموعات آرتين من النوع المنتهي ثنائية التلقائية"، حوليات الرياضيات ، 292 (4): 671-683 ، doi : 10.1007/BF01444642 ، MR 1157320 
  9. ↑ كريسب، جون؛ جوديل، إيدي؛ ويست، بيرت (2009)، "مشكلة الاقتران في المجموعات الفرعية لمجموعات آرتين ذات الزوايا القائمة"، مجلة الطوبولوجيا ، 2 (3): 442-460 ، doi : 10.1112/jtopol/jtp018 ، MR 2546582 
  10. ↑ بيستفينا، ملادن ؛ برادي، نويل (1997)، "نظرية مورس وخصائص محدودية المجموعات"، Inventiones Mathematicae ، 129 (3): 445-470 ، Bibcode : 1997InMat.129..445B ، doi : 10.1007/s002220050168 ، MR 1465330 
  11. ↑ ليري، إيان (2018)، "عدد لا يُحصى من المجموعات من النوع FP"، وقائع الجمعية الرياضية في لندن ، 117 (2): 246-276 ، arXiv : 1512.06609 ، doi : 10.1112/plms.12135 ، MR 3851323 
  12. ↑ أبيل، كينيث آي.؛ شوب، بول إي. (1983)، "مجموعات آرتين ومجموعات كوكسيتر اللانهائية"، Inventiones Mathematicae ، 72 (2): 201-220 ، Bibcode : 1983InMat..72..201A ، doi : 10.1007/BF01389320 ، MR 0700768 
  13. ↑ بيفر، ديفيد (1996)، "مجموعات آرتين من النوع الكبير جدًا ثنائية التلقائية"، مجلة الجبر البحت والتطبيقي ، 110 (1): 15-56 ، doi : 10.1016/0022-4049(95)00094-1 ، MR 1390670 
  14. ↑ هولت، ديريك؛ ريس، سارة (2012). "مجموعات آرتين من النوع الكبير تلقائية ذات تسلسل قصير مع خطوط جيوديسية منتظمة". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 104 (3): 486-512 . arXiv : 1003.6007 . doi : 10.1112/plms/pdr035 . MR 2900234 . 
  15. ↑ ألتوبيلي، جو؛ تشارني، روث (2000)، "صيغة هندسية منطقية لمجموعات أرتين من النوع FC"، Geometriae Dedicata ، 79 (3): 277-289 ، doi : 10.1023/A:1005216814166 ، MR 1755729 
  16. ↑ ديهورنوي، باتريك (2017)، "الاختزال متعدد التجزئة 1: حالة 3-Ore ومجموعات أرتين-تيتس من النوع FC"، مجلة الجبر التوافقي ، 1 (2): 185-228 ، arXiv : 1606.08991 ، doi : 10.4171/JCA/1-2-3 ، MR 3634782 
  17. ↑ ماك كاموند، جون؛ سولواي، روبرت (2017)، "مجموعات آرتين من النوع الإقليدي"، Inventiones Mathematicae ، 210 (1): 231-282 ، arXiv : 1312.7770 ، Bibcode : 2017InMat.210..231M ، doi : 10.1007/s00222-017-0728-2 ، MR 3698343 
  18. ^ باوليني، جيوفاني. سالفيتي، ماريو (2019)، “إثباتك(π،1){\displaystyle K(\pi ,1)}التخمين لمجموعات أرتين المتقاربة"، اختراعات الرياضيات ، 224 (2): 487–572 ، أرخايف : 1907.11795 ، دوى : 10.1007/s00222-020-01016-y

للمزيد من القراءة