اقتران الدوران والاهتزاز

في الفيزياء ، يحدث اقتران الدوران والاهتزاز ^{[ 1 ]} عندما يكون تردد دوران النظام قريبًا من التردد الطبيعي للاهتزاز الداخلي أو مطابقًا له . يُظهر الرسم المتحرك على اليمين حركة مثالية، حيث تزداد القوة التي يبذلها الزنبرك والمسافة من مركز الدوران معًا بشكل خطي دون وجود احتكاك .

في اقتران الدوران والاهتزاز، تتذبذب السرعة الزاوية. وبسحب الكتلتين الدوارتين لتقاربهما، ينقل النابض طاقة الانفعال المخزنة فيه إلى الطاقة الحركية للكتلتين، مما يزيد من سرعتهما الزاوية. لا يستطيع النابض تقريب الكتلتين أكثر، لأن قوة سحبه تضعف كلما اقتربتا. عند نقطة معينة، تتغلب السرعة الزاوية المتزايدة للكتلتين على قوة سحب النابض، مما يؤدي إلى تباعدهما. هذا بدوره يزيد من إجهاد النابض، فيقوي قوة سحبه، مما يدفع الكتلتين إلى نقل طاقتهما الحركية إلى طاقة انفعال النابض، وبالتالي تقليل سرعتهما الزاوية. عند نقطة أخرى، تتغلب قوة سحب النابض على السرعة الزاوية للكتلتين، لتبدأ الدورة من جديد.

في تصميم المروحيات ، يجب أن تتضمن أجهزة تخميد ، لأنه عند سرعات زاوية محددة، يمكن أن تتعزز اهتزازات شفرات الدوار بفعل اقتران الدوران والاهتزاز، وتتراكم بشكل كارثي. وبدون التخميد، ستؤدي هذه الاهتزازات إلى انفصال شفرات الدوار.

يُقدّم الرسم المتحرك على اليمين رؤية أوضح لتذبذب السرعة الزاوية، وهو ما يُشابه إلى حد كبير التذبذب التوافقي .

عندما يكون التذبذب التوافقي في منتصفه، تكون طاقة النظام كلها طاقة حركية . وعندما يكون التذبذب التوافقي في أبعد نقطة عن المنتصف، تكون طاقة النظام كلها طاقة كامنة . تتأرجح طاقة النظام ذهابًا وإيابًا بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة.

في الرسوم المتحركة التي تُظهر كتلتين تدوران في دوائر، يحدث تذبذب ذهابًا وإيابًا بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة. عندما يكون الزنبرك في أقصى امتداد له، تكون الطاقة الكامنة في أعلى مستوياتها، وعندما تكون السرعة الزاوية في أعلى مستوياتها، تكون الطاقة الحركية في أعلى مستوياتها.

في حالة الزنبرك الحقيقي، يحدث احتكاك. ومع الزنبرك الحقيقي، يتم تخميد الاهتزاز، وفي النهاية، تدور الكتل حول بعضها البعض على مسافة ثابتة، مع ثبات شد الزنبرك.

تعتمد هذه المناقشة على التبسيطات التالية: يُفترض أن الزنبرك عديم الوزن، وأنه زنبرك مثالي؛ وتزداد قوة الاستعادة خطيًا مع تمدد الزنبرك. أي أن قوة الاستعادة تتناسب طرديًا مع المسافة من مركز الدوران. تُسمى قوة الاستعادة التي تتميز بهذه الخاصية بالقوة التوافقية .

تصف المعادلة البارامترية التالية للموقع كدالة للزمن حركة الكتل الدائرة:

$${\displaystyle x=a\cos(\omega t)}$$

1

$${\displaystyle y=b\sin(\omega t)}$$

2

أين

• ${\displaystyle a}$نصف القطر الرئيسي
• ${\displaystyle b}$نصف القطر الأصغر
• ${\displaystyle \omega }$360 درجة مقسومة على مدة دورة واحدة

يمكن أيضًا اعتبار الحركة كدالة للزمن بمثابة توليفة متجهة من حركتين دائريتين منتظمتين. ويمكن إعادة كتابة المعادلتين البارامتريتين (1) و(2) على النحو التالي:

$${\displaystyle x=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos(\omega t)+\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\cos(\omega t)}$$

$${\displaystyle y=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\sin(\omega t)-\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\sin(\omega t)}$$

يؤدي التحويل إلى نظام إحداثيات يطرح الحركة الدائرية الكلية إلى بقاء اللامركزية في المسار البيضاوي. يقع مركز اللامركزية على مسافة${\displaystyle (a+b)/2}$من المركز الرئيسي:

$${\displaystyle x=\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\cos(2\omega t)}$$

$${\displaystyle y=-\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\sin(2\omega t)}$$

هذا ما يُلاحظ فعلاً في الرسوم المتحركة الثانية، حيث تُسقط الحركة على نظام إحداثيات يدور بسرعة زاوية ثابتة . تبلغ السرعة الزاوية للحركة بالنسبة لنظام الإحداثيات الدوار 2ω، أي ضعف السرعة الزاوية للحركة الكلية. يبذل النابض شغلاً باستمرار. وبشكل أدق، يتأرجح النابض بين بذل شغل موجب (زيادة الطاقة الحركية للوزن) وبذل شغل سالب (تقليل الطاقة الحركية للوزن).

في القسم السابق بعنوان "تحويلات الطاقة"، تم تتبع الديناميكيات من خلال رصد تحويلات الطاقة . تتوافق زيادة السرعة الزاوية عند الانقباض مع مبدأ حفظ الزخم الزاوي . وبما أنه لا يوجد عزم دوران يؤثر على الأثقال الدوارة، فإن الزخم الزاوي محفوظ. مع ذلك، يتجاهل هذا الآلية السببية، وهي قوة الزنبرك الممتد، والشغل المبذول أثناء انقباضه وتمدده. وبالمثل، عند إطلاق مدفع، ينطلق المقذوف من فوهته باتجاه الهدف، وترتد الفوهة، وفقًا لمبدأ حفظ الزخم . هذا لا يعني أن المقذوف يغادر الفوهة بسرعة عالية لمجرد ارتدادها. فبينما يجب أن يحدث ارتداد الفوهة، كما ينص عليه قانون نيوتن الثالث ، إلا أنه ليس عاملًا سببيًا.

تكمن الآلية السببية في تحولات الطاقة: إذ يحوّل انفجار البارود الطاقة الكيميائية الكامنة إلى طاقة كامنة لغاز مضغوط للغاية. ومع تمدد الغاز، يُسلط ضغطه العالي قوةً على كلٍّ من المقذوف وجدار الماسورة. ومن خلال تأثير هذه القوة، تتحول الطاقة الكامنة إلى طاقة حركية لكلٍّ من المقذوف والماسورة.

في حالة اقتران الدوران والاهتزاز، يكون العامل المسبب هو القوة التي يبذلها النابض. يتأرجح النابض بين بذل شغل وبذل شغل سالب. (يُعتبر الشغل سالباً عندما يكون اتجاه القوة معاكساً لاتجاه الحركة).

• التحليل الطيفي الدوراني الاهتزازي