تخمين ساتو-تيت

في الرياضيات ، تُعدّ حدسية ساتو-تيت عبارة إحصائية حول عائلة المنحنيات الإهليلجية E _p التي تم الحصول عليها من منحنى إهليلجي E على الأعداد النسبية عن طريق الاختزال modulo جميع الأعداد الأولية تقريبًا p . وقد طرح ميكيو ساتو وجون تيت هذه الحدسية بشكل مستقل حوالي عام 1960.

إذا كان N _{_p} يمثل عدد النقاط على المنحنى الإهليلجي E_{_p} المعرف على الحقل المنتهي ذي p عنصرًا، فإن التخمين يعطي إجابة لتوزيع الحد من الرتبة الثانية لـ N _{_p} . وبحسب نظرية هاس للمنحنيات الإهليلجية ،

${\displaystyle N_{p}/p=1+\mathrm {O} (1/\!{\sqrt {p}})\ }$

مثل${\displaystyle p\to \infty }$والهدف من هذه الفرضية هو التنبؤ بكيفية تغير الحد O.

تم إثبات الفرضية الأصلية وتعميمها على جميع الحقول الحقيقية تمامًا بواسطة لوران كلوزيل ومايكل هاريس ونيكولاس شيبرد بارون وريتشارد تايلور في ظل افتراضات معتدلة في عام 2008، وأكملها توماس بارنيت لامب وديفيد جيراغتي وهاريس وتايلور في عام 2011. ولا تزال هناك العديد من التعميمات المفتوحة على أنواع وحقول جبرية أخرى.

ليكن E منحنى إهليلجيًا معرفًا على الأعداد النسبية دون ضرب _{الأعداد} المركبة . بالنسبة لعدد أولي p ، عرّف θp على أنه حل المعادلة

${\displaystyle p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos \theta _{p}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi ).}$

ثم، لكل عددين حقيقيين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$والتي${\displaystyle 0\leq \alpha <\beta \leq \pi ,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {1}{\pi }}\left(\beta -\alpha +\sin(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\beta )\cos(\beta )\right)}$

بحسب نظرية هاس حول المنحنيات الإهليلجية ، فإن النسبة

${\displaystyle {\frac {(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}={\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}}$

تقع قيمتها بين -1 و1. لذا يمكن التعبير عنها بـ cos θ للزاوية θ ؛ هندسيًا، توجد قيمتان ذاتيتان تُفسران الباقي، ومع المقام المعطى، فهما مترافقتان مركبتان وقيمتهما المطلقة تساوي 1. تنص فرضية ساتو-تيت ، عندما لا يكون للعدد E عملية ضرب مركبة، ^{[ 1 ]} على أن مقياس احتمالية θ يتناسب مع  

${\displaystyle \sin ^{2}\theta \,d\theta .}$^{[ 2 ]}

ويعود الفضل في ذلك إلى ميكيو ساتو وجون تيت (بشكل مستقل، وحوالي عام 1960، ونُشر لاحقًا). ^{[ 3 ]}

في عام 2008، نشر كلوزيل وهاريس وشيبارد-بارون وتايلور برهانًا لتخمين ساتو-تيت للمنحنيات الإهليلجية على الحقول الحقيقية تمامًا التي تحقق شرطًا معينًا: وهو وجود اختزال ضربي عند عدد أولي ما، ^{[ 4 ]} في سلسلة من ثلاث أوراق بحثية مشتركة. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

تعتمد النتائج الإضافية على تحسين صيغة أثر آرثر-سيلبرغ . لدى هاريس برهان مشروط لنتيجة تتعلق بحاصل ضرب منحنيين إهليلجيين (غير متماثلين ) ناتجة عن صيغة أثر افتراضية كهذه. ^{[ 8 ]} في عام 2011، أثبت بارنيت-لامب، وجيراغتي، وهاريس، وتايلور نسخة معممة من حدسية ساتو-تيت لأي شكل نمطي هولومورفي غير CM ذي وزن أكبر من أو يساوي اثنين، ^{[ 9 ]} وذلك بتحسين نتائج النمطية المحتملة في الأبحاث السابقة. ^{[ 10 ]} وقد حُلت المشكلات السابقة المتعلقة بصيغة الأثر بواسطة مايكل هاريس ، ^{[ 11 ]} وسوغ وو شين . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

في عام 2015، مُنح ريتشارد تايلور جائزة الاختراق في الرياضيات "لنتائجه الرائدة العديدة في (...) حدسية ساتو-تيت". ^{[ 14 ]}

توجد تعميمات تتضمن توزيع عناصر فروبينيوس في زمر غالوا المتضمنة في تمثيلات غالوا على علم التماثل الإيتالي . وعلى وجه الخصوص، توجد نظرية تخمينية للمنحنيات من الرتبة n > 1.   

في إطار نموذج المصفوفة العشوائية الذي طوره نيك كاتز وبيتر سارناك ، ^{[ 15 ]} توجد علاقة افتراضية بين كثيرات الحدود المميزة (الموحدة) لعناصر فروبينيوس وفئات الترافق في زمرة لي المدمجة USp(2n ) =  Sp ( n ) . وبالتالي، فإن مقياس هار على USp(2n ) يعطي التوزيع الافتراضي، والحالة الكلاسيكية هي USp(2) = SU(2) .   

توجد أيضًا عبارات أكثر دقة. تنص حدسية لانغ-تروتر (1976) لسيرج لانغ وهيل تروتر على العدد التقاربي للأعداد الأولية p التي لها قيمة معينة لـ a_{_p} ، ^{[ 16 ]} وهو أثر فروبينيوس الذي يظهر في الصيغة. في الحالة النموذجية (عدم وجود ضرب مركب ، الأثر ≠ 0)، تنص صيغتهما على أن عدد p حتى X يكون تقاربيًا

${\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }$

مع ثابت محدد c . قدم نيل كوبليتز (1988) تخمينات مفصلة لحالة عدد أولي q من النقاط على E _p ، مستوحى من تشفير المنحنيات الإهليلجية . ^{[ 17 ]} في عام 1999، أثبتت شانتال ديفيد وفرانشيسكو بابالاردي نسخة متوسطة من تخمين لانغ-تروتر. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

• توزيع ويغنر شبه الدائري

• تقرير عن باري مازور يوضح السياق. مؤرشف بتاريخ 5 أكتوبر 2008 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• يشير مايكل هاريس، مع بيان (ملف PDF)
• La Conjecture de Sato–Tate [ d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor ] ، ندوة بورباكي يونيو 2007 بقلم هنري كارايول (PDF)
• فيديو يقدم المنحنيات الإهليلجية وعلاقتها بتخمين ساتو-تيت، إمبريال كوليدج لندن، 2014 (آخر 15 دقيقة)