التماثل الداخلي لفروبينيوس

في الجبر التبادلي ونظرية الحقول ، يُعدّ تشاكل فروبينيوس (نسبةً إلى فرديناند جورج فروبينيوس ) تشاكلاً خاصاً للحلقات التبادلية ذات الخاصية الأولية $p ،$ وهي فئة مهمة تشمل الحقول المنتهية . ^[¹^]^[²^] يُحوّل هذا التشاكل كل عنصر إلى قوته $p$ . في بعض السياقات، يكون تشاكلاً ذاتياً ، لكن هذا لا ينطبق على العموم. ^[³^]^[⁴^]

تعريف

ليكن $R$ حلقة تبديلية ذات خاصية أولية $p$ ( على سبيل المثال، المجال التكاملي ذو الخاصية الموجبة له دائمًا خاصية أولية). يُعرَّف التشكل الداخلي $F من نوع فروبينيوس كما يلي:$

F(r)=r^{p}

لكل $r$ في $R.$ وهو يحترم عملية الضرب في $R$ :

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

و $F (1)$ تساوي $1$ أيضًا. علاوة على ذلك، فهي تحترم أيضًا جمع $R.$ يمكن توسيع التعبير $(r + s) p$ باستخدام نظرية ذات الحدين . ولأن $p$ عدد أولي، فإنه يقسم $p!$ ولكنه لا يقسم أي $q!$ عندما يكون $q < p$ ؛ وبالتالي سيقسم بسط الصيغة الصريحة لمعاملات ذات الحدين ، وليس مقامها .

{\frac {p!}{k!(pk)!}},

إذا كان $1 \leq k \leq p - 1$ ، فإن معاملات جميع الحدود باستثناء $r p$ و $s p$ تقبل القسمة على $p$ ، وبالتالي فهي تساوي صفرًا. ^{[ 5 ]} وهكذا

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

هذا يدل على أن F هو تشاكل حلقي .

إذا كان $φ : R \to S$ تشاكلاً بين حلقتين لهما خاصية $p$ ، فإن

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

إذا كان $F R$ و $F S$ هما تحويلات فروبينيوس الداخلية لـ $R$ و $S$ ، فيمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي:

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .

وهذا يعني أن تحويل فروبينيوس الداخلي هو تحويل طبيعي من دالة الهوية على فئة حلقات $p$ المميزة إلى نفسها.

إذا كانت الحلقة $R$ حلقةً خاليةً من العناصر العديمة القوة ، فإنّ تشاكل فروبينيوس يكون أحاديًا : $F (r) = 0$ يعني $rp = 0$ ، وهو ما يعني، بحسب التعريف، أنّ $r$ $عنصرٌ عديمي القوة من الرتبة$ $p$ على الأكثر . في الواقع، هذا شرطٌ ضروري وكافٍ، لأنّه إذا كان $r$ أي عنصر عديمي القوة، فإنّ إحدى قواه ستكون عنصرًا عديمي القوة من الرتبة $p$ على الأكثر . وبالتحديد، إذا كانت $R$ حقلًا، فإنّ تشاكل فروبينيوس يكون أحاديًا.

لا يكون تشاكل فروبينيوس شاملاً بالضرورة ، حتى عندما يكون $R$ حقلاً. على سبيل المثال، ليكن $K = F p (t)$ الحقل المنتهي لـ $p$ عنصر بالإضافة إلى عنصر متسامٍ واحد ؛ أو بعبارة أخرى، $K$ هو حقل الدوال الكسرية ذات المعاملات في $F p$ . عندئذٍ، لا تحتوي صورة $F على$ $t$ . لو احتوت عليه، لكانت هناك دالة كسرية $q (t)/ r (t)$ يكون أسها $p$ هو $q (t) p / r (t) p،$ وهو يساوي $t$ . لكن درجة هذا الأس $p$ (الفرق بين درجتي بسطه ومقامه) هي $p deg(q) - p$ deg $($ $r$ $)$ ، وهي من مضاعفات $p$ . وبالتحديد، لا يمكن أن تكون $1$ ، وهي درجة $t$ . هذا تناقض؛ لذا فإن $t$ ليس في صورة $F.$

يُطلق على الحقل $K اسم الحقل$ الكامل إذا كان إما ذا خاصية صفرية أو ذا خاصية موجبة وكان تشاكل فروبينيوس الخاص به تشاكلاً ذاتياً. على سبيل المثال، جميع الحقول المنتهية هي حقول كاملة.

النقاط الثابتة لتشاكل فروبينيوس الداخلي

لنفترض الحقل المنتهي $F p$ . وفقًا لنظرية فيرما الصغرى ، فإن كل عنصر $x$ من $F p$ يحقق المعادلة $x p = x$ p . وبصورة مكافئة، هو جذر لكثير الحدود $X p - X$ p. وبالتالي، تحدد عناصر $F p$ $ عدد p$ من جذور هذه المعادلة، ولأن درجة هذه المعادلة هي $p،$ فإن لها عددًا لا يتجاوز $p$ من الجذور على أي امتداد . وعلى وجه الخصوص، إذا كان $K$ امتدادًا جبريًا لـ $F p$ (مثل الإغلاق الجبري أو حقل منتهٍ آخر)، فإن $F p$ هو الحقل الثابت لتشاكل فروبينيوس لـ $K.$

ليكن $R$ حلقةً مميزةً بـ $p > 0.$ إذا كانت $R$ مجالًا تكامليًا، فبنفس المنطق، تكون النقاط الثابتة لفروبينيوس هي عناصر الحقل الأولي. أما إذا لم تكن $R$ مجالًا تكامليًا، فقد يكون $لـ Xp$ $- X أكثر$ $من p جذر؛$ $على$ سبيل المثال، يحدث هذا إذا كانت $R = Fp \times Fp .$

تتمتع الحقول المحدودة بخاصية مماثلة $\mathbf {F} _{p^{n}}$ بواسطة التكرار $النوني$ لتشاكل فروبينيوس الذاتي: كل عنصر من $\mathbf {F} _{p^{n}}$ هو جذر $X^{p^{n}}-X$ لذا إذا كان $K$ امتدادًا جبريًا لـ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ وإذا كان $F$ هو التشاكل الذاتي لفروبينيوس لـ $K$ ، فإن الحقل الثابت لـ $F n$ هو $\mathbf {F} _{p^{n}}$ إذا كان $R$ مجالًا، فهذا يعني $\mathbf {F} _{p^{n}}$ في الجبر، تكون النقاط الثابتة للتكرار $النوني$ لفروبينيوس هي عناصر صورة $\mathbf {F} _{p^{n}}$ .

يؤدي تكرار خريطة فروبينيوس إلى الحصول على سلسلة من العناصر في $R$ :

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

تُستخدم هذه السلسلة من التكرارات في تعريف إغلاق فروبينيوس والإغلاق المحكم للمثالي.

باعتباره مولدًا لمجموعات غالوا

تتولد زمرة غالوا لامتداد الحقول المنتهية بواسطة تكرار لتشاكل فروبينيوس. لننظر أولًا في الحالة التي يكون فيها الحقل الأساسي هو الحقل الأولي $F p$ . ليكن $F q$ الحقل المنتهي المكون من $q$ عنصرًا، حيث $q = p n$ . يُثبّت تشاكل فروبينيوس $F$ $q $ الحقل الأولي $F p$ ، لذا فهو عنصر من زمرة غالوا $Gal(F q / F p)$ . في الواقع، بما أن $\mathbf {F} _{q}^{\times }$ إذا كانت المجموعة دورية وتحتوي على $q - 1$ عنصرًا ، فإننا نعلم أن زمرة غالوا دورية وأن $F$ مولدة. رتبة $F$ هي $n$ لأن $F j$ تؤثر على العنصر $x$ عن طريق إرساله إلى $x p j$ ، و $x^{p^{j}}=x$ لا يمكن أن يكون $p^{j}$ لدينا العديد من الجذور، لأننا في حقل. كل تشاكل ذاتي لـ $F q$ هو قوة لـ $F$ ، والمولدات هي القوى $F i$ حيث $i$ أولي فيما بينه و $n$ .

لنعتبر الآن الحقل المنتهي $F q f$ امتدادًا لـ $F q$ ، حيث $q = p n$ كما سبق. إذا كان $n > 1$ ، فإن التشاكل الذاتي $F$ F لفروبينيوس لـ $F q f$ لا يُثبّت الحقل الأساسي $F q$ ، ولكن تكراره النوني $F$ $$ $n$ يُثبّته. زمرة غالوا $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $q$ $)$ دورية من الرتبة $f$ ومولدة بواسطة $F$ $n$ . وهي الزمرة الجزئية من $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $p$ $ )$ المولدة بواسطة $F$ $n$ . مولدات $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $q$ $)$ هي القوى $F$ $ni$ حيث $i$ عدد أولي نسبيًا مع $f$ .

لا يُعدّ التشاكل الذاتي لفروبينيوس مولدًا لمجموعة غالوا المطلقة

\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

لأن مجموعة غالوا هذه متماثلة مع مجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية.

{\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,

وهي ليست دورية. مع ذلك، ولأنّ التشاكل الذاتي لفروبينيوس هو مولد لمجموعة غالوا لكل امتداد منتهٍ لـ $F q$ ، فهو مولد لكل خارج قسمة منتهٍ لمجموعة غالوا المطلقة. بالتالي، فهو مولد طوبولوجي في طوبولوجيا كرول المعتادة على مجموعة غالوا المطلقة.

فروبينيوس للمخططات

توجد عدة طرق لتعريف تشاكل فروبينيوس لمخطط ما . وأكثرها جوهرية هو تشاكل فروبينيوس المطلق. مع ذلك، يتصرف تشاكل فروبينيوس المطلق بشكل غير مناسب في الحالة النسبية لأنه لا يأخذ المخطط الأساسي في الاعتبار. توجد عدة طرق لتكييف تشاكل فروبينيوس مع الحالة النسبية، وكل منها مفيد في حالات معينة.

التشكل المطلق لفروبينيوس

لنفترض أن $X$ مخطط ذو خاصية $p > 0.$ اختر مجموعة فرعية أفينية مفتوحة $U = Spec A$ من $X.$ الحلقة $A$ هي $جبر$ $Fp$ ، لذا فهي تقبل تشاكل فروبينيوس. إذا كانت $V$ مجموعة فرعية أفينية مفتوحة من $U$ ، فبسبب خاصية فروبينيوس الطبيعية، فإن تشاكل فروبينيوس على $U$ ، عند تقييده على $V$ ، هو تشاكل فروبينيوس على $V.$ بالتالي، يلتصق تشاكل فروبينيوس ليعطي تشاكلًا داخليًا لـ $X.$ يُسمى هذا التشاكل الداخلي تشاكل فروبينيوس المطلق لـ $X$ ، ويُرمز له $بـ FX$ $.$ بحسب التعريف، هو تشاكل طوبولوجي لـ $X$ مع نفسه. تشاكل فروبينيوس المطلق هو تحويل طبيعي من دالة التطابق على فئة $مخططات$ $Fp$ إلى نفسه.

إذا كان $X مخططًا من النوع$ $S$ وكان تشاكل فروبينيوس لـ $S$ هو المحايد، فإن تشاكل فروبينيوس المطلق هو تشاكل بين مخططات $S.$ ولكن بشكل عام، ليس كذلك. على سبيل المثال، لنأخذ الحلقة $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ ليكن كل من $X$ و $S$ مساويين $لـ Spec A،$ حيث تكون خريطة البنية $X \to S$ هي خريطة الهوية. يرسل تشاكل فروبينيوس على $A$ $قيمة a$ إلى $قيمة p$ . وهو ليس تشاكلًا لـ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ الجبر. إذا كان الأمر كذلك، فإن الضرب في عنصر $b$ في $\mathbf {F} _{p^{2}}$ سيكون هذا التبادل متوافقًا مع تطبيق تحويل فروبينيوس الداخلي. لكن هذا غير صحيح للأسباب التالية:

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

الأول هو فعل $b$ في $\mathbf {F} _{p^{2}}$ البنية الجبرية التي تبدأ بها $A$ ، والأخيرة هي فعل $\mathbf {F} _{p^{2}}$ مستحثة بواسطة فروبينيوس. وبالتالي، فإن تشاكل فروبينيوس على $Spec A$ ليس تشاكلًا لـ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ المخططات.

التشاكل المطلق لفروبينيوس هو تشاكل غير قابل للفصل تمامًا من الدرجة p $.$ تفاضله يساوي صفرًا. وهو يحافظ على الضرب، مما يعني أنه لأي مخططين $X$ و $Y$ ، فإن $F X \times Y = F X \times F Y.$

تقييد وتمديد الكميات القياسية عند فروبينيوس

لنفترض أن $φ : X \to S$ هو تشاكل بنيوي لمخطط $S$ - $X$ . يمتلك المخطط الأساسي $S$ تشاكل فروبينيوس $F S.$ ينتج عن تركيب $φ$ مع $F S$ $مخطط S$ - X _F يُسمى تقييد الكميات القياسية بواسطة فروبينيوس . في الواقع ، يُعد تقييد الكميات القياسية دالةً، لأن تشاكل $S -$ $X \to Y$ يُولّد تشاكل $S -$ $X F \to Y F.$

على سبيل المثال، لنفترض وجود حلقة $A$ ذات خاصية $p > 0$ وجبر معروض بشكل محدود على $A$ :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

يُعطى تأثير $A$ على $R بالصيغة التالية:$

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

حيث α هو مؤشر متعدد. ليكن $X = Spec R.$ إذن $X F$ هو المخطط الأفيني $Spec R$ ، لكن تشاكل بنيته $Spec R \to Spec A$ ، وبالتالي تأثير $A$ على $R$ ، مختلف:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

بما أن تقييد الكميات القياسية بواسطة فروبينيوس هو ببساطة تركيب، فإن العديد من خصائص $X$ تُورَث إلى $X F$ في ظل فرضيات مناسبة على تشاكل فروبينيوس. على سبيل المثال، إذا كان كل من $X$ و S _F من النوع المحدود، فإن $X F$ كذلك .

يُعرَّف امتداد الكميات القياسية بواسطة فروبينيوس على النحو التالي :

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

يُحوّل الإسقاط على العامل $S المخطط$ $X (p)$ إلى مخطط $S.$ إذا لم يكن $S$ واضحًا من السياق، يُرمز إلى $X (p)$ $بالرمز X (p / S)$ . وكما هو الحال في تقييد الكميات القياسية، فإن تمديد الكميات القياسية هو دالة: يُحدد التشكل $S-$ المورفيزم $X \to Y$ $التشكل S-$ المورفيزم $X (p) \to Y (p)$ .

كما في السابق، لنفترض حلقة $A$ وجبرًا معروضًا بشكل منتهٍ $R$ فوق $A$ ، ولنضع $X = Spec R$ مرة أخرى . إذن:

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

يكون المقطع العالمي لـ $X (p)$ على الشكل التالي:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

حيث $α$ هو فهرس متعدد، وكل $a iα$ و $b i$ عنصر من A. تأثير العنصر c من A على هذا القسم هو:

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

وبالتالي فإن $X (p)$ متماثل مع:

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

أين، إذا:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

ثم:

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

وينطبق وصف مماثل على الجبر العشوائي $A$ $R.$

لأن تمديد الأعداد القياسية هو تغيير في الأساس، فإنه يحافظ على النهايات والضرب المشترك. وهذا يعني تحديدًا أنه إذا كان لـ $X$ بنية جبرية معرفة بدلالة النهايات المحدودة (مثل كونها مخطط زمرة )، فإن $X (p)$ تمتلك بنية جبرية معرفة بدلالة النهايات المحدودة أيضًا. علاوة على ذلك، فإن كون تمديد الأعداد القياسية تغييرًا في الأساس يعني أنه يحافظ على خصائص مثل كونها من النوع المحدود، والعرض المحدود، والفصل، والتحويل الخطي، وما إلى ذلك.

يكون امتداد الكميات القياسية حسن السلوك فيما يتعلق بتغيير الأساس: بالنظر إلى تشاكل $S' \to S$ ، يوجد تماثل طبيعي:

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

قريب فروبينيوس

ليكن $X$ مخططًا من $النوع S$ مع تشاكل بنيوي $φ$ . التشاكل النسبي لفروبينيوس لـ $X$ هو التشاكل التالي:

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

محددة بالخاصية العامة للسحب الخلفي $X (p)$ (انظر الرسم البياني أعلاه):

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

لأن التشكل المطلق لفروبينيوس طبيعي، فإن التشكل النسبي لفروبينيوس هو تشكل لمخططات $S.$

لنأخذ على سبيل المثال الجبر $A$ :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

لدينا:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

التشاكل النسبي لفروبينيوس هو التشاكل $R (p) \to R$ المعرف على النحو التالي:

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

يتوافق مفهوم فروبينيوس النسبي مع تغيير الأساس بمعنى أنه في ظل التشاكل الطبيعي لـ $X (p / S) \times S S'$ و $(X \times S S') (p / S')$ ، لدينا:

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

التحويل النسبي لفروبينيوس هو تحويل تماثلي شامل. إذا كان $X \to S$ تحويلاً مفتوحاً، فهو التحويل المحايد. إذا كان $X \to S$ تحويلاً مغلقاً محدداً بحزمة مثالية I من $O S$ ، فإن $X (p)$ محدد بالحزمة المثالية $I p،$ ويكون التحويل النسبي لفروبينيوس هو التحويل المعزز $O S / I p \to O S / I.$

$تكون X$ غير متفرعة على $S$ إذا وفقط إذا كانت $F X / S$ غير متفرعة، وإذا وفقط إذا $كانت F X / S$ أحادية الشكل. $وتكون X$ إيتالية على $S$ إذا وفقط إذا $كانت F X / S$ إيتالية، وإذا وفقط إذا $كانت F X / S$ متماثلة.

حساب فروبينيوس

إن التشكل الحسابي لفروبينيوس لمخطط $S$ - $X$ هو تشكل:

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

مُعرَّف بواسطة:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

أي أن هذا هو التغيير الأساسي لـ $F S$ بمقدار $1 X.$

مرة أخرى، إذا:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

إذن فإنّ دالة فروبينيوس الحسابية هي التشاكل:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

إذا أعدنا كتابة $R (p)$ على النحو التالي:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

إذن، هذا التشاكل هو:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

فروبينيوس الهندسي

افترض أن تشاكل فروبينيوس المطلق لـ $S$ قابل للعكس مع معكوس $F_{S}^{-1}$ . يترك $S_{F^{-1}}$ يرمز إلى مخطط $S$ $F_{S}^{-1}:S\to S$ ثم يوجد امتداد للكميات القياسية لـ $X$ بواسطة $F_{S}^{-1}$ :

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

لو:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

ثم توسيع الكميات القياسية بواسطة $F_{S}^{-1}$ أعطِ:

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

لو:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

ثم نكتب:

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

ثم هناك تماثل:

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

إن التشكل الهندسي لفروبينيوس لمخطط $S$ - $X$ هو تشكل:

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

مُعرَّف بواسطة:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

وهو التغيير الأساسي لـ $F_{S}^{-1}$ بمقدار $1X$ . $$

استكمالاً لمثالنا السابق عن $A$ و $R$ ، يُعرَّف معادلة فروبينيوس الهندسية على النحو التالي:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

بعد إعادة كتابة $R (1/ p)$ بدلالة $\{f_{j}^{(1/p)}\}$ ، معادلة فروبينيوس الهندسية هي:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

أفعال فروبينيوس الحسابية والهندسية كأفعال غالوا

لنفترض أن تشاكل فروبينيوس لـ $S$ هو تشاكل. عندئذٍ، يُولّد زمرة جزئية من زمرة التشاكل الذاتي لـ $S.$ إذا كان $S = Spec k$ هو طيف حقل منتهٍ، فإن زمرة التشاكل الذاتي له هي زمرة غالوا للحقل فوق الحقل الأولي، ويكون كل من تشاكل فروبينيوس ومعكوسه مولدين لزمرة التشاكل الذاتي. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تعريف $X (p)$ و $X (1/ p)$ $مع X.$ وبالتالي، فإن تشاكل فروبينيوس الحسابي والهندسي هما تشاكلان داخليان لـ $X$ ، ومن ثمّ يؤديان إلى تأثير زمرة غالوا لـ $k$ على $X.$

لنفترض مجموعة النقاط $X$ $($ $K$ $)$ $المكونة$ $من K$ نقطة . تأتي هذه المجموعة مصحوبةً بفعل غالوا: كل نقطة $x$ من هذه النقاط تُقابل تشاكلًا $OX$ $\to$ $K$ من حزمة البنية إلى $K$ ، والذي يتحلل عبر $k$ $($ $x$ $)$ ، حقل البقايا عند $x$ ، ويكون فعل فروبينيوس على $x$ هو تطبيق تشاكل فروبينيوس على حقل البقايا. يتوافق فعل غالوا هذا مع فعل فروبينيوس الحسابي: التشاكل المركب

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

هو نفسه التشكل المركب:

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

بحسب تعريف فروبينيوس الحسابي. وبالتالي، يُظهر فروبينيوس الحسابي صراحةً تأثير زمرة غالوا على النقاط كتشاكل داخلي لـ $X.$

فروبينيوس للحقول المحلية

بالنظر إلى امتداد محدود غير متفرع $L$ $/$ $K$ للحقول المحلية ، يوجد مفهوم لتشاكل فروبينيوس الداخلي الذي يحفز تشاكل فروبينيوس الداخلي في الامتداد المقابل لحقول البقايا . ^[⁶^]

لنفترض أن $L / K$ امتداد غير متفرع للحقول المحلية، مع حلقة الأعداد الصحيحة O _K من $K$ بحيث يكون حقل الباقي، أي أعداد $K$ بتردد مثاليها الأعظمي الوحيد $φ$ ، حقلاً منتهياً من الرتبة $q$ ، حيث $q$ قوة لعدد أولي. إذا كان $Φ$ عدداً أولياً من $L$ يقع فوق $φ$ ، فإن كون $L / K$ غير متفرع يعني، بحسب التعريف، أن أعداد $L$ بتردد $Φ$ ، أي حقل الباقي من $L$ ، سيكون حقلاً منتهياً من الرتبة $q f$ يمتد من حقل الباقي من $K،$ حيث $f$ درجة $L / K$ . يمكننا تعريف تطبيق فروبينيوس لعناصر حلقة الأعداد الصحيحة $O L$ من $L$ على أنه تشاكل ذاتي $s Φ$ من $L$ بحيث

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }}.

فروبينيوس للحقول العالمية

في نظرية الأعداد الجبرية ، تُعرَّف عناصر فروبينيوس لامتدادات $L / K$ للحقول العامة التي تُمثل امتدادات غالوا منتهية للمثاليّات الأولية $Φ$ في $L$ غير المتفرعة في $L / K$ . ولأن الامتداد غير متفرع، فإن زمرة التفكيك لـ $Φ$ هي زمرة غالوا لامتداد حقول البقايا. ويمكن تعريف عنصر فروبينيوس لعناصر حلقة الأعداد الصحيحة في $L$ كما في الحالة المحلية، وذلك بـ

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }},

حيث $q$ هي رتبة حقل البقايا $O K /(Φ \cap O K)$ .

تتطابق مشتقات فروبينيوس مع مشتقات p .

أمثلة

متعددة الحدود

x 5 - x - 1

لديه تمييز

19 \times 151

،

وبالتالي، فإنّ ρ غير متفرع عند العدد الأولي 3؛ وهو أيضًا غير قابل للاختزال بتردد 3. ومن ثم، فإنّ إلحاق جذر $ρ$ $منه$ $بحقل$ $الأعداد$ الثلاثية Q³ $يُعطي$ $امتدادًا$ غير متفرع $Q³ (ρ)$ لـ $Q³$ . يمكننا إيجاد صورة $ρ$ تحت خريطة فروبينيوس بتحديد الجذر الأقرب إلى $ρ³ ،$ وهو ما يمكننا فعله باستخدام طريقة نيوتن . نحصل بهذه الطريقة على عنصر من حلقة الأعداد الصحيحة $Z³ [ρ]$ ؛ وهو متعدد حدود من الدرجة الرابعة في $ρ$ بمعاملات في الأعداد الثلاثية $Z³$ $.$ $بتردد$ 3 $،$ $يكون$ $هذا$ متعدد الحدود

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

.

هذا جبري على $Q$ وهو الصورة الصحيحة لفروبينيوس الشاملة بدلالة تضمين $Q$ في $Q³ ؛ علاوة على ذلك، فإن المعاملات جبرية ويمكن التعبير عن النتيجة جبريًا. مع ذلك، فهي من الدرجة 120، وهي$ رتبة زمرة غالوا، مما يوضح أن الحسابات الصريحة أسهل بكثير إذا كانت نتائج $p$ -adic كافية.

إذا كان $L / K$ امتدادًا تبديليًا للحقول العامة، فسنحصل على تطابق أقوى بكثير لأنه يعتمد فقط على العدد الأولي $φ$ في الحقل الأساسي $K.$ على سبيل المثال، لننظر إلى الامتداد $Q (β)$ لـ $Q$ الناتج عن ضم جذر $β$ يحقق

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

إلى $Q.$ هذا الامتداد دوري من الدرجة الخامسة، وله جذور

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

بالنسبة لعدد صحيح $n$ . لها جذور هي كثيرات حدود تشيبيشيف لـ $β$ :

β 2 - 2, β 3 - 3 β, β 5 - 5 β 3 + 5 β

أوجد نتيجة تطبيق دالة فروبينيوس للأعداد الأولية $2$ و $3$ و $5$ ، وهكذا للأعداد الأولية الأكبر التي لا تساوي $11$ $أو$ التي تأخذ الشكل $22n + 1$ (والتي تنقسم). يتضح فورًا كيف أن دالة فروبينيوس تعطي نتيجة تساوي modulo $p$ مرفوعة للقوة $p$ للجذر $β$ .

انظر أيضاً

مراجع

↑ الجبر اللغوي . ص 180، 246.
↑ هارتشوني. الهندسة الجبرية . ص 21.
^ ارتين. الجبر الطبعة الثانية . ص 3.8 ص 355، م5 ص 511.
↑ ويل (1995). نظرية الأعداد الأساسية . ص. النتيجة 2: ص. 18، التعريف 5: ص. 20.
↑ يُعرف هذا بحلم الطالب الجديد .
↑ فروليش، أ .؛ تايلور، م. ج. (1991). نظرية الأعداد الجبرية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد 27. مطبعة جامعة كامبريدج . ص 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .

"التشكل الذاتي لفروبينيوس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
"التشكل الداخلي لفروبينيوس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]

[1] الجبر اللغوي . ص 180، 246.

[2] هارتشوني. الهندسة الجبرية . ص 21.

[3] ارتين. الجبر الطبعة الثانية . ص 3.8 ص 355، م5 ص 511.

[4] ويل (1995). نظرية الأعداد الأساسية . ص. النتيجة 2: ص. 18، التعريف 5: ص. 20.

[5] يُعرف هذا بحلم الطالب الجديد .

[FT144-6] فروليش، أ .؛ تايلور، م. ج. (1991). نظرية الأعداد الجبرية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد 27. مطبعة جامعة كامبريدج . ص 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .

[

[

[

[

[ 5 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗