خريطة متكافئة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 5 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ التباين المتكافئ شكلاً من أشكال التناظر للدوال من فضاء متناظر إلى آخر (مثل الفضاءات المتناظرة ). يُقال إن الدالة دالة متباينة متكافئة عندما يكون مجالها ومجالها المقابل متأثرين بنفس زمرة التناظر ، وعندما تكون الدالة تبادلية مع تأثير الزمرة. أي أن تطبيق تحويل تناظري ثم حساب الدالة يُعطي نفس النتيجة التي تُعطيها عملية حساب الدالة ثم تطبيق التحويل.

تُعمّم الدوال المتغيرة مفهوم الثوابت ، وهي دوال لا تتغير قيمتها بتغيير تناظر وسيطها. وغالبًا ما تُسمى قيمة الدالة المتغيرة (بشكل غير دقيق) بالثابت.

في الاستدلال الإحصائي ، يُعدّ التباين المتساوي تحت التحويلات الإحصائية للبيانات خاصيةً مهمةً لمختلف أساليب التقدير؛ انظر المُقدِّر الثابت لمزيد من التفاصيل. في الرياضيات البحتة، يُشكّل التباين المتساوي موضوعًا محوريًا للدراسة في الطوبولوجيا المتغيرة المتساوية وفروعها: علم التماثل المتغير المتساوي ونظرية التماثل المستقر المتغير المتساوي .

أمثلة

الهندسة الابتدائية

مركز المثلث (حيث تلتقي القطع الحمراء الثلاثة) يكون متغيرًا تحت التحويلات الأفينية : مركز المثلث المحول هو نفس النقطة التي يكون عندها مركز المثلث بعد التحويل.

في هندسة المثلثات ، تُعتبر مساحة المثلث ومحيطه ثابتين تحت التحويلات الإقليدية : فإزاحة المثلث أو تدويره أو عكسه لا يُغير من مساحته أو محيطه. مع ذلك، فإن مراكز المثلثات ، مثل مركز الثقل ، ومركز الدائرة المحيطة ، ومركز الدائرة الداخلية ، ومركز التعامد، ليست ثابتة، لأن تحريك المثلث سيؤدي إلى تحريك مراكزه أيضًا. بدلًا من ذلك، تكون هذه المراكز متغيرة: فتطبيق أي تطابق إقليدي (مزيج من الإزاحة والدوران) على المثلث، ثم إنشاء مركزه، يُنتج نفس النقطة كما لو تم إنشاء المركز أولًا، ثم تطبيق نفس التطابق عليه. وبشكل أعم، تكون جميع مراكز المثلثات متغيرة أيضًا تحت تحويلات التشابه (مزيج من الإزاحة والدوران والانعكاس والقياس)، [ 1 ] ويكون مركز الثقل متغيرًا تحت التحويلات الأفينية . [ 2 ]

قد تكون الدالة نفسها ثابتة لمجموعة من التناظرات ومتغيرة لمجموعة أخرى. على سبيل المثال، في ظل تحويلات التشابه، بدلاً من التطابقات، لا تبقى المساحة والمحيط ثابتين: فتكبير أو تصغير المثلث يُغير مساحته ومحيطه. مع ذلك، تحدث هذه التغييرات بطريقة يمكن التنبؤ بها: إذا تم تكبير أو تصغير مثلث بمعامل s ، فإن محيطه يتغير أيضًا بمعامل s ، ومساحته بمعامل s² . وبهذه الطريقة، يمكن اعتبار الدالة التي تربط كل مثلث بمساحته أو محيطه متغيرة بالنسبة لتأثير المجموعة الضربي لتحويلات التكبير أو التصغير على الأعداد الحقيقية الموجبة.

إحصائيات

يأتي نوع آخر من الأمثلة البسيطة من التقدير الإحصائي . يُستخدم متوسط ​​العينة (مجموعة من الأعداد الحقيقية) عادةً كمقياس للنزعة المركزية للعينة. وهو متغيرٌ تحت التحويلات الخطية للأعداد الحقيقية، لذا فهو، على سبيل المثال، لا يتأثر باختيار الوحدات المستخدمة لتمثيل الأعداد. في المقابل، لا يكون المتوسط ​​متغيرًا تحت التحويلات غير الخطية مثل التحويلات الأسية.

يُعدّ الوسيط لعينة ما متغيرًا متماثلًا لمجموعة أكبر بكثير من التحويلات، وهي الدوال الرتيبة (بشكل صارم) للأعداد الحقيقية. ويشير هذا التحليل إلى أن الوسيط أكثر ثباتًا في مواجهة أنواع معينة من التغييرات التي تطرأ على مجموعة البيانات، وأنه (على عكس المتوسط) ذو دلالة بالنسبة للبيانات الترتيبية . [ 3 ]

تم استخدام مفاهيم المقدر الثابت والمقدر المتغير لإضفاء الطابع الرسمي على هذا النمط من التحليل.

نظرية التمثيل

في نظرية تمثيل الزمر المنتهية ، يُطلق على الفضاء المتجهي المزود بزمرة تعمل بتحويلات خطية للفضاء اسم التمثيل الخطي للزمرة. ويُسمى التطبيق الخطي الذي يتبادل مع هذا التأثير بالتطبيق المتشابك . أي أن التطبيق المتشابك هو ببساطة تطبيق خطي متكافئ بين تمثيلين. وبعبارة أخرى، فإن التطبيق المتشابك لتمثيلات الزمرة G على الحقل K هو نفسه تشاكل الوحدات النمطية لـ K [ G ] - الوحدات النمطية ، حيث K [ G ] هي حلقة الزمرة G. [ 4 ]

في ظل شروط معينة، إذا كان كل من X و Y تمثيلين غير قابلين للاختزال ، فإنّ المتشابك (بخلاف التطبيق الصفري ) لا يوجد إلا إذا كان التمثيلان متكافئين (أي متماثلين كوحدات نمطية ). ويكون هذا المتشابك فريدًا حتى عامل ضربي ( عدد قياسي غير صفري من K ). تتحقق هذه الخصائص عندما تكون صورة K [ G ] جبرًا بسيطًا، مركزه K (بحسب ما يُسمى بمبرهنة شور : انظر الوحدة النمطية البسيطة ). ونتيجة لذلك، في حالات مهمة، يكفي بناء متشابك لإثبات أن التمثيلين متطابقان فعليًا. [ 5 ]

الإضفاء الطابع الرسمي

يمكن صياغة مفهوم التكافؤ باستخدام مفهوم المجموعة G للمجموعة G. وهي كائن رياضي يتكون من مجموعة رياضية S وتأثير المجموعة ( على اليسار) G على S. إذا كانت X و Y مجموعتين G لنفس المجموعة G ، فإن الدالة f : X → Y تُسمى مكافئة إذا 

f ( g · x ) = g · f ( x )

لكل g ∈ G ولكل x في X. [ 6 ]​

إذا كان أحد الإجراءين أو كلاهما إجراءً صحيحاً، فيمكن تعديل شرط التكافؤ بشكل مناسب:

f ( x · g ) = f ( x ) · g ; (يمين-يمين)
f ( x · g ) = g − 1 · f ( x ) ; (يمين-يسار)
f ( g · x ) = f ( x ) · g − 1 ; (يسار-يمين)

التطبيقات المتغيرة هي تشاكلات في فئة المجموعات G (لـ G ثابتة ). [ 7 ] ولذلك تُعرف أيضًا باسم تشاكلات G ، [ 7 ] أو تطبيقات G ، [ 8 ] أو تشاكلات G المتماثلة . [ 9 ] أما تشاكلات المجموعات G فهي ببساطة تطبيقات متغيرة تقابلية . [ 7 ]

يمكن فهم شرط التباين أيضًا على أنه المخطط التبادلي التالي . لاحظ أنز⋅{\displaystyle g\cdot }يشير إلى الخريطة التي تأخذ عنصرًاz{\displaystyle z}والعوائدز⋅z{\displaystyle g\cdot z}.

تعميم

يمكن تعميم التطبيقات المتغيرة على أي فئة بطريقة مباشرة. يمكن اعتبار كل زمرة G فئةً ذات عنصر واحد ( التشاكلات في هذه الفئة هي عناصر G ). وبالنظر إلى أي فئة C ، فإن تمثيل G في الفئة C هو دالة من G إلى C. تختار هذه الدالة عنصرًا من C وزمرة فرعية من التشاكلات الذاتية لهذا العنصر. على سبيل المثال، المجموعة G مكافئة لدالة من G إلى فئة المجموعات Set ، والتمثيل الخطي مكافئ لدالة إلى فئة الفضاءات المتجهة على حقل Vect K.

بفرض وجود تمثيلين، ρ و σ، للدالة G في C ، فإن أي تطبيق متغير بين هذين التمثيلين هو ببساطة تحويل طبيعي من ρ إلى σ. وباستخدام التحويلات الطبيعية كتشاكلات، يمكن تكوين فئة جميع تمثيلات G في C. وهذه الفئة هي ببساطة فئة الدوال C G.

كمثال آخر، لنأخذ C = Top ، وهي فئة الفضاءات الطوبولوجية . تمثيل G في Top هو فضاء طوبولوجي يؤثر عليه G بشكل مستمر . بالتالي ، فإن التطبيق المتغير هو تطبيق مستمر f  : X → Y بين التمثيلات يتبادل مع تأثير G.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كيمبرلينغ، كلارك (1994)، "النقاط المركزية والخطوط المركزية في مستوى المثلث"، مجلة الرياضيات ، 67 (3): 163-187 ، doi : 10.2307/2690608 ، JSTOR 2690608 ، MR 1573021  "المثلثات المتشابهة لها مراكز متشابهة الموقع"، ص  164.
  2. ↑ يُعدّ مركز المثلث المركز الوحيد المتغير تآلفيًا للمثلث، ولكن يمكن أن يكون للأجسام المحدبة الأكثر عمومية مراكز متغيرة تآلفية أخرى؛ انظر على سبيل المثال: Neumann, BH (1939), “On some affine invariants of closed convex regions”, Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 14 (4): 262– 272, doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.262 , MR 0000978 .
  3. ↑ سارل، وارن س. (14 سبتمبر 1997)، نظرية القياس: أسئلة متكررة (الإصدار 3) (ملف PDF) ، معهد SAS، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 3 أبريل 2022 ، تم استرجاعه في 24 أبريل 2016. مراجعة فصل في منشورات المعهد الدولي للتطبيقات الإحصائية (الطبعة الرابعة)، المجلد  1، 1995، ويتشيتا: مطبعة ACG، الصفحات 61-66.
  4. ↑ فوكس، يورغن؛ شفايغرت، كريستوف (1997)، التناظرات، وجبر لي، والتمثيلات: دورة دراسات عليا للفيزيائيين ، سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، ص 70، ISBN  0-521-56001-2MR 1473220​ .
  5. ↑ سيكسل، رومان يو.؛ أوربانتكه، هيلموت ك. (2001)، النسبية، المجموعات، الجسيمات: النسبية الخاصة والتناظر النسبي في فيزياء المجال والجسيمات ، سبرينغر فيزيكس، فيينا: سبرينغر-فيرلاغ، ص 165، doi : 10.1007/978-3-7091-6234-7 ، ISBN  3-211-83443-5، MR 1798479 .
  6. ↑ بيتس، أندرو م. (2013)، المجموعات الاسمية: الأسماء والتناظر في علوم الحاسوب ، سلسلة كامبريدج في علوم الحاسوب النظرية، المجلد 57، مطبعة جامعة كامبريدج، التعريف 1.2، ص 14، ISBN   9781107244689.
  7. 1 2 3 أوسلاندر، موريس؛ Buchsbaum، David (2014)، المجموعات، الحلقات، الوحدات ، كتب دوفر في الرياضيات، منشورات دوفر، الصفحات من 86 إلى 87، ISBN  9780486490823.
  8. ^ سيجال، GB (1971)، “نظرية التوازن المستقر المتساوي”، Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice، 1970)، Tome 2 ، Gauthier-Villars، Paris، pp. 59–63 ، MR 0423340  .
  9. ^ أديكاري، ماهيما رانجان؛ Adhikari، Avishek (2014)، الجبر الحديث الأساسي مع التطبيقات ، نيودلهي: سبرينغر، ص. 142، دوى : 10.1007/978-81-322-1599-8 ، ISBN  978-81-322-1598-1MR 3155599​ .