المجموعة الكلاسيكية

ل${\displaystyle F=\mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$، المجموعة الخطية الخاصة هي

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(F)\mid \det g=1\}.}$

جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)=\{X\in M_{n}(F)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

هكذا${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$يتكون من جميع الأشياء الحقيقية التي لا تترك أثراً${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، و${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$يتألف من جميع التعقيدات التي لا تترك أثراً${\displaystyle n\times n}$المصفوفات.

شكل ثنائي الخطية${\displaystyle \varphi }$يكون:

• متناظر إذا${\displaystyle \varphi (v,w)=\varphi (w,v)}$;
• متناوب (أو متماثل بشكل معكوس، عندما${\displaystyle \operatorname {char} F\neq 2}$) لو${\displaystyle \varphi (v,v)=0}$للجميع${\displaystyle v}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v)}$[ ^{20 ]​}

شكل نصف دائري${\displaystyle h}$يكون:

• هيرميتي إذا${\displaystyle h(v,w)={\overline {h(w,v)}}}$;
• هيرميتية ملتوية إذا${\displaystyle h(v,w)=-{\overline {h(w,v)}}}$[ ^{21 ]​}

زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم تصنيف الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة غير المنحلة حسب بصمتها المميزة${\displaystyle (p,q)}$. زيادة${\displaystyle \mathbb {C} }$جميع الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة غير المنحلة ذات بُعد معين متكافئة. توجد الأشكال المتناوبة غير المنحلة فقط في الأبعاد الزوجية، وعلى كلا البُعدين.${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$جميع هذه الأشكال متكافئة. ^{[ 22 ]}

في فضاء متجهي معقد، ضرب شكل هيرميتي منحرف بـ${\displaystyle i}$ينتج عنه شكل هيرميتي، لذا تؤدي الحالتان إلى نفس مجموعات التماثل حتى تغيير بسيط في الاصطلاح. ^{[ 23 ]} في المقابل، في فضاء متجه رباعي، لا توجد أشكال ثنائية الخطية غير صفرية، لذا لا تحدث إلا حالتا هيرميتية وشبه هيرميتية. ^{[ 24 ]}

يترك${\displaystyle \varphi }$أن يكون شكلاً ثنائي الخطية متناظراً غير منحل.

زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن للمرء أن يختار أساسًا يكون فيه

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }I_{p,q}y,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

أين${\displaystyle p+q=n}$. زمرة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي الزمرة المتعامدة غير المحددة

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\mid g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

المجموعة الفرعية للمحدد${\displaystyle 1}$هي المجموعة المتعامدة الخاصة

${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} ).}$^{[ 25 ]}

متى${\displaystyle q=0}$هذه هي المجموعة المتعامدة المدمجة${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$، مع المحدد-${\displaystyle 1}$مجموعة فرعية${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$[ ^{26 ]​}

زيادة${\displaystyle \mathbb {C} }$كل شكل ثنائي خطي متناظر غير منحل يكافئ الشكل القياسي

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }y.}$

مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي المجموعة المتعامدة المعقدة

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\},}$

مع المحدد-${\displaystyle 1}$مجموعة فرعية${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$[ ^{27 ]​}

جبر لي المقابل هو

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X^{\mathrm {T} }I_{p,q}+I_{p,q}X=0\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\}.}$^{[ 28 ]}

لو

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

بأحجام الكتل${\displaystyle p\times p}$،${\displaystyle p\times q}$،${\displaystyle q\times p}$، و${\displaystyle q\times q}$ثم العلاقة المحددة لـ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$يعادل

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A-C^{\mathrm {T} }C=I_{p},\qquad D^{\mathrm {T} }D-B^{\mathrm {T} }B=I_{q},\qquad A^{\mathrm {T} }B=C^{\mathrm {T} }D.}$

كتابة

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}P&Q\\R&S\end{pmatrix}},}$

يحصل المرء على الشكل الكتلي

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{\mathrm {T} }&S\end{pmatrix}}\;|\;P^{\mathrm {T} }=-P,\ S^{\mathrm {T} }=-S\right\}.}$

هكذا${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$هو فضاء الأعداد المركبة المتناظرة المائلة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات.

يترك${\displaystyle \omega }$ليكن شكلاً ثنائي الخطية متناوباً غير منحل على فضاء متجهي ذي بُعد${\displaystyle 2n}$. فوق أي${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$يمكن للمرء أن يختار أساسًا يكون فيه

${\displaystyle \omega (x,y)=x^{\mathrm {T} }J_{n}y,\qquad J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي المجموعة التبسيطية

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{2n}(F)\mid g^{\mathrm {T} }J_{n}g=J_{n}\},\qquad F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

يكتب العديد من المؤلفين${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$و${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$لهذه المجموعات. ^{[ 29 ]}

جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n}(F)\mid X^{\mathrm {T} }J_{n}+J_{n}X=0\}.}$

وبصورة مكافئة، كل عنصر له شكل كتلة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

مع${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$متناظر. ^{[ 30 ]}

يترك${\displaystyle h}$ليكن شكلاً هيرميتياً غير منحل على فضاء متجهي معقد${\displaystyle V}$من الأبعاد${\displaystyle n}$يمكن للمرء أن يختار أساسًا يكون فيه

${\displaystyle h(z,w)=z^{*}I_{p,q}w,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

أين${\displaystyle p+q=n}$[ ^{31 ]​}

مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي المجموعة الوحدوية

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

المجموعة الفرعية للمحدد${\displaystyle 1}$هي المجموعة الوحدوية الخاصة

${\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 32 ]}

متى${\displaystyle q=0}$هذه هي المجموعة الوحدوية المدمجة${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$، مع المحدد-${\displaystyle 1}$مجموعة فرعية${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$[ ^{33 ]​}

جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 34 ]}

لو

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

إذن، العلاقة المحددة تعادل ما يلي:

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

في شكل كتلة،

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

الجبر الوحدوي الخاص هو الجبر الفرعي عديم الأثر

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)=\{X\in {\mathfrak {u}}(p,q)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

المجموعة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$يتألف من التحويلات الخطية الرباعية العكسية للفضاء المتجهي الأيمن${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$من خلال التضمين المعقد أعلاه، يتم تحقيق ذلك كمجموعة لي حقيقية من${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$تتكون من مصفوفات من الشكل

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}},\qquad A,B\in M_{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 36 ]}

وبالتالي فإن جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )\right\}.}$

الشكل الحقيقي المقابل لـ${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {C} )}$يُشار إليه بـ${\displaystyle \mathrm {SU} ^{*}(2n)}$وباعتبارها زمرة لي، فهي متماثلة مع الزمرة المكتوبة تقليديًا${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )}$وهي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$من عناصر المعيار المخفض 1. ^{[ 37 ]}

جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;\operatorname {Re} \operatorname {tr} (A)=0\right\}.}$

يترك${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{p+q}}$ودع

${\displaystyle B(w,z)=w^{*}I_{p,q}z,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

ليكن شكلاً هيرميتياً رباعياً غير منحل. زمرة التماثل الخاصة به هي الزمرة الوحدوية الرباعية

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (p+q,\mathbb {H} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$^{[ 38 ]}

متى${\displaystyle q=0}$هذه هي المجموعة المدمجة التي تُكتب عادةً${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$[ ^{39 ]​}

يُنظر إليه كمجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$المجموعة${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$يحتفظ كل من الشكل الهرميتي المعقد للتوقيع${\displaystyle (2p,2q)}$وشكل متناوب معقد غير منحل. ^{[ 40 ]} جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\{X\in M_{p+q}(\mathbb {H} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 41 ]}

لو

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

مع الكتل الرباعية، فإن العلاقة المحددة تكون مكافئة لـ

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

في شكل كتلة،

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

يترك${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{n}}$وتأمل الشكل الرباعي المائل الهرميتي

${\displaystyle C(x,y)=x^{*}jy.}$

مجموعة التناظر الخاصة بها هي مجموعة لي الحقيقية

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n),}$

وهو شكل حقيقي من${\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )}$[ ^{42 ]​}

وبعبارة أخرى، إذا

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}$

ثم${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$قد يتم تحقيق ذلك كمجموعة فرعية

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta (g)=g\},}$

أين${\displaystyle \theta (g)=-J_{n}{\overline {g}}J_{n}}$^{[ 43 ]}​

يُرمز إلى جبر لي الخاص به بـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)}$[ ^{44 ]​}

تحقيق معقد قياسي لـ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$هي بمثابة المجموعة الفرعية من${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$مع الحفاظ على الشكل الثنائي الخطي المتناظر مع مصفوفة غرام

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}}$

والشكل الهرميتي مع مصفوفة غرام

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&-I_{n}\end{pmatrix}}.}$

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }Sg=S,\ g^{*}Hg=H\}.}$

جبر لي الخاص به هو

${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A^{*}=-A,\ B^{\mathrm {T} }=-B\right\}.}$

يترك${\displaystyle V}$كن${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد n على${\displaystyle k}$المجموعة الخطية العامة لـ${\displaystyle V}$يكون

${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\operatorname {Aut} _{k}(V),}$

والمجموعة الخطية الخاصة هي

${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\ker(\det \colon \mathrm {GL} (V)\to k^{\times }).}$

بعد اختيار الأساس، تصبح هذه مجموعات المصفوفات${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$و${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(k)}$. إن حاصل قسمتها الإسقاطي هو المجموعة الخطية العامة الإسقاطية${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$والمجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية${\displaystyle \mathrm {PSL} (V)}$[ ^{3 ]​}

تنشأ المجموعات الكلاسيكية الأخرى كمجموعات تماثل ذاتي لأشكال غير متدهورة. ^{[ 5 ] [ 12 ]}

لو${\displaystyle \omega }$هو شكل ثنائي خطي متناوب غير منحل على${\displaystyle V}$، ومجموعة التماثل الخاصة بها هي المجموعة التبسيطية

${\displaystyle \mathrm {Sp} (V,\omega )=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid \omega (gv,gw)=\omega (v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

ل${\displaystyle \dim V=2n}$هذا مكتوب${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}(k)}$بعد اختيار الأساس.

لو${\displaystyle q}$هي شكل تربيعي غير منحل على${\displaystyle V}$، ومجموعة التماثل الخاصة بها هي المجموعة المتعامدة

${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid q(gv)=q(v)\ \forall v\in V\}.}$

متى${\displaystyle \operatorname {char} (k)\neq 2}$وهذا يُعادل المجموعة التي تحافظ على الشكل الثنائي الخطي المتناظر المرتبط بها. في الخاصية  2، لا تزال المجموعات المتعامدة تُعرَّف من الأشكال التربيعية، لكن العلاقة مع الشكل الثنائي الخطي المرتبط بها أكثر دقة. ^{[ 12 ]} بالنسبة للمجموعات المتعامدة على الحقول العامة، غالبًا ما يُؤخذ في الاعتبار أيضًا المجموعة الجزئية${\displaystyle \Omega (V,q)}$في الحالة المتناحية وفي الخاصية غير 2، يمكن وصفها بأنها نواة معيار السبينور ، وهو تشاكل من${\displaystyle \mathrm {SO} (V,q)}$(أو بشكل أعم من المجموعة الفرعية المناسبة من المؤشر 2 من${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)}$) ل${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{2}}$في نظرية الزمر الكلاسيكية المنتهية، غالبًا ما تكون الزمرة البسيطة${\displaystyle \mathrm {P} \Omega (V,q)}$بدلاً من${\displaystyle \mathrm {PSO} (V,q)}$[ ^{45 ]​}

لو${\displaystyle K/k}$هو امتداد حقل تربيعي ، أو بشكل أعم إذا${\displaystyle K}$مزود بـ${\displaystyle \sigma }$، و${\displaystyle h}$هو شخص غير منحط${\displaystyle \sigma }$- شكل هيرميتي على بُعد محدود${\displaystyle K}$فضاء المتجهات${\displaystyle V}$، ومجموعة التماثل الخاصة بها هي مجموعة وحدوية

${\displaystyle \mathrm {U} (V,h)=\{g\in \mathrm {GL} _{K}(V)\mid h(gv,gw)=h(v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

مجموعتها الفرعية المشتقة هي المجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SU} (V,h)}$[ ^{12 ]​}

كما توجد مجموعات التشابه المقابلة.${\displaystyle \mathrm {GSp} }$،${\displaystyle \mathrm {GO} }$، و${\displaystyle \mathrm {GU} }$، والتي تحافظ عناصرها على الشكل ذي الصلة حتى الضرب في عدد قياسي. يتم الحصول على النسخ الإسقاطية عن طريق القسمة على المركز. ^{[ 4 ]}

في لغة الهندسة الجبرية ، الزمرة الجبرية الخطية فوق${\displaystyle k}$هو خط أفيني سلس${\displaystyle k}$مخطط المجموعة -، أو ما يعادله مخطط مغلق أملس${\displaystyle k}$- مجموعة فرعية من بعض${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$[ ^{4 ] [ 3 ]} من هذا المنظور، فإن المجموعات الكلاسيكية المتصلة هي مجموعات اختزالية متصلة من نوع ^دينكين${\displaystyle A_{n}}$،${\displaystyle B_{n}}$،${\displaystyle C_{n}}$، و${\displaystyle D_{n}}$، بالإضافة إلى أشكالها على الحقول غير المغلقة جبريًا. ^{[ 4 ]}

يتم تمثيل المجموعات الكلاسيكية المنقسمة بالأمثلة القياسية التالية:

• يكتب${\displaystyle A_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SL} _{n+1}}$و${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}}$;
• يكتب${\displaystyle B_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n+1}}$وغطاؤه المتصل ببساطة${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n+1}}$;
• يكتب${\displaystyle C_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}}$و${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}}$;
• يكتب${\displaystyle D_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n}}$و${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n}}$[ ^{4 ] [ 3 ]​}

في حقل عام، يمكن الحصول على مجموعات كلاسيكية إضافية كأشكال داخلية أو خارجية لهذه المجموعات المنقسمة. على سبيل المثال، المجموعات الوحدوية هي أشكال خارجية من النوع${\displaystyle A_{n}}$وتُصنَّف العديد من المجموعات المتعامدة أو التبسيطية وفقًا لأشكال تربيعية أو هيرميتية. ^{[ 12 ] [ 4 ]}

متى${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$حقل منتهٍ، مجموعات من${\displaystyle k}$تُنتج النقاط العقلانية لهذه المجموعات الجبرية مجموعات منتهية من نوع لي. وتشمل العائلات الكلاسيكية مجموعات مثل:${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(q)}$،${\displaystyle \mathrm {PSU} _{n}(q)}$،${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}(q)}$والمجموعات المتعامدة المنتهية. ^{[ 6 ]}

يترك${\displaystyle A}$ليكن جبرًا مركزيًا بسيطًا على${\displaystyle k}$ودع${\displaystyle \tau \colon A\to A}$أن تكون عملية انعكاس. هناك حالتان أساسيتان. ^{[ 48 ]}

لو${\displaystyle \tau }$يتصرف بشكل تافه في مركز${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle \tau }$يُقال إنها من النوع الأول . وباختلاف الخاصية عن اثنين، تُقسم عمليات الالتفاف من النوع الأول إلى نوعين، اعتمادًا على ما إذا كانت تصبح مرافقات لأشكال متناظرة أو متبادلة بعد عملية الضرب الموتري.${\displaystyle A}$مع إغلاق منفصل لـ${\displaystyle k}$، على التوالى:

• الانعكاسات المتعامدة ؛
• الانعكاسات التبسيطية . ^{[ 48 ]}

إذا كان مركز${\displaystyle A}$هي دالة إيتالية تربيعية${\displaystyle k}$-الجبر${\displaystyle K}$و${\displaystyle \tau }$يؤدي إلى غير تافه${\displaystyle k}$-التماثل الذاتي لـ${\displaystyle K}$، ثم${\displaystyle \tau }$يقال إنه أحادي أو من النوع الثاني . ^{[ 48 ]}

يتوافق هذا التقسيم الثلاثي مع العائلات الكلاسيكية الثلاث التي تتجاوز المجموعة الخطية العامة:

• النوع المتعامد لأنواع دينكين${\displaystyle B_{n}}$و${\displaystyle D_{n}}$;
• نوع سيمبليكتيكي لنوع دينكين${\displaystyle C_{n}}$;
• نوع موحد للأشكال الخارجية لنوع دينكين${\displaystyle A_{n}}$[ ^{48 ] ​​[ 49 ]​}

لأي جبر مركزي بسيط${\displaystyle A}$نكتب

${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(A)=A^{\times }}$

بالنسبة لمجموعة العناصر القابلة للعكس، و

${\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)=\ker(\operatorname {Nrd} \colon A^{\times }\to k^{\times })}$

بالنسبة لنواة المعيار المختزل . هذه تعطي الأشكال الداخلية من النوع${\displaystyle A}$[ ^{49 ]​}

لو${\displaystyle (A,\tau )}$إذا كان من النوع الأول،

${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a=1\}}$

هي مجموعة التماثلات ، و

${\displaystyle \operatorname {Sim} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a\in k^{\times }\}}$

هي مجموعة التشابهات . الكمية العددية${\displaystyle \mu (a)=\tau (a)a}$يُطلق عليه اسم مُضاعِف التشابه. ^{[ 48 ]} (بشكل أعم، يمكن تعريف هذه أولاً من خلال مخططات المجموعة المرتبطة بها . ^{[ 48 ]} )

بحسب نوع${\displaystyle \tau }$نكتب:

• ${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$،${\displaystyle \mathrm {GO} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$، و${\displaystyle \mathrm {PGO} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$في الحالة المتعامدة؛
• ${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$،${\displaystyle \mathrm {GSp} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$، و${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$في الحالة التبسيطية. ^{[ 48 ]}

لو${\displaystyle (B,\tau )}$هو نظام وحدوي، مركزه جبر إيتالي تربيعي${\displaystyle K/k}$، ثم

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b=1\}}$،

${\displaystyle \mathrm {GU} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b\in k^{\times }\}}$،

و

${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )=\operatorname {Aut} _{K}(B,\tau ).}$

نواة المعيار المختزل على${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )}$يُشار إليه بـ

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\ker(\operatorname {Nrd} \colon \mathrm {U} (B,\tau )\to K^{\times }),}$

ويعطي المجموعة شبه البسيطة المتصلة ببساطة من النوع الوحدوي. ^{[ 48 ]}

في الحالة التبسيطية،${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )}$هي المجموعة المتصلة ببساطة و${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )}$خارج قسمتها المرافق؛ في الحالة الوحدوية،${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )}$هو الشكل المتصل ببساطة و${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )}$الشكل المرافق المقابل. ^{[ 48 ] [ 49 ]}

يتم استعادة المجموعات ذات القيم الحقلية التي نوقشت سابقًا عند تقسيم الجبر. ^{[ 48 ]}

لو${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$و${\displaystyle \tau }$هو الالتفاف المرافق لشكل ثنائي خطي متناوب غير منحل${\displaystyle h}$على${\displaystyle V}$، ثم

${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\mathrm {Sp} (V,h)}$،

ويستعيد المرء المجموعة التبسيطية العادية. ^{[ 48 ]}

لو${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$و${\displaystyle \tau }$هو الالتفاف المرافق لشكل ثنائي خطي متناظر غير منحل، أو بشكل مكافئ لشكل تربيعي غير منحل${\displaystyle q}$، ثم

${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\mathrm {O} (V,q)}$،

ويستعيد المرء المجموعة المتعامدة العادية. ^{[ 48 ]}

لو${\displaystyle K/k}$هو امتداد حقل تربيعي،${\displaystyle B=\operatorname {End} _{K}(V)}$، و${\displaystyle \tau }$وهو مجاور لشكل هيرميتي غير منحط على${\displaystyle K}$-فضاء${\displaystyle V}$، ثم

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\mathrm {U} (V,h)}$

و

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\mathrm {SU} (V,h)}$،

وهكذا يستعيد المرء المجموعات الوحدوية المعتادة والمجموعات الوحدوية الخاصة. ^{[ 48 ]}

يوجد أيضًا وصف منفصل للأشكال الداخلية للنوع${\displaystyle A}$إذا تم تقسيم الجبر الإيتالي التربيعي،

${\displaystyle K\cong k\times k,}$

ثم${\displaystyle B}$متماثل مع${\displaystyle A\times A^{\mathrm {op} }}$مع انعكاس التبادل. في هذه الحالة

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )\cong \operatorname {GL} _{1}(A),\qquad \mathrm {SU} (B,\tau )\cong \operatorname {SL} _{1}(A),\qquad \mathrm {PGU} (B,\tau )\cong \mathrm {PGL} _{1}(A).}$

وبالتالي فإن نفس الشكلية تشمل كلاً من الأشكال الداخلية والخارجية للنوع${\displaystyle A}$[ ^{48 ]​}

أما من الجانب المتعامد، فتُحكم بنية المجموعة بواسطة جبر كليفورد المرتبط بها . بالنسبة للالتفاف المتعامد${\displaystyle (A,\tau )}$لدينا مميز وجبر كليفورد؛ في الدرجة الزوجية، يحدد مركز جبر كليفورد الزوجي نظيرًا للجبر المعتاد${\displaystyle +}$المكون -، والغطاء المتصل البسيط المقابل هو مجموعة الدوران . في حالة الانقسام، يستعيد هذا المجموعات العادية

${\displaystyle \mathrm {PGO} ^{+}(V,q)}$

و

${\displaystyle \mathrm {Spin} (V,q)}$[ ^{50 ]​}

في تصنيف المجموعات الكلاسيكية الحقيقية (والمحلية ) ، تتطلب البيانات المتعامدة معرفة كل من الجبر${\displaystyle A}$والالتفاف. (وإذا أراد المرء المجموعات المتصلة ببساطة، فإنه يحتاج إلى جبر كليفورد المقابل). في خاصية مختلفة عن${\displaystyle 2}$وهذا يحكم الانتقال المعتاد من الشكل التربيعي إلى جبر كليفورد الزوجي ومجموعة الدوران الخاصة به. ^{[ 50 ]}

زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$، يستعيد إطار الجبر مع الانعكاس جميع زمر لي الحقيقية الكلاسيكية. على وجه الخصوص، لا تظهر العائلات الرباعية إلا بعد السماح بالجبر المركزي البسيط غير التبادلي${\displaystyle \mathbb {H} }$[ ^{51 ] [ 49 ]​}

في الجدول التالي، تشير التسميتان split و quaternionic إلى الجبر البسيط المركزي الأساسي، وليس بالضرورة إلى المجموعة الجبرية الحقيقية الناتجة. وبالتالي، فإن split تعني أن الجبر هو جبر مصفوفات كامل على${\displaystyle \mathbb {R} }$بينما تعني كلمة "رباعي" أن الجبر هو جبر مصفوفي على${\displaystyle \mathbb {H} }$تُستخدم التسميات الداخلية والخارجية فقط في النوع${\displaystyle A}$: تعني كلمة inner شكلاً داخلياً لمجموعة الانقسام من النوع${\displaystyle A}$، ناشئة من عنصر مركزي بسيط${\displaystyle \mathbb {R} }$الجبر مع المركز${\displaystyle \mathbb {R} }$بينما تعني كلمة "خارجي" شكلاً وحدوياً ناشئاً عن الامتداد التربيعي${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$.