نظرية المجموعات للخط الحقيقي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

نظرية المجموعات للخط الحقيقي هي مجال من الرياضيات يهتم بتطبيق نظرية المجموعات على جوانب الأعداد الحقيقية .

على سبيل المثال، من المعروف أن جميع المجموعات القابلة للعد من الأعداد الحقيقية هي مجموعات فارغة ، أي أن قياسها وفقًا لمقياس ليبيغ يساوي صفرًا؛ لذلك قد يُسأل عن أصغر حجم ممكن لمجموعة ليست فارغة وفقًا لمقياس ليبيغ. يُطلق على هذا الثابت اسم انتظام مثالي المجموعات الفارغة، ويُرمز له بـنoن(شمال){\displaystyle non({\mathcal {N}})}توجد العديد من هذه الثوابت المرتبطة بهذا المُثُل وغيره، مثل مُثُل المجموعات الهزيلة ، بالإضافة إلى ثوابت أخرى لا يمكن وصفها بدلالة المُثُل. إذا تحققت فرضية الاستمرارية ، فإن جميع هذه الثوابت تكون متساوية.ℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}، وهو أصغر عدد أصلي غير معدود . على سبيل المثال، نحن نعلمنoن(شمال){\displaystyle non({\mathcal {N}})}هو عدد غير معدود ، ولكن نظرًا لكونه بحجم مجموعة من الأعداد الحقيقية تحت فرضية التناسب، فإنه يمكن أن يكون على الأكثرℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}.

من ناحية أخرى، إذا افترضنا بديهية مارتن (MA) بأن جميع الثوابت المشتركة "كبيرة"، فإن ذلك يساويج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}، عدد عناصر المتصل . تتوافق بديهية مارتن معج>ℵ1{\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{1}}في الواقع، ينبغي النظر إلى بديهية مارتن على أنها بديهية إجبارية تنفي الحاجة إلى إجراء عمليات إجبارية محددة من فئة معينة (تلك التي تحقق شرط التناسق المتسق )، حيث يتم إثبات اتساق بديهية مارتن مع المتصلات الكبيرة من خلال إجراء جميع هذه العمليات الإجبارية (حتى حجم معين ثبتت كفايته). يمكن جعل كل ثابت كبيرًا بواسطة عملية إجبارية تحقق شرط التناسق المتسق، وبالتالي يكون كل ثابت كبيرًا بالنظر إلى بديهية مارتن.

إذا اقتصرنا على قوى إجبارية محددة، ستزداد بعض الثوابت بينما تبقى أخرى صغيرة. ويُعدّ تحليل هذه التأثيرات العملَ الرئيسي في هذا المجال، إذ يسعى إلى تحديد أيّ المتباينات بين الثوابت قابلة للإثبات وأيّها تتعارض مع نظرية ZFC. وتُجسّد متباينات القياس (المجموعات الصفرية) والفئات (المجموعات الضئيلة) في مخطط سيشون . وقد طُوّرت سبعة عشر نموذجًا (بنى إجبارية) خلال ثمانينيات القرن العشرين، بدءًا من أعمال أرنولد ميلر، لإثبات عدم إمكانية إثبات أيّ متباينات أخرى. وقد حُلّلت هذه النماذج بالتفصيل في كتاب توميك بارتوشينسكي وحاييم يهودا، وهما من أبرز الباحثين في هذا المجال، الصادر عام ١٩٩٥.

ومن النتائج المثيرة للاهتمام أنه إذا كان بإمكانك تغطية الخط الحقيقي بـκ{\displaystyle \kappa }مجموعات ضئيلة (حيثℵ1≤κ≤ج{\displaystyle \aleph _{1}\leq \kappa \leq {\mathfrak {c}}}) ثمنoن(شمال)≥κ{\displaystyle غير({\mathcal {N}})\geq \kappa }; على العكس من ذلك، إذا كان بإمكانك تغطية الخط الحقيقي بـκ{\displaystyle \kappa }إذا كانت المجموعات فارغة، فإن أصغر مجموعة غير ضئيلة يكون حجمها على الأقلκ{\displaystyle \kappa }كلتا هاتين النتيجتين تنبعان من وجود تفكيك لـR{\displaystyle \mathbb {R} }باعتبارها اتحاد مجموعة ضئيلة ومجموعة فارغة.

كانت إحدى آخر المشكلات الكبرى التي لم تُحل في المنطقة هي اتساق

د<أ،{\displaystyle {\mathfrak {d}}<{\mathfrak {a}},}

تم إثبات ذلك في عام 1998 بواسطة ساهارون شيلاه .

انظر أيضاً

مراجع