مجموعة هزيلة

في مجال الطوبولوجيا العامة ، تُعرف المجموعة الهزيلة (وتُسمى أيضًا مجموعة من الفئة الأولى ) بأنها مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي ، وهي عبارة عن اتحاد قابل للعد لمجموعات جزئية مغلقة ذات باطن فارغ . وبالتالي، فإن المجموعات الهزيلة، بمعنى ما، "صغيرة"، كونها اتحادات صغيرة لمجموعات جزئية صغيرة.

تشكل المجموعات الجزئية الضئيلة من فضاء ثابت مجموعة σ-مثالية من المجموعات الجزئية؛ أي أن أي مجموعة جزئية من مجموعة ضئيلة هي ضئيلة، واتحاد عدد لا نهائي من المجموعات الضئيلة هو ضئيل.

تلعب المجموعات الهزيلة دورًا مهمًا في صياغة مفهوم فضاء باير ونظرية فئة باير ، والتي تستخدم في إثبات العديد من النتائج الأساسية للتحليل الوظيفي .

طَوَال،${\displaystyle X}$سيكون فضاءً طوبولوجيًا .

يستخدم تعريف المجموعة الهزيلة مفهوم المجموعة الجزئية غير الكثيفة في أي مكان من${\displaystyle X,}$أي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$الذي يحتوي على فراغ داخلي . راجع المقالة ذات الصلة لمزيد من التفاصيل.

مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمضئيل في${\displaystyle X,}$أمجموعة فرعية ضئيلة من${\displaystyle X,}$أو منالفئة الأولى في${\displaystyle X}$إذا كان اتحادًا قابلًا للعد لمجموعات فرعية غير كثيفة في أي مكان من${\displaystyle X}$[ ^{1 ] وإلا ،} تسمى المجموعة الجزئيةغير هزيل في${\displaystyle X,}$أمجموعة فرعية غير ضئيلة من${\displaystyle X,}$أو منالفئة الثانية في${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} الصفة "في${\displaystyle X}$يمكن حذف "إذا كانت المساحة المحيطة ثابتة ومفهومة من السياق".

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسمضئيل (على التوالي،(غير ضئيل ) إذا كانت مجموعة فرعية ضئيلة (على التوالي، غير ضئيلة) من نفسها.

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمكوميغري في${\displaystyle X,}$أوالمتبقي في${\displaystyle X,}$إذا كان مكملها${\displaystyle X\setminus A}$ضئيل في${\displaystyle X}$(يتوافق استخدام البادئة "co" هنا مع استخدامها في مصطلحات أخرى مثل " cofinite "). تُسمى المجموعة الجزئية coagere في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان يساوي تقاطعًا قابلًا للعد لمجموعات، كل منها كثيف في الداخل${\displaystyle X.}$

ملاحظات حول المصطلحات

لا ينبغي الخلط بين مفهومي "غير الهزيل" و"الزهيد". إذا كانت المساحة${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة هزيلةً، فإن كل مجموعة جزئية تكون هزيلةً وشبه هزيلة، ولا توجد مجموعات غير هزيلة.${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة غير ضئيلة، فلا توجد مجموعة تكون ضئيلة ومكملة في الوقت نفسه، وكل مجموعة مكملة هي مجموعة غير ضئيلة، ويمكن أن توجد مجموعات غير ضئيلة ليست مكملة، أي ذات مكمل غير ضئيل. انظر قسم الأمثلة أدناه.

كنقطة إضافية في المصطلحات، إذا كانت مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يتم إعطاء طوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة من${\displaystyle X}$يمكن للمرء أن يتحدث عن كونه فضاءً ضئيلاً، أي كونه مجموعة فرعية ضئيلة من نفسه (عند اعتباره فضاءً طوبولوجياً في حد ذاته). في هذه الحالة${\displaystyle A}$ويمكن تسميتها أيضًا بالفضاء الجزئي الضئيل من${\displaystyle X}$وهذا يعني مساحة ضئيلة عند تحديد طوبولوجيا الفضاء الجزئي. ومن المهم الإشارة إلى أن هذا لا يعني أن تكون المساحة ضئيلة في الفضاء بأكمله.${\displaystyle X}$(انظر قسمي الخصائص والأمثلة أدناه لمعرفة العلاقة بينهما). وبالمثل، فإن الفضاء الجزئي غير الهزيل هو مجموعة غير هزيلة في ذاتها، وهذا لا يعني أنها غير هزيلة في الفضاء الكلي. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في سياق الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، قد يستخدم بعض المؤلفين عبارة "الفضاء الجزئي الهزيل/غير الهزيل" للدلالة على فضاء جزئي متجهي يمثل مجموعة هزيلة/غير هزيلة بالنسبة للفضاء الكلي. ^{[ 2 ]}

كان مصطلحا الفئة الأولى والفئة الثانية هما المصطلحان الأصليان اللذان استخدمهما رينيه باير في أطروحته عام 1899. ^{[ 3 ]} وقد قدم بورباكي المصطلحات المختصرة في عام 1948. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

المجموعة الفارغة هي دائمًا مجموعة فرعية مغلقة وغير كثيفة في أي مكان (وبالتالي ضئيلة) من كل فضاء طوبولوجي.

في المساحة غير الضئيلة${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$المجموعة${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$هي ضئيلة. المجموعة${\displaystyle [0,1]}$هو غير هزيل وكوميجري.

في المساحة غير الضئيلة${\displaystyle X=[0,2]}$المجموعة${\displaystyle [0,1]}$هو غير هزيل. لكنه ليس هزيلاً، كمكمل له${\displaystyle (1,2]}$وهو أيضاً غير ضئيل.

الفضاء T ₁ القابل للعد بدون نقطة معزولة يكون ضئيلاً. لذا فهو ضئيل أيضاً في أي فضاء يحتويه كفضاء جزئي. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Q} }$هو فضاء جزئي ضئيل من${\displaystyle \mathbb {R} }$(أي أنها ضئيلة في حد ذاتها مع طوبولوجيا الفضاء الفرعي المستحثة من${\displaystyle \mathbb {R} }$) ومجموعة فرعية ضئيلة من${\displaystyle \mathbb {R} .}$

مجموعة كانتور ليست كثيفة في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} }$وبالتالي ضئيل في${\displaystyle \mathbb {R} .}$ لكنها ليست ضئيلة في حد ذاتها، لأنها فضاء متري كامل .

المجموعة${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ليس كثيفًا في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} }$لكنها ضئيلة في${\displaystyle \mathbb {R} }$. إنها غير ضئيلة في حد ذاتها (لأنها كمساحة فرعية تحتوي على نقطة معزولة).

الخط${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ضئيل في الطائرة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ لكنها فضاء فرعي غير ضئيل، أي أنها غير ضئيلة في حد ذاتها.

المجموعة${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$هي مجموعة فرعية ضئيلة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$على الرغم من مجموعتها الفرعية الضئيلة${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$هو فضاء فرعي غير ضئيل (أي،${\displaystyle \mathbb {R} }$ليس فضاءً طوبولوجيًا ضئيلاً). ^{[ 6 ]} الفضاء الهاوسدورفي القابل للعد الذي لا يحتوي على نقاط معزولة يكون ضئيلاً، بينما أي فضاء طوبولوجي يحتوي على نقطة معزولة يكون غير ضئيل. ^{[ 6 ]} ولأن الأعداد النسبية قابلة للعد، فهي ضئيلة كمجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية وكفضاء - أي أنها لا تشكل فضاء باير .

أي فضاء طوبولوجي يحتوي على نقطة معزولة يكون غير ضئيل ^{[ 6 ]} (لأنه لا يمكن لأي مجموعة تحتوي على النقطة المعزولة أن تكون غير كثيفة في أي مكان). وعلى وجه الخصوص، كل فضاء منفصل غير فارغ يكون غير ضئيل.

هناك مجموعة فرعية${\displaystyle H}$من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$يقسم ذلك كل مجموعة مفتوحة غير فارغة إلى مجموعتين غير ضئيلتين. أي، لكل مجموعة مفتوحة غير فارغة${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$المجموعات${\displaystyle U\cap H}$و${\displaystyle U\setminus H}$كلاهما غير هزيلين.

في الفضاء${\displaystyle C([0,1])}$من الدوال الحقيقية المتصلة على${\displaystyle [0,1]}$مع طوبولوجيا التقارب المنتظم ، المجموعة${\displaystyle A}$من الدوال الحقيقية المتصلة على${\displaystyle [0,1]}$إن عدد الدوال التي لها مشتقة عند نقطة ما ضئيل. ^{[ 7 ] [ 8 ]} بما أن${\displaystyle C([0,1])}$إذا كان فضاءً متريًا كاملاً، فهو غير ضئيل. لذا فإن متمم${\displaystyle A}$، والتي تتكون من الدوال الحقيقية المستمرة غير القابلة للتفاضل في أي مكان على${\displaystyle [0,1],}$هي مجموعة مشتركة وغير مشتركة. وبالتحديد، هذه المجموعة ليست فارغة. هذه إحدى طرق إثبات وجود دوال متصلة غير قابلة للتفاضل في أي مكان.

في فضاء باناخ ذي أبعاد لا نهائية، توجد دالة خطية غير متصلة نواتها غير ضئيلة. ^{[ 9 ]} كذلك، وفقًا لمسلمة مارتن ، في كل فضاء باناخ قابل للفصل، توجد دالة خطية غير متصلة نواتها ضئيلة (هذا البيان يدحض حدسية ويلانسكي-كلي ^{[ 10 ]} ). ^{[ 9 ]}

كل فضاء باير غير فارغ هو فضاء غير ضئيل. وبحسب نظرية فئة باير ، ينطبق هذا على الفضاءات المترية الكاملة (الزائفة) غير الفارغة ، وكذلك على فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا . ومع ذلك، توجد فضاءات غير ضئيلة ليست فضاءات باير. ^{[ 6 ]}

كل مجموعة جزئية غير كثيفة في أي مكان هي مجموعة ضئيلة. ^{[ 11 ]} وبالتالي، فإن أي مجموعة جزئية مغلقة من${\displaystyle X}$الذي يقع داخله${\displaystyle X}$الفراغ هو من الفئة الأولى في${\displaystyle X}$(أي أنها مجموعة فرعية ضئيلة من${\displaystyle X}$).

جميع المجموعات الجزئية وجميع الاتحادات القابلة للعد للمجموعات الهزيلة هي مجموعات هزيلة. وبالتالي، تُشكّل المجموعات الجزئية الهزيلة لفضاء ثابت مثالًا مثاليًا من نوع سيجما للمجموعات الجزئية، وهو مفهوم مناسب للمجموعة المهملة . وبالمثل، فإن جميع المجموعات الشاملة وجميع التقاطعات القابلة للعد للمجموعات الهزيلة هي مجموعات شاملة. كل مجموعة شاملة لمجموعة غير هزيلة هي مجموعة غير هزيلة.

التنص نظرية فئة باناش ^{[ 12 ]} على أنه في أي فضاء${\displaystyle X,}$اتحاد أي عائلة من المجموعات المفتوحة من الفئة الأولى هو من الفئة الأولى.

يفترض${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$أين${\displaystyle Y}$هل طوبولوجيا الفضاء الفرعي مستحثة من${\displaystyle X.}$ المجموعة${\displaystyle A}$قد يكون ضئيلاً في${\displaystyle X}$دون أن يكون ضئيلاً في${\displaystyle Y.}$ ومع ذلك، تبقى النتائج التالية قائمة: ^{[ 5 ]}

• لو${\displaystyle A}$ضئيل في${\displaystyle Y,}$ثم${\displaystyle A}$ضئيل في${\displaystyle X.}$
• لو${\displaystyle Y}$مفتوح في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A}$ضئيل في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$ضئيل في${\displaystyle X.}$
• لو${\displaystyle Y}$كثيف في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A}$ضئيل في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$ضئيل في${\displaystyle X.}$

وبالمثل بالنسبة للمجموعات غير الضئيلة:

• لو${\displaystyle A}$غير ضئيل في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A}$غير ضئيل في${\displaystyle Y.}$
• لو${\displaystyle Y}$مفتوح في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A}$غير ضئيل في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$غير ضئيل في${\displaystyle X.}$
• لو${\displaystyle Y}$كثيف في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A}$غير ضئيل في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$غير ضئيل في${\displaystyle X.}$

وعلى وجه الخصوص، كل مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$هذا الشيء الضئيل في حد ذاته هو ضئيل في${\displaystyle X.}$ كل مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$وهذا ليس ضئيلاً في${\displaystyle X}$هي غير ضئيلة في حد ذاتها. وبالنسبة لمجموعة مفتوحة أو مجموعة كثيفة في${\displaystyle X,}$كونه ضئيلاً في${\displaystyle X}$وهو ما يعادل كونه ضئيلاً في حد ذاته، وكذلك بالنسبة للخاصية غير الضئيلة.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة غير ضئيلة إذا وفقط إذا كان كل تقاطع قابل للعد للمجموعات المفتوحة الكثيفة في${\displaystyle X}$غير فارغ. ^{[ 13 ]}

كل مجموعة فرعية غير كثيفة في أي مكان من${\displaystyle X}$هي مجموعة جزئية صغيرة. وبالتالي، فإن أي مجموعة جزئية مغلقة ذات باطن فارغ هي مجموعة جزئية صغيرة. ومن ثم، فإن مجموعة جزئية مغلقة من${\displaystyle X}$هذا من الفئة الثانية في${\displaystyle X}$يجب أن يكون الجزء الداخلي غير فارغ${\displaystyle X}$^{[ 14 ]} (لأنه بخلاف ذلك لن يكون كثيفًا في أي مكان وبالتالي سيكون من الفئة الأولى).

لو${\displaystyle B\subseteq X}$وهي من الفئة الثانية في${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$هي مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$ثم واحد على الأقل${\displaystyle S_{n}}$وهي من الفئة الثانية في${\displaystyle X.}$

تتمتع المجموعات الهزيلة بتوصيف بديل مفيد من حيث لعبة باناش-مازور . لنفترض${\displaystyle Y}$ليكن فضاءً طوبولوجياً،${\displaystyle {\mathcal {W}}}$لتكن عائلة من المجموعات الجزئية من${\displaystyle Y}$التي لها دواخل غير فارغة بحيث أن كل مجموعة مفتوحة غير فارغة لها مجموعة جزئية تنتمي إلى${\displaystyle {\mathcal {W}},}$و${\displaystyle X}$ليكن أي مجموعة جزئية من${\displaystyle Y.}$ ثم هناك لعبة باناش-مازور${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ في لعبة باناش-مازور، يلعب لاعبان،${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q,}$اختر بالتناوب عناصر أصغر تدريجياً من${\displaystyle {\mathcal {W}}}$لإنتاج تسلسل${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ اللاعب${\displaystyle P}$يفوز إذا احتوى تقاطع هذه المتتالية على نقطة في${\displaystyle X}$وإلا، اللاعب${\displaystyle Q}$انتصارات.

تنطبق العديد من الحجج المتعلقة بالمجموعات الهزيلة أيضًا على المجموعات الصفرية ، أي المجموعات ذات القياس اللوبغي 0. تنص نظرية إردوس-سيربينسكي للازدواجية على أنه إذا تحققت فرضية الاستمرارية ، فسيكون هناك انعكاس من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية حيث تكون صورة مجموعة صفرية من الأعداد الحقيقية مجموعة هزيلة، والعكس صحيح. ^{[ 16 ]} في الواقع، تكون صورة مجموعة من الأعداد الحقيقية تحت هذا التطبيق صفرية إذا وفقط إذا كانت المجموعة الأصلية هزيلة، والعكس صحيح. ^{[ 17 ]}

• الفضاء البرميلي - نوع من أنواع الفضاء المتجهي الطوبولوجي 
• الملكية العامة – حيازة الملكية لأمثلة نموذجية ، لنظائرها المتبقية 
• المجموعة المهملة – مجموعة رياضية تُعتبر غير مهمة ، على غرار الضئيلة 
• خاصية باير – الفرق بين مجموعة مفتوحة ومجموعة صغيرة 

• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد.  4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• أوكستوبي، جون سي. (1980). "نظرية باناش للفئات" . القياس والفئات (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ص 62-65 . ISBN  0-387-90508-1.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .