تسلسل شيفر

في الرياضيات ، تُعرف متتالية شيفر أو متتالية القوة بأنها متتالية متعددة الحدود ، أي متتالية ( p _{_n} ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... )    من كثيرات الحدود حيث يساوي دليل كل كثيرة حدود درجتها ، وتُحقق شروطًا متعلقة بحساب الظلال في التوافقية . سُميت هذه المتتاليات نسبةً إلى إيزادور م. شيفر .

لنثبت متتالية متعددة الحدود ( p _n ) .   عرّف مؤثرًا خطيًا Q على متعددات الحدود في x كما يلي: $${\displaystyle Q[p_{n}(x)]=np_{n-1}(x)~.}$$

يُحدد هذا Q على جميع كثيرات الحدود. تُسمى متتالية كثيرات الحدود ( p _n )   متتالية شيفر إذا كان المؤثر الخطي Q المُعرَّف مُتغيرًا تحت الإزاحة ؛ ويكون Q حينها مؤثر دلتا . هنا، نُعرِّف المؤثر الخطي Q على كثيرات الحدود بأنه مُتغير تحت الإزاحة إذا كان، كلما كان f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) "إزاحة" لـ g ( x )، فإن ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a )  ؛ أي أن Q يتبادل مع كل مؤثر إزاحة : T _a Q = QT _a .

مجموعة جميع متتابعات شيفر هي زمرة تخضع لعملية التركيب الظلي لمتتابعات كثيرات الحدود، المعرفة كما يلي. لنفترض أن ( p _{_n} (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... )    و ( q _{_n} (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... )    متتابعتان كثيرتا الحدود، معطاة بـ $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}~.}$$

ثم التركيب الظلي${\displaystyle p\circ q}$هي متتالية كثيرات الحدود التي حدها النوني هو $${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$$( يظهر الرمز السفلي n في p _n ، لأن هذا هو الحد n من تلك المتتالية ، ولكن ليس في q ، لأن هذا يشير إلى المتتالية ككل بدلاً من أحد حدودها).

العنصر المحايد لهذه المجموعة هو الأساس الأحادي القياسي $${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$$

هناك مجموعتان فرعيتان مهمتان : مجموعة متتابعات أبيل ، وهي المتتابعات التي يكون فيها المؤثر Q مجرد تفاضل ، ومجموعة متتابعات النوع ذي الحدين ، وهي المتتابعات التي تحقق المتطابقة $${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ p_{nk}(y)~.}$$ تكون متتالية شيفر ( p _{_n} ( x ) : n = 0, 1, 2, ... )    من النوع ذي الحدين إذا وفقط إذا كان كلاهما $${\displaystyle p_{0}(x)=1\ }$$ و $${\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\mbox{ for }}\quad n\geq 1~.}$$

مجموعة متتابعات أبيل هي مجموعة تبديلية ، بينما مجموعة متتابعات النوع الثنائي ليست كذلك. مجموعة متتابعات أبيل هي مجموعة جزئية طبيعية ، بينما مجموعة متتابعات النوع الثنائي ليست كذلك. مجموعة متتابعات شيفر هي حاصل ضرب شبه مباشر لمجموعة متتابعات أبيل ومجموعة متتابعات النوع الثنائي. يترتب على ذلك أن كل مجموعة مشاركة في مجموعة متتابعات أبيل تحتوي على متتابعة واحدة فقط من النوع الثنائي. تنتمي متتابعتان من متتابعات شيفر إلى نفس المجموعة المشاركة إذا وفقط إذا كان المؤثر Q الموصوف أعلاه - والذي يُسمى " مؤثر دلتا " لتلك المتتابعة - هو نفس المؤثر الخطي في كلتا الحالتين. (عمومًا، مؤثر دلتا هو مؤثر خطي متغير مع الإزاحة على كثيرات الحدود، يُقلل الدرجة بمقدار واحد. يُنسب هذا المصطلح إلى ف. هيلدبراندت).

إذا كانت s _n ( x ) متتالية شيفر و p _n ( x ) هي المتتالية الوحيدة من النوع ذي الحدين التي تشترك في نفس عامل دلتا، فإن $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ p_{k}(x)\ s_{nk}(y)~.}$$

يُعرَّف مصطلح متتالية شيفر أحيانًا بأنه متتالية تربطها هذه العلاقة بمتتالية من النوع ذي الحدين. على وجه الخصوص، إذا كانت ( s _n ( x ) )   متتالية أبيل، فإن $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}\ {n \choose k}\ x^{k}\ s_{nk}(y)~.}$$

تعد متتالية كثيرات حدود هيرميت ، ومتتالية كثيرات حدود برنولي ، والحدود الأحادية ( x ⁿ : n = 0، 1، 2، ... )    أمثلة على متتاليات أبيل.

تتميز متتالية شيفر p _n بدالة توليدها الأسية$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {p_{n}(x)}{n!}}\ t^{n}=A(t)\ \exp \!{\bigl (}\ x\ B(t)\ {\bigr )}\ }$$ حيث A و B عبارة عن متسلسلات قوى ( رسمية ) في t . وبالتالي فإن متتابعات شيفر هي أمثلة على كثيرات حدود أبيل المعممة، ومن ثم لها علاقة تكرارية مرتبطة بها .

تتضمن أمثلة متتابعات كثيرات الحدود التي تُعد متتابعات شيفر ما يلي:

• كثيرات حدود أبيل
• كثيرات حدود برنولي
• كثيرات حدود أويلر
• كثيرات الحدود العاملية المركزية
• كثيرات حدود هيرميت
• كثيرات حدود لاغير
• أحاديات الحدود ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... )
• كثيرات حدود موت
• كثيرات حدود برنولي من النوع الثاني
• العوامل الهابطة والصاعدة
• كثيرات حدود توشارد
• كثيرات الحدود ميتاغ -ليفلر

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متتالية شيفر" . عالم الرياضيات .