مجموعة سيجل المعيارية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة
شريحة ثنائية الأبعاد من فضاء كالابي-ياو الخماسي. أحد هذه الفضاءات الخماسية مكافئ ثنائيًا لضغط تنوع سيجل المعياري A 1,3 (2). [ 1 ]

في الرياضيات، يُعرف فضاء سيجل المعياري أو فضاء سيجل المعياري بأنه فضاء جبري يُستخدم لتمثيل أنواع معينة من الأصناف الأبيلية ذات بُعد ثابت . وبشكل أدق، فإن فضاءات سيجل المعيارية هي فضاءات معيارية للأصناف الأبيلية المستقطبة أساسًا ذات بُعد ثابت. وقد سُميت نسبةً إلى كارل لودفيج سيجل ، عالم نظرية الأعداد الألماني الذي عاش في القرن العشرين، والذي قدم هذه الأصناف عام ١٩٤٣. [ ٢ ] [ ٣ ]

تُعدّ أصناف سيجل المعيارية أبسط الأمثلة على أصناف شيمورا . [ 4 ] تُعمّم أصناف سيجل المعيارية فضاءات المعاملات للمنحنيات الإهليلجية إلى أبعاد أعلى، وتلعب دورًا محوريًا في نظرية الأشكال المعيارية لسيجل ، التي تُعمّم بدورها الأشكال المعيارية الكلاسيكية إلى أبعاد أعلى. [ 1 ] ولها أيضًا تطبيقات في إنتروبيا الثقوب السوداء ونظرية الحقول المطابقة . [ 5 ]

بناء

يمكن بناء المتنوع المعياري لسيجل A g ، الذي يُستخدم لتمثيل المتنوعات الأبيلية المستقطبة أساسًا ذات البعد g ، على أنه فضاء تحليلي معقد مُنشأ كحاصل قسمة نصف الفضاء العلوي لسيجل من الدرجة g بفعل زمرة تماثلية . ترتبط الفضاءات التحليلية المعقدة بشكل طبيعي بمتنوعات جبرية مرتبطة بواسطة GAGA لسير . [ 1 ]

تنشأ مجموعة سيجل المعيارية A g ( n )، التي تُعطي معلمات للمجموعات الأبيلية المستقطبة أساسًا ذات البعد g مع بنية من المستوى n ، كحاصل قسمة نصف الفضاء العلوي لسيجل بفعل المجموعة الفرعية الرئيسية للتطابق من المستوى n لمجموعة سيمبلكتية. [ 1 ]

يمكن أيضًا إنشاء تنوع سيجل المعياري كتنوع شيمورا معرف بواسطة بيانات شيمورا المرتبطة بفضاء متجهي تماثلي . [ 4 ]

ملكيات

تتمتع مجموعة سيجل المعيارية A g ببعد g ( g  +  1)/2. [ 1 ] [ 6 ] علاوة على ذلك، فقد أثبت كل من يونغ-شنغ تاي وإيبرهارد فرايتاغ وديفيد مومفورد أن A g من النوع العام عندما يكون g  ≥  7. [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

يمكن ضغط أصناف سيجل المعيارية للحصول على أصناف إسقاطية . [ 1 ] على وجه الخصوص، فإن ضغط A2 ( 2) مكافئ ثنائيًا للمكعب سيجري ، وهو في الواقع كسري . [ 1 ] وبالمثل، فإن ضغط A2 ( 3) مكافئ ثنائيًا للرباعي بوركهارت، وهو كسري أيضًا. [ 1 ] صنف معياري آخر من سيجل، يُرمز له بـ A1,3 ( 2 )، له ضغط مكافئ ثنائيًا للخماسي بارث-نييتو ، وهو مكافئ ثنائيًا لمتشعب كالابي-ياو المعياري ذي بُعد كودايرا صفري. [ 1 ]

لا يمكن أن تكون أصناف سيجل المعيارية غير تبديلية . [ 10 ]

التطبيقات

تنشأ الأشكال المعيارية لسيجل كأشكال تفاضلية ذات قيم متجهة على أصناف سيجل المعيارية. [ 1 ] وقد استُخدمت أصناف سيجل المعيارية في نظرية الحقول المطابقة عبر نظرية الأشكال المعيارية لسيجل. [ 11 ] في نظرية الأوتار ، تُعد الدالة التي تُجسد بشكل طبيعي الحالات المجهرية لإنتروبيا الثقب الأسود في نظام D1D5P للثقوب السوداء فائقة التناظر شكلاً معيارياً لسيجل. [ 5 ]

في عام ١٩٦٨، أثبت أليكسي بارشين صحة حدسية مورديل (المعروفة الآن بنظرية فالتينغز) إذا كانت حدسية شافاريفيتش للحدودية صحيحة، وذلك باستخدام حيلة بارشين. [ ١٢ ] [ ١٣ ] وفي عامي ١٩٨٣ و١٩٨٤، أكمل جيرد فالتينغز برهان حدسية مورديل بإثبات حدسية شافاريفيتش للحدودية. [ ١٤ ] [ ١٥ ] [ ١٣ ] وتتمثل الفكرة الرئيسية لبرهان فالتينغز في مقارنة ارتفاعات فالتينغز والارتفاعات البسيطة باستخدام أصناف سيجل المعيارية. [ ١٦ ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 هوليك، كلاوس ؛ سانكاران، جي كي (2002). "هندسة أصناف سيجل المعيارية" . الهندسة الثنائية النسبية ذات الأبعاد العليا . دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة. المجلد  35. الصفحات 89-156 . arXiv : math/9810153 . doi : 10.2969/aspm/03510089 . ISBN  978-4-931469-85-3. S2CID 119595519 . 
  2. ↑ أودا، تاكايوكي (2014). "تقاطعات جدارين من المجال الأساسي لغوتشلينغ لمجموعة سيغل المعيارية من النوع الثاني". في: هايم، برنارد؛ البالي، محي الدين؛ روب، فلوريان (محررون). الأشكال التلقائية، بحوث في نظرية الأعداد من عُمان . وقائع سبرينغر في الرياضيات والإحصاء. المجلد 115. سبرينغر. الصفحات 193-221 . doi : 10.1007/978-3-319-11352-4_15 . ISBN   978-3-319-11352-4.
  3. ↑ سيجل، كارل لودفيج (1943). "الهندسة التبسيطية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 65 (1). مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 1-86 . doi : 10.2307/2371774 . JSTOR 2371774 . 
  4. 1 2 ميلن، جيمس س. (2005). "مقدمة في أصناف شيمورا" (ملف PDF) . في آرثر، جيمس؛ إلوود، ديفيد؛ كوتويتز، روبرت (محررون). التحليل التوافقي، صيغة الأثر، وأصناف شيمورا . وقائع مؤتمر كلاي للرياضيات. المجلد 4. الجمعية الأمريكية للرياضيات ومعهد كلاي للرياضيات. الصفحات 265-378 . ISBN   978-0-8218-3844-0.
  5. 1 2 بيلين، ألكسندر؛ كاسترو، أليخاندرا؛ غوميز، جواو؛ كيلر، كريستوف أ. (11 أبريل 2017). "أشكال سيجل المعيارية وإنتروبيا الثقب الأسود" (ملف PDF) . مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Bibcode : 2017JHEP...04..057B . doi : 10.1007/JHEP04(2017)057 . S2CID 53684898 . انظر القسم 1 من الورقة.
  6. ↑ فان دير جير، جيرارد (2013). "علم التماثل لفضاء المعاملات للأصناف الأبيلية". في: فاركاس، جافريل؛ موريسون، إيان (محرران). دليل المعاملات، المجلد 1. المجلد 24. سومرفيل، ماساتشوستس: دار النشر الدولية. arXiv : 1112.2294 . ISBN  9781571462572.
  7. ^ تاي ، يونج شنغ (1982). "في بُعد Kodaira للمساحة المعيارية للأصناف الأبيلية" . اختراعات الرياضيات . 68 (3): 425– 439. بيب كود : 1982InMat..68..425T . دوى : 10.1007/BF01389411 . S2CID 120441933 . 
  8. ^ فريتاج ، إيبرهارد (1983). تعديل الوظائف . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (باللغة الألمانية). المجلد. 254. سبرينغر-فيرلاغ. دوى : 10.1007/978-3-642-68649-8 . رقم ISBN  978-3-642-68650-4.
  9. ↑ مامفورد، ديفيد (1983). "حول بُعد كودايرا لمتنوعة سيجل النمطية". في: سيليبيرتو، سي.؛ غيون، إف.؛ أوريكيا، إف. (محررون). الهندسة الجبرية - مسائل مفتوحة، وقائع المؤتمر المنعقد في رافيلو، 31 مايو - 5 يونيو 1982. سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 997. سبرينغر. الصفحات 348-375 . doi : 10.1007/BFb0061652 . ISBN   978-3-540-12320-0.
  10. ↑ إيهارا، ياسوتاكا ؛ ناكامورا، هيروآكي (1997). "بعض الأمثلة التوضيحية للهندسة غير التبادلية في الأبعاد العالية". في: شنابس، ليلى ؛ لوشاك، بيير (محرران). أفعال غالوا الهندسية 1: حول رسم غروتينديك لبرنامج . سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية. المجلد 242. مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 127-138 . doi : 10.1017/CBO9780511758874.010 . ISBN   978-0-521-59642-8.
  11. ↑ بيلين، ألكسندر؛ كاسترو، أليخاندرا؛ غوميز، جواو؛ كيلر، كريستوف أ. (7 نوفمبر 2018). "أشكال سيجل شبه المعيارية والتباعد في AdS3/CFT2". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Bibcode : 2018JHEP...11..037B . doi : 10.1007/JHEP11(2018)037 . S2CID 54936474 . 
  12. ↑ بارشين، أ.ن. (1968). "المنحنيات الجبرية فوق حقول الدوال I" (ملف PDF) . إزف. أكاد. ناوك إس إس إس آر سير. مات. 32 (5): 1191– 1219. Bibcode : 1968IzMat...2.1145P . doi : 10.1070/IM1968v002n05ABEH000723 .
  13. 1 2 كورنيل، غاري؛ سيلفرمان، جوزيف هـ. ، محرران. (1986). الهندسة الحسابية. أوراق من المؤتمر الذي عُقد في جامعة كونيتيكت، ستورز، كونيتيكت، 30 يوليو - 10 أغسطس 1984. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1. MR 0861969 . 
  14. ^ فالتينجس ، جيرد (1983). " Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern " [ نظريات النهاية للأصناف الأبيلية على حقول الأعداد ] . اختراعات الرياضيات (في المانيا). 73 (3): 349– 366. بيب كود : 1983InMat..73..349F . دوى : 10.1007/BF01388432 . السيد 0718935 . S2CID 121049418 .  
  15. ^ فالتينجس، جيرد (1984). "خطأ: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . اختراعات الرياضيات (في المانيا). 75 (2): 381. دوى : 10.1007/BF01388572 . السيد 0732554 . 
  16. ↑ «يربط فالتينغز بين مفهومي الارتفاع باستخدام فضاء معاملات سيجل... وهي الفكرة الرئيسية للبرهان». بلوخ، سبنسر (1984). «برهان حدسية مورديل» (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الذكية . 6 (2): 44. doi : 10.1007/BF03024155 . S2CID 306251. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2019-03-03.