نظرية الكشف

مفهوميًا، تشير الحساسية إلى مدى سهولة أو صعوبة اكتشاف وجود محفز مستهدف من بين الأحداث المحيطة. على سبيل المثال، في نموذج ذاكرة التعرف، يُسهّل توفر وقت أطول لدراسة الكلمات المراد تذكرها التعرف على الكلمات التي سبق رؤيتها أو سماعها. في المقابل، يُصعّب تذكر 30 كلمة بدلًا من 5 عملية التمييز. يُعدّ مؤشر الحساسية ( d') أحد أكثر الإحصاءات شيوعًا لحساب الحساسية . كما توجد مقاييس غير معلمية ، مثل المساحة تحت منحنى ROC . ^{[ 6 ]}

التحيز هو مدى ترجيح استجابة معينة على أخرى، وذلك بأخذ المتوسط ​​في حالتي وجود المحفز وغيابه. بمعنى آخر، قد يكون المتلقي أكثر ميلاً للاستجابة بوجود المحفز أو عدم وجوده. التحيز مستقل عن الحساسية. قد يكون التحيز مرغوباً فيه إذا كانت الإنذارات الكاذبة والإخفاقات تؤدي إلى تكاليف مختلفة. على سبيل المثال، إذا كان المحفز عبارة عن مفجر، فإن الإخفاق في اكتشافه قد يكون أكثر تكلفة من الإنذار الكاذب، مما يجعل التحيز نحو الاستجابة المتساهلة مرغوباً فيه. في المقابل، قد يؤدي إطلاق الإنذارات الكاذبة بشكل متكرر (الصراخ الكاذب) إلى تقليل احتمالية استجابة الناس، وهي مشكلة يمكن الحد منها من خلال التحيز نحو الاستجابة المتحفظة.

يُعدّ الاستشعار المضغوط مجالًا آخر وثيق الصلة بنظرية كشف الإشارات. يهدف الاستشعار المضغوط إلى استعادة الكيانات عالية الأبعاد ذات التعقيد المنخفض من عدد قليل من القياسات. ولذلك، يُعدّ استعادة الإشارات عالية الأبعاد المعروفة بأنها متفرقة (أو شبه متفرقة) باستخدام عدد قليل من القياسات الخطية من أهم تطبيقات الاستشعار المضغوط. يقلّ عدد القياسات اللازمة لاستعادة الإشارات بشكل كبير عما تتطلبه نظرية نايكويست لأخذ العينات، شريطة أن تكون الإشارة متفرقة، أي أنها لا تحتوي إلا على عدد قليل من العناصر غير الصفرية. توجد طرق مختلفة لاستعادة الإشارات في الاستشعار المضغوط، منها البحث الأساسي ، وخوارزمية الاستعادة الموسعة ^{[ 11 ]} ، وCoSaMP ^{[ 12 ]} ، بالإضافة إلى خوارزمية سريعة غير تكرارية ^{[ 13 ]} . في جميع طرق الاستعادة المذكورة أعلاه، يُعدّ اختيار مصفوفة القياس المناسبة، باستخدام الإنشاءات الاحتمالية أو الحتمية، أمرًا بالغ الأهمية. بمعنى آخر، يجب أن تستوفي مصفوفات القياس شروطًا محددة معينة مثل RIP (خاصية التساوي المقيد) أو خاصية الفضاء الصفري من أجل تحقيق استعادة متفرقة قوية.

في حالة اتخاذ قرار بين فرضيتين ، H1 (غياب) و H2 (وجود)، عند رصد قيمة معينة y ، يتمثل النهج التقليدي في اختيار H1 عندما يكون احتمال (H1|y) أكبر من احتمال (H2|y) ، واختيار H2 في الحالة المعاكسة. ^{[ 14 ]} في حال تساوي الاحتمالين اللاحقين ، يمكن اختيار أحد الخيارين تلقائيًا (إما اختيار H1 دائمًا أو اختيار H2 دائمًا )، أو اختيار أحدهما عشوائيًا . ويمكن الاسترشاد بالاحتمالين القبليين H1 و H2 في هذا الاختيار، على سبيل المثال ، باختيار الفرضية ذات الاحتمال القبلي الأعلى دائمًا.

عند اتباع هذا النهج، عادةً ما يكون ما يعرفه المرء هو الاحتمالات الشرطية، p(y|H1) و p(y|H2) ، والاحتمالات المسبقة.${\displaystyle p(H1)=\pi _{1}}$و${\displaystyle p(H2)=\pi _{2}}$في هذه الحالة،

${\displaystyle p(H1|y)={\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y)}}}$،

${\displaystyle p(H2|y)={\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y)}}}$

حيث p(y) هي الاحتمالية الكلية للحدث y ،

${\displaystyle p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}$.

يتم اختيار H2 في حالة

${\displaystyle {\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}\geq {\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$

و H1 خلاف ذلك.

في كثير من الأحيان، النسبة${\displaystyle {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \tau _{MAP}}$و${\displaystyle {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle L(y)}$، نسبة الاحتمالية .

باستخدام هذه المصطلحات، يتم اختيار H2 في حالة${\displaystyle L(y)\geq \tau _{MAP}}$يُطلق على هذا اسم اختبار MAP، حيث يرمز MAP إلى "الحد الأقصى اللاحق ".

اتباع هذا النهج يقلل من العدد المتوقع للأخطاء التي قد يرتكبها المرء.

في بعض الحالات، يكون الاستجابة المناسبة للفرضية الأولى (H1) أهم بكثير من الاستجابة المناسبة للفرضية الثانية (H2) . على سبيل المثال، إذا انطلق إنذار يشير إلى الفرضية الأولى (H1) (أن قاذفة قنابل قادمة تحمل سلاحًا نوويًا )، فإن إسقاط القاذفة يكون أكثر أهمية بكثير إذا كانت الفرضية الأولى صحيحة (H1 = TRUE) من تجنب إرسال سرب مقاتل للتحقق من إنذار كاذب (أي، الفرضية الأولى خاطئة، والفرضية الثانية صحيحة) (بافتراض وجود عدد كبير من أسراب المقاتلات). يُعد معيار بايز منهجًا مناسبًا لمثل هذه الحالات. ^{[ 14 ]}

هنا يتم ربط منفعة بكل حالة من الحالات الأربع التالية:

• ${\displaystyle U_{11}}$: يستجيب المرء بسلوك مناسب للفرضية H1، والفرضية H1 صحيحة: المقاتلون يدمرون القاذفة، ويتكبدون تكاليف الوقود والصيانة والأسلحة، ويخاطرون بإسقاط بعضها؛
• ${\displaystyle U_{12}}$: يستجيب المرء بسلوك مناسب للفرضية H1، والفرضية H2 صحيحة: يتم إرسال المقاتلات، مما يؤدي إلى تكبد تكاليف الوقود والصيانة، ويبقى موقع القاذفة مجهولاً؛
• ${\displaystyle U_{21}}$: يستجيب المرء بسلوك مناسب للفرضية الثانية (H2) وتكون الفرضية الأولى (H1) صحيحة: تدمير المدينة؛
• ${\displaystyle U_{22}}$: يستجيب المرء بسلوك مناسب لـ H2 ويكون H2 صحيحًا: تبقى المقاتلات في الوطن، ويبقى موقع القاذفة مجهولًا؛

كما هو موضح أدناه، فإن الأهم هو الاختلافات.${\displaystyle U_{11}-U_{21}}$و${\displaystyle U_{22}-U_{12}}$.

وبالمثل، هناك أربعة احتمالات،${\displaystyle P_{11}}$،${\displaystyle P_{12}}$إلخ، لكل حالة من الحالات (التي تعتمد على استراتيجية اتخاذ القرار).

يتمثل نهج معيار بايز في تعظيم المنفعة المتوقعة:

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+P_{21}\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+P_{22}\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+(1-P_{11})\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+(1-P_{12})\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=U_{21}+U_{22}+P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$

بمعنى آخر، يمكن للمرء أن يزيد المجموع إلى أقصى حد.

${\displaystyle U'=P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$،

وقم بإجراء الاستبدالات التالية:

${\displaystyle P_{11}=\pi _{1}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H1)\,dy}$

${\displaystyle P_{12}=\pi _{2}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H2)\,dy}$

أين${\displaystyle \pi _{1}}$و${\displaystyle \pi _{2}}$هي الاحتمالات المسبقة ،${\displaystyle P(H1)}$و${\displaystyle P(H2)}$، و${\displaystyle R_{1}}$هي منطقة أحداث الملاحظة، y ، التي يتم الاستجابة لها كما لو كانت H1 صحيحة.

${\displaystyle \Rightarrow U'=\int _{R_{1}}\left\{\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\right\}\,dy}$

${\displaystyle U'}$وبالتالي${\displaystyle U}$يتم تحقيق أقصى استفادة من خلال التمديد${\displaystyle R_{1}}$في المنطقة التي

${\displaystyle \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)>0}$

ويتحقق ذلك من خلال تحديد H2 في حالة

${\displaystyle \pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\geq \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)}$

${\displaystyle \Rightarrow L(y)\equiv {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})}{\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})}}\equiv \tau _{B}}$

و H1 خلاف ذلك، حيث L(y) هي نسبة الاحتمال المحددة على هذا النحو .

• كورين، إس.، وارد، إل إم، إينز، جيه تي (1994) الإحساس والإدراك . (الطبعة الرابعة) تورنتو: هاركورت بريس.
• كاي، إس إم. أساسيات معالجة الإشارات الإحصائية: نظرية الكشف ( ISBN 0-13-504135-X)
• McNichol, D. (1972) A Primer of Signal Detection Theory . London: George Allen & Unwin.
• فان تريز، إتش إل. الكشف والتقدير ونظرية التعديل، الجزء 1 ( ISBN) 0-471-09517-6؛ موقع إلكتروني )
• ويكنز، توماس د.، (2002) نظرية الكشف عن الإشارات الأولية . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ( ISBN) 0-19-509250-3)