نظريات بسيطة في جبر المجموعات
تعتبر النظريات البسيطة في جبر المجموعات بعض الخصائص الأساسية لجبر الاتحاد ( عامل الوسط : ∪)، والتقاطع (عامل الوسط : ∩ )، ومكمل المجموعة ( اللاحقة ') للمجموعات.
تفترض هذه الخصائص وجود مجموعتين على الأقل: مجموعة شاملة معطاة ، يُرمز لها بـ U ، ومجموعة فارغة ، يُرمز لها بـ {}. يصف جبر المجموعات خصائص جميع المجموعات الجزئية الممكنة من U ، والتي تُسمى مجموعة القوى لـ U ويُرمز لها بـ P ( U ). يُفترض أن P ( U ) مغلقة تحت عمليات الاتحاد والتقاطع ومتممة المجموعة. يُعد جبر المجموعات تفسيرًا أو نموذجًا للجبر البولياني ، حيث يُفسر كل من الاتحاد والتقاطع ومتممة المجموعة و U و{} المجموع البولياني والضرب والمتممة والواحد والصفر على التوالي .
الخصائص المذكورة أدناه غير مُثبتة ، ولكن يمكن استنتاجها من عدد قليل من الخصائص المُعتبرة بديهيات . يشير الرمز "*" إلى تفسير جبر المجموعات لمجموعة المسلمات الكلاسيكية لهنتنغتون (1904) في الجبر البولياني . يمكن تمثيل هذه الخصائص بيانيًا باستخدام مخططات فين . وهي أيضًا ناتجة عن كون P ( U ) شبكة بوليانية . أما الخصائص التي يليها الرمز "L" فتُفسر بديهيات الشبكة .
قد تُوحي بعض مقررات الرياضيات المتقطعة الابتدائية للطلاب بأن موضوع نظرية المجموعات لا يتجاوز هذه الخصائص. لمزيد من المعلومات حول نظرية المجموعات الابتدائية، انظر: المجموعة ، نظرية المجموعات ، جبر المجموعات ، ونظرية المجموعات البسيطة . وللحصول على مقدمة في نظرية المجموعات على مستوى أعلى، انظر أيضًا: نظرية المجموعات البديهية ، العدد الأصلي ، العدد الترتيبي ، نظرية كانتور-بيرنشتاين-شرودر ، حجة كانتور القطرية ، برهان كانتور الأول على عدم قابلية العد ، نظرية كانتور ، نظرية الترتيب الجيد ، بديهية الاختيار ، ومبرهنة زورن .
تتضمن الخصائص أدناه عملية ثنائية محددة، وهي المتمم النسبي ، ويرمز لها بالمعامل الوسطي "\". يُعرَّف "المتمم النسبي لـ A في B "، ويرمز له بـ B \ A ، على أنه ( A ∪ B ′ ) ′ و A ′ ∩ B.
الاقتراح 1. لأي مجموعة U وأي مجموعة جزئية A من U :
- {} ′ = U ;
- 'U' ′ = {};
- A \ {} = A ;
- {} \ A = {};
- A ∩ {} = {};
- A ∪ {} = A ; *
- A ∩ U = A ; *
- A ∪ U = U ;
- A ′ ∪ A = U ; *
- A ′ ∩ A = {}; *
- أ \ أ = {};
- U \ A = A ′ ;
- A \ U = {};
- A ′ ′ = A ;
- A ∩ A = A ;
- A ∪ A = A .
الاقتراح 2. لأي مجموعات A و B و C :
- A ∩ B = B ∩ A ; * L
- أ ∪ ب = ب ∪ أ ؛ * ل
- A ∪ ( A ∩ B ) = A ; L
- A ∩ ( A ∪ B ) = A ; L
- ( أ ∪ ب ) \ أ = ب \ أ ؛
- A ∩ B = {} إذا وفقط إذا كان B \ A = B ؛
- ( A ′ ∪ B ) ′ ∪ ( A ′ ∪ B ′ ) ′ = A ;
- ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )؛ L
- ( أ ∪ ب ) ∪ ج = أ ∪ ( ب ∪ ج )؛ ل
- C \ ( A ∩ B ) = ( C \ A ) ∪ ( C \ B );
- C \ ( A ∪ B ) = ( C \ A ) ∩ ( C \ B );
- C \ ( B \ A ) = ( C \ B ) ∪( C ∩ A );
- ( B \ A ) ∩ C = ( B ∩ C ) \ A = B ∩ ( C \ A );
- ( B \ A ) ∪ C = ( B ∪ C ) \ ( A \ C ).
قوانين التوزيع :
- A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )؛ *
- A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ). *
الاقتراح 3. بعض خصائص ⊆:
- A ⊆ B إذا وفقط إذا كان A ∩ B = A ؛
- A ⊆ B إذا وفقط إذا كان A ∪ B = B ؛
- A ⊆ B إذا وفقط إذا كان B ′ ⊆ A ′ ؛
- A ⊆ B إذا وفقط إذا كان A \ B = {};
- A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B .
انظر أيضاً
- قائمة هويات المجموعات وعلاقاتها – معادلات لتراكيب المجموعات
مراجع
- إدوارد هنتنغتون (1904) "مجموعات من المسلمات المستقلة لجبر المنطق"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية 5: 288-309.
- وايتسيت، جيه إي (1961) الجبر البولياني وتطبيقاته . أديسون-ويسلي. طبعة دوفر المعاد طباعتها، 1999.
- العمليات على المجموعات