مجموعة عالمية

الموسوعة الحرة

في نظرية المجموعات ، تُعرَّف المجموعة الشاملة بأنها مجموعة تحتوي على جميع عناصر النظرية، بما في ذلك المجموعة نفسها. [ 1 ] في نظرية المجموعات بصيغتها المعتادة، يمكن إثبات عدم وجود مجموعة شاملة بطرق متعددة. مع ذلك، تتضمن بعض الصيغ غير القياسية لنظرية المجموعات مفهوم المجموعة الشاملة.

أسباب عدم الوجود

لا تسمح العديد من نظريات المجموعات بوجود مجموعة شاملة. وهناك عدة حجج مختلفة لعدم وجودها، تستند إلى اختيارات مختلفة من البديهيات في نظرية المجموعات.

مفارقة راسل

تتعلق مفارقة راسل باستحالة وجود مجموعة من المجموعات، جميع عناصرها مجموعات لا تحتوي على نفسها. فلو أمكن وجود مثل هذه المجموعة، لما استطاعت احتواء نفسها (لأن عناصرها لا تحتوي على نفسها) ولا تجنب احتواء نفسها (لأنها لو احتوت على نفسها، لكانت من ضمن عناصرها). [ 2 ] تمنع هذه المفارقة وجود مجموعة شاملة في نظريات المجموعات التي تتضمن إما بديهية زيرميلو للفهم المقيد ، أو بديهية الانتظام وبديهية الاقتران .

الانتظام والاقتران

في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، تمنع بديهية الانتظام وبديهية الاقتران أي مجموعة من احتواء نفسها. لأي مجموعةأ{\displaystyle A}المجموعة{أ}{\displaystyle \{A\}}(التي تم إنشاؤها باستخدام الاقتران) تحتوي بالضرورة على عنصر منفصل عن{أ}{\displaystyle \{A\}}بالانتظام. لأن عنصرها الوحيد هوأ{\displaystyle A}، لا بد أن يكون الأمر كذلكأ{\displaystyle A}منفصل عن{أ}{\displaystyle \{A\}}وبالتالي فإنأ{\displaystyle A}لا تحتوي على نفسها. ولأن المجموعة الشاملة تحتوي بالضرورة على نفسها، فلا يمكن أن توجد في ظل هذه البديهيات. [ 3 ]

فهم

تمنع مفارقة راسل وجود مجموعة شاملة في نظريات المجموعات التي تتضمن بديهية زيرميلو للفهم المقيد . تنص هذه البديهية على أنه لأي صيغةφ(x){\displaystyle \varphi (x)}وأي مجموعةأ{\displaystyle A}، توجد مجموعة {x∈أ|φ(x)}{\displaystyle \{x\in A\mid \varphi (x)\}} التي تحتوي على تلك العناصر تحديداx{\displaystyle x}لأ{\displaystyle A}ذلك يرضيφ{\displaystyle \varphi }[ 2 ]​

إذا أمكن تطبيق هذه البديهية على مجموعة شاملةأ{\displaystyle A}، معφ(x){\displaystyle \varphi (x)}يُعرَّف بأنه المسندx∉x{\displaystyle x\notin x}[2]، سيؤدي ذلك إلى إثبات وجود مجموعة راسل المتناقضة، مما يُنتج تناقضًا. هذا التناقض هو الذي دفع إلى صياغة بديهية الفهم في شكلها المُقيد، حيث تؤكد وجود مجموعة جزئية من مجموعة مُعطاة بدلاً من وجود مجموعة من جميع المجموعات التي تُحقق صيغة مُعطاة .

عند تطبيق بديهية الفهم المقيد على مجموعة عشوائيةأ{\displaystyle A}، مع المسندφ(x)≡x∉x{\displaystyle \varphi (x)\equiv x\notin x}، ينتج مجموعة فرعية من عناصرأ{\displaystyle A}التي لا تحتوي على نفسها. لا يمكن أن تكون عضواً فيأ{\displaystyle A}لأنه لو كان كذلك، لكان سيُعتبر جزءًا من ذاته بحكم تعريفه، مما يناقض حقيقة أنه لا يستطيع احتواء نفسه. وبهذه الطريقة، يُمكن بناء شاهد على عدم عالميةأ{\displaystyle A}حتى في نسخ نظرية المجموعات التي تسمح للمجموعات باحتواء نفسها. وينطبق هذا بالفعل حتى مع الفهم الإسنادي والمنطق الحدسي .

نظرية كانتور

ثمة صعوبة أخرى تتعلق بفكرة المجموعة الشاملة، وهي مجموعة القوى لمجموعة جميع المجموعات. ولأن مجموعة القوى هذه هي مجموعة من المجموعات، فإنها ستكون بالضرورة مجموعة جزئية من مجموعة جميع المجموعات، شريطة وجود كلتيهما. إلا أن هذا يتعارض مع نظرية كانتور التي تنص على أن مجموعة القوى لأي مجموعة (سواء كانت لانهائية أم لا) يكون عدد عناصرها دائمًا أكبر من عدد عناصر المجموعة نفسها.

نظريات العالمية

يمكن تجنب الصعوبات المرتبطة بالمجموعة الشاملة إما باستخدام شكل مختلف من نظرية المجموعات حيث يتم تقييد بديهية الفهم بطريقة ما، أو باستخدام كائن شامل لا يعتبر مجموعة.

فهم محدود

توجد نظريات مجموعات معروفة بأنها متسقة (إذا كانت نظرية المجموعات المعتادة متسقة) حيث توجد المجموعة الشاملة V (وV∈V{\displaystyle V\in V}صحيح). في هذه النظريات، لا تنطبق بديهية زيرميلو للفهم بشكل عام، كما أن بديهية فهم نظرية المجموعات البسيطة مقيدة بطريقة مختلفة. إن نظرية المجموعات التي تحتوي على مجموعة شاملة هي بالضرورة نظرية مجموعات غير مؤسسة . تُعد نظرية " الأسس الجديدة " لويلارد فان أورمان كواين أكثر نظريات المجموعات التي دُرست على نطاق واسع والتي تحتوي على مجموعة شاملة . كما نشر ألونسو تشيرش وأرنولد أوبيرشيلب أعمالًا حول هذه النظريات. تكهن تشيرش بإمكانية توسيع نظريته بطريقة تتوافق مع نظرية كواين، [ 4 ] لكن هذا غير ممكن بالنسبة لنظرية أوبيرشيلب، لأن دالة المفردة فيها هي مجموعة قابلة للإثبات، [ 5 ] مما يؤدي مباشرة إلى مفارقة في نظرية "الأسس الجديدة". [ 6 ]

مثال آخر هو نظرية المجموعات الموجبة ، حيث يقتصر مبدأ الفهم على الصيغ الموجبة فقط (الصيغ التي لا تحتوي على نفي). وتستند هذه النظريات إلى مفاهيم الإغلاق في علم الطوبولوجيا.

الكائنات الشاملة التي ليست مجموعات

تبدو فكرة المجموعة الشاملة مرغوبة بديهيًا في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، لا سيما وأن معظم نسخ هذه النظرية تسمح باستخدام المُكمِّمات على جميع المجموعات (انظر المُكمِّم الشامل ). إحدى طرق السماح بوجود كائن يتصرف بشكل مشابه للمجموعة الشاملة، دون إحداث مفارقات، هي وصف V والمجموعات الكبيرة المماثلة كفئات حقيقية بدلًا من كونها مجموعات. لا تنطبق مفارقة راسل في هذه النظريات لأن بديهية الفهم تعمل على المجموعات، لا على الفئات.

يمكن اعتبار فئة المجموعات أيضًا كائنًا شاملًا، وهو ليس مجموعة بحد ذاته. فهو يضم جميع المجموعات كعناصر، ويتضمن أيضًا أسهمًا لجميع الدوال من مجموعة إلى أخرى. ومرة ​​أخرى، فهو لا يحتوي نفسه، لأنه ليس مجموعة بحد ذاته.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • سينزر، دوغلاس؛ لارسون، جين؛ بورتر، كريستوفر؛ زابليتال، جيندريش (2020). نظرية المجموعات وأسس الرياضيات: مقدمة في المنطق الرياضي . وورلد ساينتيفيك. ص  2. doi : 10.1142/11324 . ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID 208131473 . 
  • تشرش، ألونسو (1974). "نظرية المجموعات مع مجموعة شاملة". وقائع ندوة تارسكي: ندوة دولية عُقدت في جامعة كاليفورنيا، بيركلي، في الفترة من 23 إلى 30 يونيو 1971، تكريمًا لألفريد تارسكي بمناسبة عيد ميلاده السبعين . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة. المجلد  25. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 297-308 . MR 0369069 .  
  • فورستر، تي إي (1995). نظرية المجموعات مع مجموعة شاملة: استكشاف عالم غير مصنف . أدلة أكسفورد المنطقية. المجلد  31. مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-851477-8.
  • فورستر، توماس (2001). "نظرية المجموعات لتشرش مع مجموعة شاملة" . في: أندرسون، سي. أنتوني؛ زيليني، مايكل (محرران). المنطق والمعنى والحوسبة: مقالات في ذكرى ألونسو تشرش . مكتبة سينثيز. المجلد  305. دوردريخت: كلوير أكاديميك بابليشرز. الصفحات 109-138 . MR 2067968 .  
  • هولمز، م. راندال (1998). نظرية المجموعات الأولية مع مجموعة عالمية . Cahiers du Centre de Logique [تقارير مركز المنطق]. المجلد.  10. الجامعة الكاثوليكية في لوفان، قسم الفلسفة، لوفان لا نوف. رقم ISBN 2-87209-488-1MR 1759289​​ 
  • إيرفين، أندرو ديفيد؛ دويتش، هاري (ربيع 2021). "مفارقة راسل" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة .
  • أوبرشيلب، أرنولد (1973). وضع النظرية على الطبقات . أطروحات الرياضيات (Rozprawy Matematyczne). المجلد.  106. معهد Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. السيد 0319758 . 
  • ويلارد فان أورمان كواين (1937) "أسس جديدة للمنطق الرياضي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 44، ص  70-80.
  • شيريدان، فلاش (2016). "صيغة معدلة لنظرية مجموعات تشيرش مع مجموعة شاملة تكون فيها دالة المفرد مجموعة" ( ملف PDF) . المنطق والتحليل . 59 (233): 81-131 . JSTOR 26767819. MR 3524800 .