دائرة عظيمة

في الرياضيات ، الدائرة العظمى أو ^المسار المستقيم هي التقاطع الدائري بين كرة ومستوى يمر بمركز الكرة . ^{[ 1 ]} [ ^{2 ]}

أي قوس من دائرة عظمى هو خط جيوديسي على سطح الكرة، ولذلك تُعدّ الدوائر العظمى في الهندسة الكروية النظير الطبيعي للخطوط المستقيمة في الفضاء الإقليدي . لكل زوج من النقاط غير المتقابلة على سطح الكرة، توجد دائرة عظمى واحدة تمر بكلتيهما. (كل دائرة عظمى تمر بأي نقطة تمر أيضًا بنقطتها المقابلة، لذا يوجد عدد لا نهائي من الدوائر العظمى التي تمر بنقطتين متقابلتين). يُسمى أقصر قوس من قوسي الدائرة العظمى بين نقطتين مختلفتين على سطح الكرة بالقوس الأصغر ، وهو أقصر مسار سطحي بينهما. طول هذا القوس هو المسافة على سطح الكرة بين النقطتين ( المسافة الذاتية على سطح الكرة)، ويتناسب مع قياس الزاوية المركزية المتكونة بين النقطتين ومركز الكرة.

الدائرة العظمى هي أكبر دائرة يمكن رسمها على أي كرة. يتطابق أي قطر لأي دائرة عظمى مع قطر الكرة، ولذلك فإن كل دائرة عظمى تكون متحدة المركز مع الكرة ولها نفس نصف القطر . تُسمى أي دائرة أخرى على الكرة دائرة صغرى ، وهي نقطة تقاطع الكرة مع مستوى لا يمر بمركزها. الدوائر الصغرى هي النظير الهندسي الكروي للدوائر في الفضاء الإقليدي.

كل دائرة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هي دائرة عظمى مكونة من كرة واحدة بالضبط.

يُطلق على القرص المحصور بدائرة عظمى اسم القرص العظيم : وهو تقاطع كرة مع مستوى يمر بمركزها. في الأبعاد الأعلى، تُمثل الدوائر العظمى على الكرة ^ذات البعد n تقاطع الكرة ذات البعد n مع مستويين يمران بنقطة الأصل في الفضاء ^{الإقليدي} Rⁿ⁺¹ .

يمكن تسمية نصف الدائرة العظمى بنصف دائرة عظمى (على سبيل المثال، كما هو الحال في أجزاء من خط الزوال في علم الفلك ).

لإثبات أن القوس الأصغر لدائرة عظمى هو أقصر مسار يربط بين نقطتين على سطح الكرة، يمكن تطبيق حساب التفاضل والتكامل عليه.

ضع في اعتبارك فئة جميع المسارات المنتظمة من نقطة ما${\displaystyle p}$إلى نقطة أخرى${\displaystyle q}$أدخل الإحداثيات الكروية بحيث${\displaystyle p}$يتطابق مع القطب الشمالي. يمكن تمثيل أي منحنى على الكرة لا يتقاطع مع أي من القطبين، باستثناء ربما عند نقاط النهاية، بواسطة

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

متاح${\displaystyle \phi }$يُسمح لها بأخذ قيم حقيقية عشوائية. طول القوس المتناهي الصغر في هذه الإحداثيات هو

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

إذن طول المنحنى${\displaystyle \gamma }$من${\displaystyle p}$ل${\displaystyle q}$هي دالة للمنحنى المعطى بواسطة

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

وفقًا لمعادلة أويلر-لاغرانج ،${\displaystyle S[\gamma ]}$يتم تقليلها إلى الحد الأدنى إذا وفقط إذا

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$،

أين${\displaystyle C}$هو${\displaystyle t}$ثابت مستقل، و

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^ {2}\ثيتا }}}.}$

من المعادلة الأولى من هاتين المعادلتين، يمكن استنتاج ما يلي:

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

بإجراء التكامل على كلا الطرفين مع مراعاة شرط الحدود، يكون الحل الحقيقي لـ${\displaystyle C}$يساوي صفرًا. وبالتالي،${\displaystyle \phi '=0}$و${\displaystyle \theta }$يمكن أن تكون أي قيمة بين 0 و${\displaystyle \theta _{0}}$مما يشير إلى أن المنحنى يجب أن يقع على خط زوال الكرة. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يكون هذا

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

وهو مستوى يمر عبر نقطة الأصل، أي مركز الكرة.

من أمثلة الدوائر العظمى على الكرة السماوية: الأفق السماوي ، وخط الاستواء السماوي ، ودائرة البروج . كما تُستخدم الدوائر العظمى كتقريب دقيق للخطوط الجيوديسية على سطح الأرض للملاحة الجوية والبحرية (مع أنها ليست كرة مثالية )، وكذلك على الأجرام السماوية الإهليلجية .

خط استواء الأرض المثالية هو دائرة عظمى، وأي خط طول وخط الطول المقابل له يشكلان دائرة عظمى. وهناك دائرة عظمى أخرى تفصل بين نصفي الكرة الأرضية، اليابسة والماء . تقسم الدائرة العظمى الأرض إلى نصفين ، وإذا مرت دائرة عظمى بنقطة ما، فلا بد أن تمر بنقطة مقابلة لها .

يدمج تحويل فانك وظيفة على طول جميع الدوائر العظمى للكرة.

• القطع الناقص العظيم
• خط الرومب

• الدائرة العظمى – من موقع MathWorld: وصف الدائرة العظمى، والرسومات، والمعادلات. Mathworld، Wolfram Research, Inc. © 1999
• الدوائر العظمى على مخطط ميركاتور من إعداد جون سنايدر مع مساهمات إضافية من جيف براينت، وبراتيك ديساي، وكارل وول، مشروع عروض وولفرام .