البندول الكروي

في الفيزياء ، يُعد البندول الكروي نظيراً للبندول في أبعادٍ أعلى . ويتكون من كتلة m تتحرك دون احتكاك على سطح كرة . والقوتين الوحيدتين المؤثرتين على الكتلة هما رد فعل الكرة والجاذبية .

من الملائم استخدام الإحداثيات الكروية لوصف موضع الكتلة بدلالة${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$حيث يتم تثبيت r بحيث${\displaystyle r=l}$.

بشكل روتيني، من أجل كتابة الطاقة الحركية${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$والإمكانات${\displaystyle V}$أجزاء من لاغرانجيان${\displaystyle L=TV}$في نظام إحداثيات معممة اعتباطية ، يُعبَّر عن موضع الكتلة على طول المحاور الديكارتية. هنا، باتباع الاصطلاحات الموضحة في الرسم التخطيطي،

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$.

بعد ذلك، يتم حساب المشتقات الزمنية لهذه الإحداثيات، للحصول على السرعات على طول المحاور.

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$.

هكذا،

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

و

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

الدالة اللاغرانجية، بعد إزالة الأجزاء الثابتة، هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

معادلة أويلر -لاغرانج التي تتضمن الزاوية القطبية${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

أعطِ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

و

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

متى${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$تتحول المعادلة إلى المعادلة التفاضلية لحركة بندول الجاذبية البسيط .

وبالمثل، فإن معادلة أويلر-لاغرانج التي تتضمن السمت${\displaystyle \phi }$،

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

أعطِ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0}$.

تُظهر المعادلة الأخيرة أن الزخم الزاوي حول المحور الرأسي،${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ يتم الحفاظ على العامل.${\displaystyle ml^{2}\sin ^{2}\theta }$سيلعب دورًا في صياغة الهاميلتوني أدناه.

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التي تحدد تطور${\displaystyle \phi }$وبالتالي

${\displaystyle {\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta }$.

السمت${\displaystyle \phi }$، لكونه غائبًا عن لاغرانجيان، فهو إحداثي دوري ، مما يعني أن زخمه المرافق هو ثابت حركة .

يشير البندول المخروطي إلى المحاليل الخاصة حيث${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$و${\displaystyle {\dot {\phi }}}$هو ثابت لا يعتمد على الوقت.

الهاميلتوني هو

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

حيث تكون الزخمات المترافقة

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}$

و

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}}$.

من حيث الإحداثيات والزخم، يُقرأ كالتالي:

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$$

ستعطي معادلات هاميلتون تطور الإحداثيات والزخم مع الزمن في أربع معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى.

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

دَفعَة${\displaystyle P_{\phi }}$هو ثابت الحركة. وهذا نتيجة للتناظر الدوراني للنظام حول المحور الرأسي.

يمكن الحصول على مسار الكتلة على الكرة من خلال معادلة الطاقة الكلية.

${\displaystyle E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}}$

من خلال ملاحظة أن المكون الرأسي للزخم الزاوي${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$هو ثابت حركة، مستقل عن الزمن. ^{[ 1 ]} وهذا صحيح لأن الجاذبية ورد فعل الكرة لا يؤثران في اتجاهات من شأنها أن تؤثر على هذا المكون من الزخم الزاوي.

لذلك

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

مما يؤدي إلى تكامل إهليلجي من النوع الأول ^{[ 1 ]} لـ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

وتكامل إهليلجي من النوع الثالث لـ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.

الزاوية${\displaystyle \theta }$تقع بين دائرتين من خطوط العرض، ^{[ 1 ]} حيث

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$.

• بندول فوكو
• البندول المخروطي
• قوانين نيوتن الثلاثة للحركة
• البندول
• البندول (الرياضيات)
• ميكانيكا روثيان

• واينشتاين، ألكسندر (1942). "البندول الكروي والتكامل المركب". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 49 (8): 521-523 . doi : 10.1080/00029890.1942.11991275 .
• كون، والتر (1946). "التكامل الكفافي في نظرية البندول الكروي والقمة المتناظرة الثقيلة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 59 (1): 107-131 . doi : 10.2307/1990314 . JSTOR 1990314 . 
• أولسون، إم جي (1981). "إعادة النظر في البندول الكروي". المجلة الأمريكية للفيزياء . 49 (6): 531-534 . Bibcode : 1981AmJPh..49..531O . doi : 10.1119/1.12666 .
• هوروزوف، إميل (1993). "حول عدم انحلال الطاقة المتساوية للبندول الكروي". رسائل الفيزياء أ . 173 (3): 279-283 . رمز Bibcode : 1993PhLA..173..279H . doi : 10.1016/0375-9601(93)90279-9 .
• ريختر، بيتر ه. دولين، هولجر ر. والكينز، هولجر. ويرسيج، يناير (1996). "البندول الكروي، الأفعال والدوران" . جي فيز. الكيمياء . 100 (49): 19124–19135 . دوى : 10.1021/jp9617128 . S2CID 18023607 . 
• شيريايف، أ.س.؛ لودفيجسن، هـ.؛ إيجلاند، أ. (2004). "رفع البندول الكروي عبر تثبيت تكاملاته الأولى". أوتوماتيكا . 40 : 73-85 . doi : 10.1016/j.automatica.2003.07.009 .
• إيسن، هانو؛ أبازيديس، نيكولاس (2009). "نقاط تحول البندول الكروي والنسبة الذهبية". المجلة الأوروبية للفيزياء . 30 (2): 427-432 . Bibcode : 2009EJPh...30..427E . doi : 10.1088/0143-0807/30/2/021 . S2CID 121216295 . 
• دولين، هولجر ر . (2013). "الثوابت التبسيطية شبه العالمية للبندول الكروي" . مجلة المعادلات التفاضلية . 254 (7): 2942-2963 . arXiv : 1108.4962 . Bibcode : 2013JDE...254.2942D . doi : 10.1016/j.jde.2013.01.018 .